Метод аналитических таблиц в логике предикатов

Метод аналитических таблиц - это стандартизированное рассуждение от противного, выражаемое при помощи формализованного языка логики предикатов. Если истинность какой-либо формулы выявляется с помощью метода аналитических таблиц, то первой строкой в таблице является допущение о ложности данной формулы (цель этого - прийти к противоречию, т.е. получение одновременно и какой-либо формулы и ее отрицания). Правила, позволяющие переходить от формул, содержащих n логических терминов, к формулам, содержащих меньше чем n логических терминов, называются правилами редукции (правилами сведения).

Существуют следующие правила редукции:

1. Правило для конъюнкции [&]:

Г, А& В, D

Г, А, В, D

Примечание: здесь и далее символом Г обозначается множество формул, предшествующих той, к которой применяется правило редукции; символом D обозначается множество формул, идущих в горизонтальном списке после той, к которой применяется правило редукции.

2. Правило отрицания конъюнкции [ù&]:

Г, ù (А& В), D

Г, ùА, D | Г, ùВ, D

3. Правило для дизъюнкции [v]:

Г, (АVВ), D

Г, А, D | Г, В, D

4. Правило отрицания дизъюнкции [ù v]:

Г, ù (АVВ), D

Г, ùА, ùВ, D

5. Правило для импликации [É]:

Г, (АÉВ), D

Г, ù А, D | Г, В, D

6. Правило отрицания импликации [ù É]:

Г, ù (АÉВ), D

Г, А, ùВ, D

7. Правило “ложность отрицания” [ ù ù ]:

Г, ù ù А, D

Г, А, D

8. Правило для квантора всеобщности ["]:

Г, " aА, D

Г, " aА, A(t), D

Примечание: A(t) - результат замены всех свободных вхождений переменной a в формулу А на произвольный замкнутый терм t.

9. Правило для квантора существования [$]:

Г, $ aА, D

Г, A(к), D

Примечание: к - предметная константа (a, b, c, d, a₁, b₁…); A(к) - результат замены всех свободных вхождений переменной a в формулу А на на предметную константу к, которая не содержится в формулах верхнего списка.

10. Правило отрицания квантора всеобщности [ù "]:

Г, ù " aА, D

Г, ùА, (к), D

11. Правило отрицания квантора существования [ù $ ]:

Г, ù $aА, D

Г, ù $ aА, ùA(t), D

Построив аналитическую таблицу, проверим правильность умозаключения: “Если неверно, что Семенова и Меньшина - преступницы, то Семенова - не преступница или Меньшина - не преступница”. Логическая форма этого умозаключения такова:

ù (Р(а) & Р(b)) É (ù P(a) v ù P(b)).

Аналитическая таблица имеет следующий вид:

ù (ù (Р(а) & Р(b)) É (ù P(a) v ù P(b)))

[ù É]:

ù (Р(а) & Р(b); ù (ù P(a) v ù P(b))

[ù v]:

ù (Р(а) & Р(b); ù ù P(a) ; ù ù P(b)

[ ù ù ]:

ù (Р(а) & Р(b); P(a) ; P(b)

[ù &]:

ù (Р(а) ; P(a) ; Р(b) | ù P(b); P(a) ; P(b)

Как можно заметить из последней строки аналитической таблицы, мы пришли к противоречию, то есть получили одновременно и некоторые формулы и их отрицания (ù (Р(а) и P(a); ù P(b) и P(b) ). Это означает, что наше предположение ù (ù (Р(а) & Р(b)) É (ù P(a) v ù P(b))) оказалось неверным, следовательно умозаключение формы ù (Р(а) & Р(b)) É (ù P(a) v ù P(b)) является правильным.

Построив аналитическую таблицу, проверим правильность умозаключения:

Если Петр любит Марию, то он любит Ирину.

Петр любит Марию или Ирину.

Петр любит Ирину.

Логическая форма этого умозаключения такова:

R (a, b) É R (a, c)

R (a, b) v R (a, c)

R (a, c)

Аналитическая таблица имеет следующий вид:

R (a, b) É R (a, c); R (a, b) v R (a, c); ù R (a, c)

[ É]:

_________ù R (a, b); R (a, b) v R (a, c); ù R (a, c) | R (a, c); R (a, b) v R (a, c); ù R (a, c)

[ v]:

ù R (a, b); R (a, b) ù R (a, c) | ù R (a, b); R (a, c); ù R (a, c) | R (a, c); R (a, b) v R (a, c); ù R (a, c)

Как можно заметить из последней строки аналитической таблицы, мы пришли к противоречию, то есть получили одновременно и некоторые формулы и их отрицания (ù R (a, b) и R (a, b); R (a, c); ù R (a, c); R (a, c); ù R (a, c)). Следовательно, приведенное выше умозаключение является правильным.

Проверим правильность умозаключения:

Неверно, что кто-то знает всех.

Всякий кого-нибудь не знает.

На языке логики предикатов данное умозаключение имеет вид:

ù$х"у R(х,у)

"х$уù R(х,у)

Построим аналитическую таблицу:

ù$х"у R(х,у); ù"х$уù R(х,у)

[ù "]:

ù$х"у R(х,у); ù$уù R(а,у)

[ù $ ]:

ù$х"у R(х,у); ù"у R(а,у); ù$уù R(а,у)

[ù "]:

ù$х"у R(х,у); ù R(а,b); ù$уù R(а,у)

[ù $ ]:

ù$х"у R(х,у); ù R(а,b); ù$уù R(а,у); R(а,b)

Как можно заметить из последней строки аналитической таблицы, мы пришли к противоречию, то есть получили одновременно и формулу R(а,b) и ее отрицаниеùR(а,b). Следовательно, умозаключение формы ù$х"у R(х,у) É "х$уù R(х,у) является правильным.

Упражнения

Построив аналитические таблицы, проверить правильность умозаключений следующих логических форм:

1. ù (P(a) v Q (b)) É (ù P(a) & ùQ(b).

2. P(a) É Q(b) v (Q(b) É P(a)).

3. "x$yP(y,x) É "x"yP(y,x).

4. ù "x$yP(x, y) É $x"yùP(x, y).

5. $x"yùP(x, y) É ù "x$yP(x, y).

Тема № 10