3. Сложные функции и их дифференцирование.

Пусть z=f(x,y).Если х и у – функции некоторой переменной t, т.е. x=φ(t), y=ψ(t)то z также является функцией от t. Предположим, что z ,x и y имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Найдем производную dz/dt.

Дадим аргументу t приращение ∆t, тогда х и y получат приращения ∆x  и ∆y, а это значит, что z получит приращение ∆z.

, где ρ- бесконечно малая величина по сравнению с ∆t, т.е. .

Разделим все члены равенства на ∆t:  

Пусть ∆t⇾0, тогда ∆x⇾0 и ∆y⇾0, а значит ε⇾0. Переходя к пределу при ∆t⇾0, получим

   Следовательно:   (8)

Рассмотрим случай, когда z=f(x,y), а x=φ(u,v), y=ψ(u,v). Тогда z будет функцией от u и v. Предполагая существование непрерывных  вычислимДадим аргументу u приращение ∆u, сохраняя неизменным значение v. Тогда задача сводится к уже рассмотренному случаю. Значит, dz/dy существует и согласно (8),

  (9). Аналогично,   (10)

4. Неявные функции и их дифференцирование.

Неявная функция. Уравнение F(x,y,z)=0 в окрестностях точек (x₀,y₀,z₀), для которых уравнение имеет хотя бы один корень z₀, задает неявную функцию z=f(x,y), значения которой равны корням этого уравнения.

Если каждой паре чисел x, y из некоторой области соответствует одно или несколько значений z, которые удовлетворяют уравнению F(x,y,z)=0, то это уравнение неявно определяет одно или несколько значений однозначных функций z от x и y .

Пусть функция y=f(x) определяется уравнением F(x,y)=0 

Подставим в F(x,y)=0  вместо y функцию f(x).Тогда F(x,y)=0  превратится в тождество относительно x. Продифференцируем данное тождество. Справа получим 0. Левая часть тождества - это сложная функция от x , обозначим её через z.

z=F(x,y), y=f(x).

По формуле (8) z_x’=F_x’(x,y)x_x’+F_y’(x,y)y_x’.

Учитывая, что x_x’=1, получим F_x’(x,y)+F_y’(x,y)y_x’=0

Отсюда  (12)

Рассмотрим уравнение вида F(x,y,z)=0 

Найдём частные производные z_x’ и z_y’ неявной функции z от x и y. Прq1 `и вычислении z_x’, y считаем постоянной величиной, поэтому, применив формулу (12), получим

  (14) Аналогично,   (15) 

Таким же образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.

5. Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Говорят, что функция z=f(x,y) имеет максимум в точке M₀(x₀,y₀), т.е. при x=x₀, y=y₀, если f(x₀,y₀)>f(x,y) для всех точек (x,y) , достаточно близких к точке (x₀,y₀) и отличных от неё. Говорят, что функция z=f(x,y) имеет минимум в точке M₀(x₀,y₀) , т.е. при x=x₀, y=y₀, если f(x₀,y₀)<f(x,y)  для всех точек (x,y) , достаточно близких к точке (x₀,y₀) и отличных от неё.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции. Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x₀, y=y₀, то каждая частная производная первого порядка от Z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует. Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку M₀(x₀,y₀) функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка M₀(x₀,y₀) является критической точкой функции f(x,y), т.е. , тогда при x=x₀, y=y₀: 1) f(x,y) имеет максимум, если дискриминант ∆=AC-B²>0 и A<0, где ; 2) f(x,y) имеет минимум, если дискриминант ∆=AC-B²>0 и А>0; 3) f(x,y) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ∆=AC-B²<0;  4) если ∆=0 , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области требуется выполнить четыре шага простого алгоритма.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции z=f(x,y) в замкнутой области D.

1. Найти критические точки функции z=f(x,y), принадлежащие области D.

Под критическими точками подразумевают такие точки, в которых обе частные производные первого порядка равны нулю (т.е. ∂z/∂x=0 и ∂z/∂y=0) или хотя бы одна частная производная не существует.

Часто точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, именуют стационарными точками. Таким образом, стационарные точки – есть подмножество критических точек.

2. Исследовать поведение функции z=f(x,y) на границе области D, найдя точки возможного наибольшего и наименьшего значений.

3. Найти значения функции z=f(x,y) во всех точках, полученных в предыдущих двух пунктах.

4. Из значений, полученных в третьем пункте, выбрать наибольшее и наименьшее.

Условным экстремумом функции z=f(x,y) в точкеM0(x0;y0) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи φ(x,y)=0.

Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует y=ψ(x), то подставив y=ψ(x) в z=f(x,y), получим функцию одной переменной z=f(x,ψ(x)).

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y) (параметр λ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2. Если в стационарной точке d2F>0, то функция z=f(x,y) имеет в данной точке условный минимум, если же d2F<0, то условный максимум.