Физика - Оптика

Оптика

Все действия света характеризуются вектором напряжённости.

Уравнение электромагнитной волны: . В прозрачных средах . Показатель преломления среды . Т.к.  зависит от частоты колебаний, то .

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Длина волны в среде , где – длина волны в вакууме.

Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой волной, называется интенсивностью волны: . Т.к. , то . Пусть . Тогда .

Свет излучается цугами. Каждый цуг длится порядка с.

В однородной среде свет распространяется прямолинейно (при отсутствии маленьких отверстий). При пересечении световых лучей они не возмущают друг друга (при не слишком больших интенсивностях).

Отражённый луч лежит в одной плоскости с падающим и с перпендикуляром, восстановленным в точке падения, причём угол падения равен углу отражения.

Закон преломления: , где – угол преломления, – скорость в i-й среде, – преломление i-й среды.

.

Оптическая длина пути .

Принцип Ферма: Свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

.

Интерференция световых волн

Пусть в какую-то точку приходят две волны: , . Тогда амплитуда результирующего колебания . Усреднив по времени, получим: (где ), следовательно, .

Если разность фаз  остаётся постоянной по времени, то такие лучи называются когерентными. Тогда .

Явление перераспределения интенсивности называется интерференцией.

Пусть один луч расщепили на два и пустили их по путям и . Тогда у начального луча фаза , у расщеплённых – . Когда оптическая разность хода , будет максимум распределения интенсивности, а когда , будет минимум распределения интенсивности.

Интерференция от двух источников

– разность хода. При этом . Оптическая разность хода , где m – любое целое число. Отсюда видно, что ширина интерференционной полосы .

Пусть распространяются две волны: , . Суммарная волна . Отсюда видно, что амплитуда суммарного колебания зависит от точки экрана, в которую она попадает. Если , то наблюдается максимум, следовательно, , где  – угол между волнами.

Интерференция на тонких пластинах

Оптический путь левого луча внутри пластинки: . Оптический путь правого луча, проходимый им в то время, пока второй луч идёт внутри пластинки: . Оптическая разность хода: , следовательно, .

При отражении от границы раздела двух сред, если вторая среда более оптически плотная, то происходит скачок фазы на .

Следовательно, .

Найдём , следовательно, оптическая разность хода . Если , то кольцо светлое. Если , то кольцо тёмное.

Радиус m-го кольца: .

Временная когерентность

Пусть есть цуг, растянутый во временном промежутке с амплитудой при . Разложим его в интеграл Фурье: , где . При этом , т.к. – нечётная функция, а , т.к. при , т.к.  и – большие частоты.

Интенсивность света .

.

Время когерентности – это то время, за которое случайное изменение фазы колебания достигнет значения порядка .

– длина когерентности – то расстояние, которое волна проходит за время когерентности.

Если оптическая разность хода порядка , то эти два луча становятся некогерентными.

Вернёмся к пластинке: , т.к. .

Таким образом, толщина b должна быть порядка м.

Пространственная когерентность

Пусть в пространстве распространяется сферическая волна. Выясним, какое максимальное расстояние d между двумя точками на её фронте можно взять, при котором волна всё ещё будет когерентна сама себе. Для этого можно обернуть картину и представить, что свет, излученный двумя точечными источниками, находящимися на расстоянии d попадает в точку с координатой u. Тогда оптическая разность хода и если , то волны будут когерентны. – ширина когерентности – предельное расстояние на фронте волны, в двух точках которого волны ещё когерентны. Угол когерентности .

Дифракция

Принцип Гюйгенса: Каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн, а огибающая этих вторичных волн есть новое положение фронта волны.

Принцип Гюйгенса-Френеля: Амплитуда вторичной волны пропорциональна площади элемента, который её испускает.

Уравнение волны, испущенной площадкой , где  – угол между нормалью к площадке и направлением, в котором рассматривается излучение, – коэффициент, введённый Френелем, , – фаза колебания в точке на поверхности фронта. Уравнение всего волнового фронта: , где ­S – его площадь (например, на рисунке это площадь щели).

Зоны Френеля

Зоны, ограниченные точками с расстоянием от волнового фронта до точки P, равном , называются зонами Френеля.

Разность фаз у соответствующих волн из разных зон Френеля равна .

.

Площадь сегмента . Площадь зоны .

Если углы очень малы, то . Тогда амплитуда колебаний в точке P , где – амплитуда колебания, приходящего из i-й зоны Френеля; , т.к. .

Радиус m-й зоны .

Количество зон, открываемых отверстием радиуса .

Дифракция Фраунгофера

Так как, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, амплитуда пропорциональна площади излучающей поверхности, а она в случае, изображённом на рисунке, пропорциональна ширине отрезка, лежащего в щели, то . Амплитуда приходящей волны .

Разность хода ; сдвиг фазы .

. Интенсивность . Количество минимумов (т.к. ). Угловая ширина центрального максимума .

Количественный критерий дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера

. Если лучи параллельны, то . . Если , то наблюдается дифракция Фраунгофера (т.к. порядок l примерно такой же, как и у r), если , то наблюдается дифракция Френеля, а если , то дифракции нет.

