15. Интегрирование некоторых трансцендентных функций.

    1.  - многочлен.

     Интеграл можно вычислять интегрированием по частям или методом неопределенных коэффициентов, отыскивая результат в виде

где Q(x) - многочлен той же степени, что и P(x).

     Имеет место результат

     2.  - многочлен.

     Кроме интегрирования по частям, можно пользоваться формулами:

16. Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.

При интегрировании иррациональных функций используются различные приемы. Мы рассмотрим метод рационализации подынтегрального выражения. Он заключается в выборе такой подстановки , которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное относительно новой переменной . Поскольку рациональные функции мы умеем интегрировать, такие подстановки позволяют интегрировать и иррациональные функции.

Пусть  — рациональная функция от  и , т. е. функция, получаемая из  и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления).

Если заменить в  переменную  выражением , то получим функцию  от одной переменной . Интеграл от нее имеет вид:

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки

В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно  функцию, то переменная  рационально выражается через переменную 

Тогда  — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной 

Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.

17. Интегрирование гиперболических функций

Шесть основных гиперболических функций определяются следующим образом:

Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций имеют вид:

Приведем еще несколько полезных соотношений:

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки . 

18. Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)

Пусть на отрезке  определена вещественнозначная функция .

Рассмотрим разбиение отрезка  — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок  на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков  называется шагом разбиения, где  — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции  на отрезке , то есть .

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называют предел, к которому стремится интегральная сумма.

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.

Свойства:

Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.