Математика.ТР Определенные интегралы
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант №6 |
|
|
|
|
1. Вычислить определённые интегралы: |
|
|
|
|
||||||||||
4 |
|
(1 + p |
|
)3 |
|
|
|
¼=4 |
|
|
|
|||
x |
|
|
|
dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
px |
|
|
|
|
||||||||
|
3) |
cos2 xp1 + tg x; |
||||||||||||
1) R2 |
|
0 |
||||||||||||
2) R0 |
2xp |
|
dx; |
4) R0 (x2 ¡ 6x)e¡xdx. |
||||||||||
x2 + 1 |
2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
1) |
y = cos x; y = 0; x = 0; x = ¼=2; |
2) y = x2; y = 2 ¡ x; y = 0. |
||||
3. Вычислить двойные интегралы: |
|
|||||
|
RR |
¡ |
|
|
|
|
1) |
|
1 |
dxdy; D : f2 6 x 6 3; 1 6 y 6 2g; |
|||
D |
(x y)2 |
|||||
2) |
RR |
2ydxdy; D : fy = p |
|
|
|
|
|
x; y + x = 2; y = 0g; |
|
D
3) R2 dx 6R¡x(x ¡ 2y)dy.
02x
4.Изменить порядок интегрирования:
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2x |
|
|
|
a |
2a2¡y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1) R1 |
dxp |
2xR¡x2 |
f(x; y)dy; |
2) |
R |
dy |
|
R |
f(x; y)dx; |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
p |
ay |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
p |
|
|
p |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2¡x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3) R0 |
dx R0 |
|
f(x; y)dy + R1 |
dx |
|
R0 |
f(x; y)dy. |
5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:
а) F : fy = 4 ¡ x2; y = 1 ¡ x2 g; б) F : fy > x ¡ 4; y 6 2; y > 0; x + y > 2g;
в) F : fx 6 2; y2 6 (x + 2)3g.
6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:
б) |
RR xdxdy; D : fx2 ¡ 2x + y2 = 0; x2 ¡ 6x + y2 = 0; y = x; y = 0g. |
||
а) |
f(x; y)dxdy; D : fy2 ¡ 2y + x2 = 0; y2 ¡ 10y + x2 = 0; y = x; y = p |
3 |
xg; |
D
RR
D
7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
а) x + y + z = 3; x = 0; y = 0; z = 0;
б) z = xy; y = x2; x2 = 2y; z = 0; y2 = x; y2 = 2x; в) x2 + y2 = z; z > 0; y2 + x2 = x.
11
8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x2=3 + y2=3 = a2=3; (x; y > 0).
9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины: x = a; y = b; x = 0; y = 0; (a; b > 0); ½(x; y) = xy.
10.Найти длину дуги следующих кривых:
а) y = x2 ; 0 6 x 6 1;
2
б) x = 3 cos (t ¡ 1); y = 3 sin (1 ¡ t); 0 6 t 6 1.
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а) R xdy ¡ ydx; L – дуга астроиды:fx = a cos3 t; y = a sin3 t; 0 6 t 6 2¼g;
L
б) R (x2 ¡ 2xy)dx + (y2 ¡ 2xy)dy; L : fy = x2; ¡1 6 x 6 1g.
L
12. С помощью тройного интеграла найти:
а) найти объём тела, ограниченного поверхностями: fx2 + z2 = a2; y = 0; z = 0; y = xg; б) найти массу прямоугольного параллелепипеда:
0 6 x 6 a; 0 6 y 6 b; 0 6 z 6 c; ½(x; y; )(x; y; z) = k(x + y + z).