. В случае дифракции Фраунгофера в точке наблюдения на оси системы щель открывает малую долю первой зоны Френеля.

Многолучевая интерференция

Пусть складывается N колебаний с одинаковой амплитудой A и сдвиг фаз между которыми одинаков и равен . Тогда, как видно из векторной диаграммы, . Тогда амплитуда суммарного колебания , где – интенсивность лучей, приходящих в точку, где складываются колебания. При . Координаты минимумов: , где k – номер минимума, . При – резкий максимум.

Дифракционная решётка

Дифракционной решёткой называется система из одинаковых щелей, расположенных на одинаковом расстоянии в линию.

Так как на щелях дифракционной решётки происходит дифракция Фраунгофера, то распределение интенсивности .

Оптическая разность хода .

Условие минимума: . Угловая ширина центрального максимума: .

Основные характеристики спектрального прибора:

Угловая дисперсия – величина , где – разность углов, соответствующих разным длинами волн, – разность этих длин волн, при малых .

Разрешающая сила или разрешающая способность – величина .

Критерий Релея: Два близких максимума воспринимаются раздельно, если середина одного максимума совпадает с краем другого.

– условие максимума для волны , – условие соседнего минимума для волны . По критерию .

Формула Брэгга-Вульфа: – условие максимума при дифракции отражённых рентгеновских лучей на кристалле.

Дифракция на кристалле используется для анализа спектрального состава рентгеновского излучения и ля исследования кристаллов.

Поляризация

Разложим на компоненты: и пусть . Тогда – уравнение траектории конца .

При будет – линейная поляризация.

При будет – эллиптическая поляризация. Если вдобавок , то поляризация круговая.

Поляризатор пропускает все волны, в которых колеблется в определённом направлении (например, ). Тогда, если , то и, т.к. , – закон Моллюса.

Степень поляризованности света .

Формулы Френеля

Разложим векторы: , где «||» – вектор, лежащий в плоскости рисунка и перпендикулярный лучу, «» – вектор, параллельный оси y.

Условия на границе раздела двух диэлектриков: , т.е. , т.к. лежит в плоскости xy. Из рисунка видно, что . Обозначим . Тогда , .

Таким образом, .

Отсюда следует, что . Если , то в отражённом свете будет отсутствовать , т.е. свет будет поляризован. – соответствующий угол падения (угол Брюстера). , где – закон Брюстера.

Формулы Френеля:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Рассмотрим случай почти нормального падения, т.е. когда  и  – очень малые углы. Тогда и формулы преобразуются следующим образом:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

при , следовательно, на рисунке направление выбрано верно, а, значит, при отражении от оптически более плотной среды фаза действительно скачком меняется на .

Если , то можно подобрать такой угол падения, что , т.е. . Тогда . Аналогично и , следовательно, в среду с оптической плотностью луч не проходит.

Коэффициент отражения .

Коэффициент прохождения .

Двойное лучепреломление

Это явление наблюдается при прохождении света через кристаллы, не обладающие кубической структурой. Явление заключается в том, что луч распадается на два, причём каждый распространяется со своей скоростью и, вообще говоря, в разных направлениях.

Оптическая ось кристалла – направление, при распространении луча света вдоль которого разделение на два луча не происходит.

Любая плоскость, содержащая ось кристалла, называется главным сечением кристалла.

Луч, для которого выполняются законы преломления, называется обыкновенным, другой – необыкновенным.

Оба луча оказываются линейно поляризованными во взаимно перпендикулярных направлениях. Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна плоскости кристалла.

Диаграммы скоростей:

Кристаллы, в которых обыкновенный луч движется быстрее необыкновенного, называются положительными, другие – отрицательными.

Интерференция поляризованных лучей

Пусть есть кристаллическая пластина, вырезанная вдоль оптической оси и на неё нормально падает луч света с длиной волны . Тогда два луча – обыкновенный и необыкновенный – будут двигаться с разными скоростями и, следовательно, для них будут разные показатели преломления. Обозначим – оптическая плотность для обыкновенного луча, – для необыкновенного. Тогда оптическая разность хода , где d – толщина пластинки. Разность фаз .

Кристаллическая пластинка, вырезанная вдоль оптической оси с толщиной называется пластинкой в четверть длины волны; с толщиной – пластинкой в половину длины волны.

Искусственное двойное лучепреломление

Эффект Керра: . Разность фаз обыкновенного и необыкновенного луча после прохождения такой ячейки , где B – постоянна Керра.

Явление двойного лучепреломления может возникать и в кристаллах с кубической структурой и в аморфных телах при создании в них механической деформации.

Вращение плоскости поляризации

При прохождении плоскополяризованного света через оптически активное вещество плоскость поляризации поворачивается на угол, пропорциональный длине пути света в этом веществе: . Если это вещество – жидкость, то , где – удельная постоянная вращения, c – концентрация вещества, растворённого в жидкости.

Дисперсия

Пусть складываются две волны: . Разность фаз . Приращение разности фаз . Перейдём в такую систему отсчёта, что , т.е. в систему отсчёта, связанную с движением «горба» биения. Тогда .