4.4. Построение уравнения парной регрессии

Для проверки возможности использования линейной функции определяется разность (); если она по модулю меньше 0,1, то считается возможным применение линейной функции. В рассматриваемом примереABS (0,898-0,995) = 0,097< 0,100. Значениеопределено по сгруппированным данным.

Для решения этой же задачи можно использовать величину , определяемую по формуле

, (58)

где m — число групп, на которое разделен диапазон значений факторного признака.

Если окажется меньше критического значенияF- критерия, то нулевая гипотеза о возможности использования в качестве уравнения регрессии линейной функции не опровергается. Значение F -критерия определяется по таблице в зависимости от уровня значимости = 0,05 (вероятностьР = 0,95) и числа степеней свободы знаменателя () и числителя () (см. функциюF.расп. EXCEL).

При линейной связи параметры (и) уравнения парной регрессии:

(59)

находятся с помощью метода наименьших квадратов. Суть метода заключается в минимизации суммы квадратов отклонений теоритических значений результативного признака () от его фактических значений ():

(60)

Условие (7.26) выполняется при равенстве нулю частных производных по параметрам и:

(61)

Сократим каждое уравнение системы (7.27) на (-2), раскроем скобки и получим следующую систему нормальных уравнений:

(62)

Поделим каждое уравнение системы (7.28) на объём статистической совокупности (n), тогда упомянутую систему можно представить в более наглядном виде:

(63)

Из первого уравнения системы (63) следует, что:

(64) Подставив полученное выражение во второе уравнение, получим:

. (65) Коэффициент корреляции определяется по формуле:

(66) Учитывая (65) и (66) получим

(67)

или . (68) Зная значенияr, иможно вычислить по выражениям (68) и (64) параметрыилинейного уравнения регрессии.

Параметр , нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторного признака на результативный при­знак из-за различия единиц измерения исследуемых показате­лей. Для этих целей вычисляютзначение среднего коэффициента эластичности и бета-коэффициент:

(69)

(70)

Коэффициент эластичности показывает, на сколь­ко процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака x на один процент.

Бета-коэффициент показывает, на какую часть своего среднего квадратического отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину своего среднего квадратического отклонения.

4.4.1. Статистический анализ модели

Для того чтобы оценки ипараметров уравнения регрессии обладали адекватностью ряд остатковдолжен удовлетворять следующим требованиям:

1. математическое ожидание равно нулю (критерий нулевого среднего);

2. величина является случайной переменной (критерий серий);

3. значения независимы между собой (критерий Дарбина-Уотсона);

4. дисперсия постоянна:для всехi, j (тест Гольдфельда-Квандта);

5. Остатки распределены по нормальному закону (свойство используется для проверки статистической значимости и построения доверительных интервалов при прогнозировании)

Отметим, что аппроксимировать уравнением парной регрессии у на х, имеет смысл только в том случае, если существует достаточно тесная статистическая зависимость между случайными величинами и линейный коэффициент корреляции является значимым, что и имеет место в рассматриваемом примере.