12
|
|
|
|
|
|
|
Вариант №7 |
|
|
|
1. Вычислить определённые интегралы: |
R |
|
|
|||||||
|
R |
ex µ1 + |
|
¶dx; |
|
|
|
|||
|
¼=4 |
e¡x |
|
1=2 |
|
|||||
1) |
0 |
cos2 x |
3) |
0 |
arccos xdx; |
|||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
¡ |
|
¼=3 cos x |
|
|
1 |
|
|
||||
2) |
|
|
|
dx; |
|
4) |
R |
(4 x)e¡3xdx. |
||
¼=4 |
|
esin x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
1) |
|
|
|
x2 |
; y = x; |
|
2) y = cos x; y = 0; x = |
¼ |
|
; x = |
¼ |
. |
|||||||||
y = |
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Вычислить двойные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
RR |
(6xy ¡ 12x3y3)dxdy; |
D : fx = 1; y = x2; y = ¡p |
|
|
g; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
D |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
RR |
|
|
D : fy = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D |
2ydxdy; |
x; y + x = 2; y = 0g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
RR |
|
|
|
dxdy; |
D : fxy = 1; y = x; x = 4g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. Изменить порядок интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
y |
2 |
|
|
1 |
|
|
||||||||
1) |
¡Ra1 |
dx |
f(x; y)dy; |
|
R |
R |
R |
R |
|||||||||||||
|
3) dy |
|
|
|
f(x; y)dx + |
dy |
f(x; y)dx. |
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
xR1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
ln y |
|||||||
2) |
R dx R |
f(x; y)dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0ln x
5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:
а) F : fx2 + 9y2 = 9; x 6 0; y 6 0g; |
в) F : fy = x; y = 2x; x + y = 6g. |
б) F : fy2 = 4x; x = 3g; |
|
6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:
б) |
RR e¡x2¡y2 dxdy; |
D : fx2 |
+ y2 |
6 100; x 6 0g. |
а) |
f(x; y)dxdy; |
D : fx2 |
+ y2 |
= 4x; y2 + x2 = 8x; x = y; 2x = yg; |
D
RR
D
7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
а) z = 1 + x + y; z = 0; x + y = 1; x = 0; y = 0;
б) z = 4 ¡ x2 ¡ y2; z = 0; x = 1; x = ¡1; y = 1; y = ¡1;
в) y2 = x ¡ 3; y = 1; x + 2z = 18; z > 0.
13
8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x2 + y2 = 9 – верхняя половина круга.
9.Найти момент инерции I для эллипса:
x2 + y2 = 1. a2 b2
10. Найти длину дуги следующих кривых:
а) x = cos4 t; y = sin4 t; 0 6 t 6 2¼;
б) r = a(1 + cos ') – кардиоида.
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а) |
R |
L от A(1; 0) до B(0; 2) по 4x + y2 = 4; |
||
(xy ¡ 1)dx + 2xydy; |
||||
|
L |
|
||
б) |
R |
|
||
2ydx + xdy; L – ломаная OAB : O(0; 0); A(0; 3); B(2; 6). |
||||
|
L |
|
||
12. Тройные интегралы: |
|
|||
а) |
RRR p |
|
|
D : fx2 + y2 = z; z = 4g; |
x2 + y2zdxdydz; |
D
б) найти объём тела, ограниченного поверхностями: z = 1 ¡ y2; z = 0; x = y; x = 0.
14
Вариант №8
1. Вычислить определённые интегралы:
|
e2 dx |
|
1 |
|
xdx |
|
|
|||
1) |
|
|
|
; |
3) R0 |
|
; |
|
||
|
|
|
|
x2 + 6 |
||||||
0 |
|
x ln x |
||||||||
|
0 |
|
|
¡ |
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
¼=3 |
7dx |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
R |
|
3x)e¡xdx; |
4) |
|
|
|
. |
||
|
(x2 |
|
|
sin2 2x |
||||||
|
|
|
|
|
|
¼=6 |
|
|
|
2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
1) xy = 4; y = 0; x = 1; x = 4; |
|
2 |
|
1 |
; x = ¡2; x = 2. |
||||||||
|
|
|
|
2) y = x |
; y = |
|
|||||||
|
|
|
|
4x2 |
|||||||||
3. Вычислить двойные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
RR |
(x ¡ y)dxdy; |
D : f2 ¡ x2 |
= y; y = x; x > 0g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
D |
ex+y+1dxdy; |
D : fxy = 4; y = x; x = 4g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
RR |
2xdxdy; D : fy2 = 4 + x; 3y + x = 0g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Изменить порядок интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
y |
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
2 |
|
2¡x2 |
|||||
1) |
dy f(x; y)dx; |
|
R |
R |
|
|
R |
|
R |
||||
|
3) |
dx |
f(x; y)dy + dx |
|
|
f(x; y)dy. |
|||||||
|
1 |
=y |
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
R |
1R |
|
|
|
|
|
|
2)R2 dy 2R¡y f(x; y)dx;
1 0
5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:
а) F : fy = 2x ¡ x2; y = ¡xg; |
в) F : fy = p |
|
|
x; y + x = 2; y = 0g. |
|||
б) F : fx + y > 2; x ¡ y 6 4; y > 0; y 6 2g; |
|
|
|
6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:
а) R2 dy pR3xf(x; y)dx;
1x
б) |
R |
|
|
R |
|
|
|
2 dx p4¡x2 ex2+y2 dy. |
|||||||
|
0 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
1¡x |
|
|
|
7. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
а) z = xy; z = 0; x + y + z = 1;
б) y = x2; y = 1; z = x2 + y2; z = 0; в) z = 0; z = 4 ¡ y2; y = x2=2.
