12 Метод потенциалов

(1.8.1)

В методе потенциалов каждому пункту отправленияприписывается потенциал, а пункту назначения- потенциалтак, что

для каждой базисной клетки. Так как потенциалов , а базисных клеток, то одному из потенциалов (любому) придают произвольное значение, как правило, нулевое. Остальные находятся из равенств (1.8.1).

(1.8.2)

Оценки свободных клеток вычисляются теперь по формуле

.

(Докажите самостоятельно, что так вычисленное совпадает с соответствующей оценкой свободной клетки в распределительном методе).

Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов состоит в следующем.

1. Находится начальный план (любым способом).

2. Для каждого пункта отправления и каждого пункта назначения находятся потенциалы.

3. Для каждой свободной клетки вычисляется оценка .

4. Если все , то найденное распределение перевозок дает минимальную стоимость.

5. Если среди оценок есть отрицательные, то для клетки, наибольшей по модулю, строится цикл и производится сдвиг по циклу (как и в распределительном методе). Затем переходят к новому распределению перевозок, возвращаясь к п.2.

Замечание. Удобно изаписывать в таблицах напротив соответствующихи, а вычисленияипроизводить в уме.

Пример 3. Найти методом потенциалов оптимальное распределение перевозок транспортной задачи, приведенной в табл. 1.8.1.

Таблица 1.8.1

Пункты	B1	B2	B3	B4	B5	Наличие
А1	2 ---	1 ---	1 ---	0 ---	2 ---	50
А2	3 ---	0 ---	1 ---	2 ---	1 ---	150
А3	2 ---	1 ---	0 ---	3 ---	1 ---	100
Потребности	20	80	30	110	60	300

Начальный опорный план найдем методом северо-западного угла (табл. 1.5.2).

Таблица 1.8.2

Пункты		B1	B2	B3	B4	B5	Наличие
Потенциалы		V1=2	V2=1	V3=2	V4=3	V5=1
А1	U1=0	2 20	1 30	1 ---	0 ---	2 ---	50
А2	U2=-1	3 ---	0 50	1 30	2 70	1 ---	150
А3	U3=0	2 ---	1 ---	0 ---	3 40	1 60	100
Потребности		20	80	30	110	60	300

Стоимость перевозок по этому плану равна

ед.

300 030

Найдем потенциалы каждого поставщика и каждого потребителя. ПримемU₁=0 и вычислим остальные ипо формуле (1.8.1). Занесем потенциалы в табл. 1.8.2. Найдем оценкидля свободных клеток:

,

,

,

,

,

,

,

.

Наибольшая по модулю отрицательная оценка . Производим сдвиг по циклу наи переходим к табл. 1.8.3.

Таблица 1.8.3

Пункты		B1	B2	B3	B4	B5
Потенциалы		V1=2	V2=-2	V3=-1	V4=0	V5=-2
А1	U1=0	2 20	1 ---	1 ---	0 30	2 ---
А2	U2=2	3 ---	0 80	1 30	2 40	1 ---
А3	U3=3	2 ---	1 ---	0 ---	3 40	1 60

Стоимость перевозок по новому плану уменьшилась и стала равной

ед.

Для проверки оптимальности плана найдем потенциалы и оценки свободных клеток. Примем U₁=0, вычислим остальные ии занесем их в табл. 1.8.3. Вычислимоценки свободных клеток:

, ,

, ,

, ,

, .

Вводим в базис клетку (3,1), производя сдвиг по циклу на 20ед.

Переходим к (табл. 1.8.4.)

Таблица 1.8.4

Пункты		B1	B2	B3	B4	B5
Потенциалы		V1=-1	V2=-2	V3=-1	V4=0	V5=-2
А1	U1=0	2 20	1 ---	1 ---	0 50	2 ---
А2	U2=2	3 ---	0 80	1 30	2 40	1 ---
А3	U3=3	2 ---	1 ---	0 ---	3 20	1 60

Стоимость перевозок по новому плану уменьшилась и стала равной

ед.

Проверим оптимальность. Вычислим потенциалы, занесем в табл.14. Найдем для свободных клеток

, ,

, ,

, ,

, .

Вводим в базис клетку (3,3), производя сдвиг по циклу на 20ед.

Переходим к табл. 1.8.5.

Таблица 1.8.5

Пункты		B1	B2	B3	B4	B5
Потенциалы		V1=1	V2=-2	V3=-1	V4=0	V5=0
А1	U1=0	2 ---	1 ---	1 ---	0 50	2 ---
А2	U2=2	3 ---	0 80	1 10	2 60	1 ---
А3	U3=1	2 20	1 ---	0 20	3 ---	1 60

Стоимость перевозок по новому плану уменьшилась и стала равной

ед.

Проверим оптимальность. Примем U₁=0, вычислим остальные ии занесем их в табл. 1.8.5. Найдемдля свободных клеток

, ,

, ,

, ,

, .

Вводим в базис клетку (2,5) и получаем табл. 1.8.6.

Таблица 1.8.6

Пункты		B1	B2	B3	B4	B5
Потенциалы		V1=0	V2=-2	V3=-2	V4=0	V5=-1
А1	U1=0	2 ---	1 ---	1 ---	0 50	2 ---
А2	U2=2	3 ---	0 80	1 ---	2 60	1 10
А3	U3=2	2 20	1 ---	0 30	3 ---	1 50

Стоимость перевозок по новому плану уменьшилась и стала равной

ед.

Проверим оптимальность. Примем U₁=0, вычислим остальные ии занесем их в табл. 1.8.6. Найдемдля свободных клеток

, ,

, ,

, ,

, .

Так как все оценки свободных клеток неотрицательны, то полученный в табл.16 план распределения перевозок является оптимальным.

Минимальная стоимость перевозок равна ед.

Замечание. Все рассмотренное ранее относится к замкнутой транспортной задаче, когда . Воткрытой транспортной задаче . Решение таких задач сводится к решению замкнутых транспортных задач. Делается это следующим образом.

Если , то вводим фиктивный пункт отправленияс запасамии. Если, то вводим фиктивный пункт назначенияс потребностямии.