4.10 Измерение удельного сопротивления проволоки

Электрическое сопротивление участка проводника

(19)

где R — сопротивление отрезка проволоки, / — его длина, S — площадь поперечного сечения, ρ — удельное сопротивление материала проволоки. Отсюда

. (20)

Чтобы определить ρ, необходимо измерить электрическое сопротивление R отрезка проволоки, длину отрезка l и определить площадь его сечения S.

Для измерения сопротивления собирают простейшую электрическую цепь(рисунок 5).

Участок цепи АВ — отрезок проволоки,  — источник тока, А — амперметр, V—вольтметр.

Рисунок 5 Простейшая электрическая цепь для определения удельного сопротивления

Допустим, что мы провели такой опыт: собрали цепь, как на рисунке 5, измерили напряжение U и силу тока I. Затем измерили длину отрезка проволоки l и ее диаметр d. При этом, например, оказалось: U = 1 В, I = 10 А, l = 410^-1 м, d = 510^-4м. Подставим эти данные в (20):

(21)

Числовое значение можно вычислить по формуле (21) непосредственно расчетом, а можно на микрокалькуляторе. Во втором случае расчет проводить безусловно проще, и большинство студентов так и поступает. Поступим так же и мы. В результате получим

ρ = 4,908738410^-6 Омм.

Уже с первого взгляда на это число возникает уверенность: что здесь что-то не так. Слишком много цифр! Ясно, что не все цифры имеют отношение к делу. Они возникли как результат вычисления. Действительно, при вычислении по формуле (21) на калькуляторе мы вызвали число π = 3,1415926 и далее проделали все необходимые арифметические действия. Если воспользоваться ЭВМ, то число π можно взять еще точнее, тогда очевидно, что определяемое значение ρ будет содержать еще больше знаков после запятой.

Сколько же цифр в числовом значении ρ имеют смысл? Разберемся в этом вопросе.

Напряжение U, силу тока I, длину l отрезка проволоки и ее диаметр d мы измеряем соответствующими приборами с определенной точностью. Когда мы говорим, что вольтметр показывает 1 В. мы, конечно, имеем в виду, что измеряемое напряжение лишь приблизительно равно 1 В. Истинное значение напряжения лежит в некотором интервале

U _изм - Δ U ≤ U ≤ U _изм+ Δ U,

где U _изм — измеренное напряжение; в нашем примере U _изм = 1 В. Значит, результат измерения есть то деление на шкале вольтметра, против или вблизи которого установилась стрелка, Δ U — погрешность измерения напряжения данным вольтметром, она определяется классом точности прибора. Отметим, что Δ U определяется «ценой» деления шкалы вольтметра. Пусть вся шкала прибора рассчитана на 2 В и имеет 20 делений. Значит, цена деления —

- 0,1 В, а погрешность измерения -половина «цены» деления, т. е. Δ U = 0,05 В. Таким образом, истинное значение U лежит между 0,95В и 1,05 В:

0,95В< U < 1,05В или (в более удобном виде)

U=Ū± Δ U; U =(1 ±0,05)В.

Здесь Ū = 1 В — среднее измеренное значение напряжения U, Δ U = 0,05 В — погрешность измерения.

Все это, разумеется, относится и к измеряемой силе тока I:

I =Ī± Δ I; I =(100±5)мА,

где I = 100 мА = 0,1 А — измеренная сила тока, Δ I = 5 мА = 510^-3 А — погрешность измерения.

Если длина отрезка проволоки измеряется линейкой с миллиметровой шкалой, то истинное значение длины l проволоки лежит в интервале, например,

(400,0 — 0,5) мм ≤ l ≤ (400,0 + 0,5) мм,

т. е. ± Δ l= (400,0 ±5) мм.

Диаметр d проволоки можно измерить штангенциркулем или микрометром. Если диаметр проволоки измерять штангенциркулем в различных местах, то, скорее всего, окажется, что результат везде одинаков. Штангенциркуль не «почувствует», что толщина проволоки неодинакова по всей ее длине. В этом случае точность измерения штангенциркулем, а это обычно 0,1 мм, и определяет погрешность измерения диаметра, т. е. Δd = 0,1 мм. Микрометр — более чувствительный и более точный прибор, чем штангенциркуль. Если измерить диаметр проволоки в различных местах микрометром, то можно получить серию результатов: d₁, d₂, d₃, .... d_n, где d₁ — результат первого измерения, d₂ - второго и т. д. В этом случае погрешность определяется уже и характером самой величины d. Диаметр проволоки есть случайная величина, она варьирует около некоторого среднего значения

(22)

где п — число измерений.