15
8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: y = 2x ¡ x2; y = 0; ½(x; y; z)(x; y) = c.
9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины: x = a; y = b; x = 0; y = 0; (a; b > 0); ½(x; y) = ½(x; y)0.
10.Найти длину дуги следующих кривых:
|
¼ |
|
6 x 6 |
¼ |
; |
||
а) y = ¡ ln j cos xj; |
|
|
|
||||
4 |
3 |
||||||
б) x = 3t2; y = 3t ¡ t3; 0 6 t 6 1. |
|||||||
11. Вычислить криволинейные интегралы: |
|||||||
а) |
xdy ¡ ydx; L : fx = 2(t ¡ sin t); y = 2(1 ¡ cos t); 0 6 t 6 2¼g; |
||||||
|
L |
|
|
||||
|
R |
|
L : fy = x4g от точки (1; 1) до (¡1; 1). |
||||
б) R (4x + y)dx + (x + 4y)dy; |
|
||||||
|
L |
|
|
||||
12. Тройные интегралы: |
|
|
|||||
а) |
RRR p |
|
|
|
D : fx2 ¡ y2 + z2 = xg; |
||
x2 + y2 + z2dxdydz; |
D
б) найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями:
2z = x2 + 4x + y2 ¡ 2y + 5; z = 2; ½(x; y) = ½0.
16
|
|
|
|
|
Вариант №9 |
|
|
|
1. Вычислить определённые интегралы: |
|
|
|
|||||
4 |
+ x)2 |
|
1 |
|
|
|||
1) R1 |
(1xp |
|
|
dx; |
3) |
R0 (x2 ¡ 8x)e¡xdx; |
||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
3 |
x |
|
3 |
|
||||
2) R1 |
|
R0 |
|
|||||
|
dx; |
4) |
arctg xdx. |
|||||
x2 + 1 |
2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
1) y = e1¡x; y = 0; x = 0; x = 1; |
2) y2 = x; y2 = 4x; x = 2. |
||
3. Вычислить двойные интегралы: |
= xg; |
||
2) |
RR (x2 + y)dxdy; |
D : fy = x2; y2 |
|
1) |
sin (x + y)dxdy; |
D : fx = 0; y = x; y = ¼g; |
D
RR
D
3)R2 dy lnRy exdx.
1 0
4.Изменить порядок интегрирования:
R |
pR2 y |
R0 |
R0 |
R1 |
R0 |
|||
1 |
1+x |
f(x; y)dy; |
1 |
1 |
2 |
2¡y |
||
1) |
dx |
3) |
dy f(x; y)dx + |
dy |
f(x; y)dx. |
|||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¡ |
|
|
|
|
|
||
2) R0 |
dy pRy |
|
f(x; y)dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла: |
|
|||||||
а) F : fy = 4x ¡ 4; y = 8 ¡ x2g; |
в) F : fy + x 6 4; y2 ¡ 6y = 4x ¡ 1g. |
|||||||
б) F : fy > 0; y 6 1; y + x > ¡2; y ¡ x > 1g; |
|
|
|
|
6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:
RR |
|
y |
|
x |
; y = 0g; |
|||
а) |
f(x; y)dxdy; |
D : fx2 ¡ 2x + y2 = 0; x2 ¡ 4x + y2 |
= 0; y = p |
|
|
|||
D |
|
|
|
|
3 |
|
||
RR |
|
|
|
D : f¡x2 + y2 6 2yg. |
|
|
|
|
б) |
arctg |
x |
dxdy; |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
а) z = 1 + x + y; z = 0; x + y = 1; x = 0; y = 0;
б) 2x + 3y ¡ 12 = 0; z = y2 ; p 2
в) z = sin x2 + y2; z = 0; x2 + y2 = ¼2.
17
8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: y = 2x3; y2 = 2x.
9.Найти момент инерции Iy для однородной пластины: x = a; y = b; x = 0; y = 0; (a; b > 0); ½(x; y) = ½0.
