Сокращенный метод проверки умозаключений.

Пусть дано рассуждение: “Если Иванов является участником этого преступления, то он знал потерпевшего. Иванов не знал потерпевшего, но знал его жену. Потерпевший знал Иванова. Следовательно, Иванов является участником этого преступления”. Переведя данное рассуждение на язык логики высказываний, получим формулу: (((pÉq)&( ùq&r))&s)Ép. Если эта формула окажется тождественно-истинной, то это означает, что приведенное рассуждение правильное, если она окажется тождественно-ложной, то рассуждение неправильное. Если же формула окажется выполнимой, но не тождественно-истинной, то не будет оснований считать вышеприведенное рассуждение правильным. Построим таблицу истинности:

p q r s	(((pÉq)&( ùq&r))&s)Ép
и и и и	ии и л ли ли ли ии
и и и л	ии и л ли ли лл ии
и и л и	ии и л ли лл ли ии
и и л л	ии и л ли лл лл ии
и л и и	ил л л ил ии ли ии
и л и л	ил л л ил ии лл ии
и л л и	ил л л ил лл ли ии
и л л л	ил л л ил лл лл ии
л и и и	ли и л ли ли ли ил
л и и л	ли и л ли ли лл ил
л и л и	ли и л ли лл ли ил
л и л л	ли и л ли лл лл ил
л л и и	ли л и ил ии ии лл
л л и л	ли л и ил ии лл ил
л л л и	ли л л ил лл ли ил
л л л л	ли л л ил лл лл ил

Формула является выполнимой, но не тождественно-истинной, следовательно нет оснований считать рассматриваемое рассуждение правильным.

Если формула содержит много пропозициональных переменных, как в вышеприведенном примере, то в некоторых случаях можно не строить объемную таблицу, а путем особого “сокращенного метода проверки умозаключений” установить, является ли она тождественно-истинной, тождественно-ложной или же выполнимой, но не тождественно-истинной.

Рассмотрим проанализированную выше формулу. Предположим, что при некотором наборе значений переменных она принимает значение “л”:

(((pÉq)&( ùq&r))&s)Ép.

л

Это возможно, если значение консеквента - “л”, а антецедента - “и”, а следовательно, каждого члена конъюнкции - “и”:

(((pÉq)&( ùq&r))&s)Ép.

и и и лл

Поскольку переменной р уже приписано значение “л”, пишем “л” под первым вхождением р в формулу:

(((pÉq)&( ùq&r))&s)Ép.

ли и и лл

Подформула ùq&r имеет значение “и”, если и только если ùq и r имеют значение “и”:

(((pÉq)&( ùq&r))&s)Ép.

ли и ии и лл

Поскольку подформула ùq имеет значение “и”, под q пишем “л”:

(((pÉq)&( ùq&r))&s)Ép.

ли и лии и лл

Тогда

(((pÉq)&( ùq&r))&s)Ép.

ли л и и лии и и лл

Формула принимает значение “л” при значениях “л”, “л”, “и”, “и” соответственно переменных p, q, r, s.

Очевидно, что при значении “и” переменной р эта формула принимает значение “и”. Формула принимает как значение “л”, так и значение “и”, а следовательно, является выполнимой но не тождественно-истинной.

Рассмотрим формулу (((pÉq)&(qÉr))&p)Ér.

Чтобы доказать, что данная формула является логическим законом, будем рассуждать от противного. Предположим, что при некотором наборе значений переменных она принимает значение “л”. Это возможно, если ее антецедент, а следовательно, каждый член конъюнкции принимает значение “и”:

(((pÉq)&(qÉr))&p)Ér.

и и и ии лл

Переносим полученные значения истинности переменных р и r под первые вхождения этих переменных в формулу:

(((pÉq)&(qÉr))&p)Ér.

ии и ил ии лл

Далее получаем для первого вхождения переменной q в формулу значение “и”, а для другого вхождения этой же переменной значение “л”:

(((pÉq)&(qÉr))&p)Ér.

ии и и л ил ии лл

Таким образом приходим к противоречию, которое означает, что допущение, будто формула при некотором наборе значений переменных принимает значение “л”, оказалось неверным. Следовательно, формула (((pÉq)&(qÉr))&p)Ér является тождественно-истинной.

Упражнения

Осуществить сокращенным методом проверку умозаключений:

1. Если число делится на 10, то оно делится и на 5. Данное число не делится на 10. Следовательно, данное число не делится на 5.

2. Если треугольник прямоугольный, то в нем против большего угла лежит и большая сторона. Если треугольник не является прямоугольным, то в нем против большего угла лежит и большая сторона. Следовательно, против большего угла в треугольнике всегда лежит и большая сторона.

3. Если данное вещество является натрием, то спектр его раскаленных паров дает желтую линию. Данное вещество является натрием, следовательно, спектр его раскаленных паров дает яркую желтую линию.

Тема №6

Силлогистика

План

1. Простой категорический силлогизм.

2. Энтимема.

3. Сорит. Эпихейрема.