Для грубой оценки Δd выберем из п измерений максимальное значение d_max и минимальное d_min. Тогда грубая оценка погрешности

(23)

[при обработке результатов измерений следует пользоваться соотношениями (6) и (7)].

Истинное значение диаметра лежит в интервале

или

Пусть, например, = 0,5 мм, a Δd = 0,01 мм. Тогда результат измерений

d== (0,50±0,01) мм.

При расчетах в формулу (21) мы подставляли средние значения величин, хотя в действительности каждая из них определена с не которой погрешностью '

, , ,.

С учетом этого формулу (21) можно записать в виде

(24)

Если в числителе выражения (24) все величины взять со знаком «+», а в знаменателе — со знаком «—», то мы получим максимальное значение ρ_max .Наоборот, если в числителе (24) все величины взять со знаком «—», а в знаменателе — со знаком «+», то получится минимальное значение ρ_min. Это означает, что истинное значение ρ находится между ρ_min и ρ_mах, т. е. в интервале

.

Число ρ = 4.908738 • 10^-6 Омм, которое мы вычислили, лишь одно из чисел этого интервала. Естественно, что оно ничем не лучше любого другого числа из этого интервала.

Представим ρ в виде

ρ=±Δρ,

где — среднее значение ρ. Δρ — погрешность измерения.

Преобразуем формулу (24):

(25)

где —среднее значение удельного сопротивления ;

относительные погрешности измерения соответствующих величин. При любых «нормальных» измерениях относительные погрешности малы. Так, в нашем примере U = 1 В, ΔU/U = 5 10^-2, =40 см., Δl = 0,05_см, / Δl = 110^-3, Ī = 100 мА., ΔI= 5 мА, Ī / ΔI = 5 10^-2, = 0,5 мм., Δd = 0,01 мм, / Δd= 2 10^-2.

Это позволяет использовать хорошо известную из математики приближенную формулу

если х << 1.

Тем, кто сомневается в ее справедливости, рекомендуется «проверить» эту формулу на микрокалькуляторе. Для этого считайте, что =2, и убедитесь, что (1 + х)² = 1 + 2х, если х<<1.

Посмотрите, для каких х левая часть отличается от правой. Лучше всего вычислить отношение (1 + x)²/(1+ 2х), например, для х=510^-2, 210^-2, 110^-3.

Точно так же положите  = —1 и убедитесь, что

(1+x)^-1=

Легко установить, что ,,

Таким образом [см. (25)],

ρ=

Чтобы не загромождать формулы плюсами и минусами, будем считать, ΔU, ΔI, Δd, Δl принимают и положительное, и отрицательное значения, когда

(26)

Пренебрегая в (26) квадратичными членами типа , которые возникают при перемножении, находим

Откуда, наконец, приходим к искомому результату:

где Δρ =ρ —, очевидно, абсолютная погрешность измерения ρ, а отношение— его относительная погрешность. Это результат можно получить и из соотношения(15). Таким образом,

(27)

т. е. относительная погрешность измерения р очень просто связан с относительными погрешностями измерения соответствующих величин U, I, l , d..

В рассматриваемом примере нам известны относительные погрешности всех величин, входящих в формулу (21);

=510^-2, =510^-2, = 110^-3, =210^-3.

Видно, что наибольший вклад вносят погрешности измерения U, 1 и d, поэтому относительная погрешность измерения оказывается равной 1,03l0^-1, а абсолютная погрешность Δρ=1,03l0^-1.

Значение ρ мы уже вычисляли по формуле (21) и получили, что ρ = 4,908738410^-6 Омм. Совершенно ясно, что в этом примере все цифры после цифры "девять" в числе ρ бессмысленны, поскольку Δρ = 1,0310^-1510^-6= 0,51510^-6 ≈0,510^-6. Нужно взять = 4,9 х 10^-6≈ 510^-6 Омм и записать полученный результат следующим образом:

ρ=(4,9±0,5) 10^-6 Омм.