10.Найти длину дуги следующих кривых:
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
||
а) y = a ln |
|
|
; 0 6 x 6 b < a; |
||||||||
a2 ¡ x2 |
|||||||||||
б) x = |
c2 |
|
|
|
c2 |
|
sin3 t; 0 6 t 6 ¼; c2 = a2 ¡ b2 (эволюта эллипса). |
||||
|
cos3 t; y = |
|
|
||||||||
a |
b |
||||||||||
11. Вычислить криволинейные интегралы: |
|||||||||||
а) L |
xdx |
¡ |
ydy |
|
; L ¡ дуга окружности с центром в начале координат (R = 1); |
||||||
|
|
|
|||||||||
x2 + y2 |
x2 + y2 |
|
|||||||||
R |
2xydx + x2dy; |
L ¡ соединяет точки A(0; 0) и B(1; 1) по прямым, через точку C(1; 0). |
|||||||||
б) R |
L
12. Тройные интегралы:
а) RRR (x + y + z)dxdydz; D : fx + y + z = 1; x = 0; y = 0; z = 0g;
D
б) вычислить момент инерции для фигуры, ограниченной поверхностями: xa + yb + zc = 1; x = 0; y = 0; z = 0; ½(x; y; z) = 1.
18
|
|
|
|
|
|
Вариант №10 |
|
|
|
||
1. Вычислить определённые интегралы: |
e2 p1 + ln x |
|
|||||||||
3 |
|
x ¡ 6 dx |
|
|
|||||||
1) R0 |
|
|
|
; |
3) |
R |
|
|
dx; |
||
|
x2 + 9 |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
x |
|||||||
3 |
xp |
|
|
|
|
¼=2 |
|
|
|
||
2) R2 |
|
dx; |
4) |
R0 |
e2x sin xdx. |
||||||
x2 ¡ 1 |
2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
1) y = 7 ¡ x; xy = 6; |
2) x = 2 ¡ y2; y = x; x = 0. |
|
||||||||||||||
3. Вычислить двойные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
RR (x ¡ 3y2)dxdy; |
D : fy3 = x; y = 2; x = 0g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
(x ¡ y)dxdy; |
D : fy = 3x2; y = 4 ¡ x2g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
RR exdxdy; D : fy = 1; y = 2; x = ln y; x = 0g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Изменить порядок интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 2¡x |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
1¡x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
1) ¡R6 dx |
x2R 1 f(x; y)dy; |
R |
|
|
|
|
R |
f(x; y)dy; |
|
|
|
|
||||
2) ¡1 dx |
x+1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 ¡ |
|
|
|
1 |
|
p |
y |
|
2 |
|
p |
2¡y |
|
||
|
|
|
|
|
|
3) R0 |
dy |
R0 |
|
|
f(x; y)dx + R1 |
dy |
R0 |
f(x; y)dx. |
||
5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла: |
|
|
|
|
||||||||||||
а) F : fy = 2 ¡ x2; y = x2; x > 0g; |
в) F : fy > 2 ¡ x; y > x ¡ 4; 0 6 y 6 2g. |
|||||||||||||||
б) F : fy = ¡2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x; y = 0; y = x ¡ 8g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:
RR |
|
y |
D : fx2 + y2 = 4y; (y ¡ 1)2 + x2 = 1g; |
|
а) |
f(x; y)dxdy; |
|||
D |
|
|
|
|
RR |
|
|
|
D : f¡x2 + y2 6 xg. |
б) |
arctg |
x |
dxdy; |
|
D |
|
|
|
|
7. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
а) x6 + y3 + z2 = 1; x = 0; y = 0; z = 0;
б) x2 + y2 + z2 = 16; x > 0; y > 0; z > 0;
в) y2 = x ¡ 3; y = 1; x + 2z = 18; z > 0.
19
8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями:
3y = x2; y = 3; ½(x; y) = x2 + 1.
9.Найти момент инерции Iy для однородной пластины: x = 2; y = x2; y = 0; ½(x; y) = x + y.
10.Найти длину дуги следующих кривых:
а) y = x2 ; 0 6 x 6 1;
2
б) x = 12(t ¡ sin t); y = 12(1 ¡ cos t); 0 6 t 6 ¼.
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а) 2xydx + x2dy; |
L ¡ кривая y = x3 от точки (0; 0) до (1; 1); |
L |
|
R |
L ¡ верхняя половина эллипса fx = a cos t; y = b sin tg. |
б) R y2dx + x2dy; |
|
L |
|
12. Тройные интегралы:
а) найти объём тела, ограниченного поверхностями: z = 1 ¡ y2; x = 0; y = x; z = 0;
б) найти момент инерции однородной пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью 3x + 3y + 2z = 6, относительно оси Oy.
20