НИРС Андреев / МНИ

6. ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

6.1. Общие сведения о погрешностях эксперимента

Результаты математического, аналогового и физического эксперимента не могут быть получены абсолютно точно. Причинами, приводящими к отклонению этих результатов от их истинных значений, являются приближенность числовых параметров, которые содержатся в уравнениях, описывающих исследуемое явление; неточность величин, входящих в условия однозначности задачи; приближенность метода решения задачи; несовершенство методов и средств измерений; непостоянство условий, при которых проводятся измерения, и т.д.

Под точностью эксперимента понимают его качество, отражающее близость полученных результатов к истинному значению искомой величины. Точность эксперимента тем выше, чем меньше его погрешность, можно сказать, что точность – величина обратная погрешности.

Разность D между результатом эксперимента х и истинным значением искомой величины X называют абсолютной погрешностью эксперимента

D = х – Х.

Погрешность, выраженную в долях или процентах действительного значения искомой величины, называют относительной погрешностью. Относительная погрешность d определяется соотношением

d = D / X . (6.1)

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины называется относительной погрешностью измерения. Относительная погрешность может быть выражена в процентах. Измерительные приборы часто характеризуются приведенной погрешностью, которая определяется как отношение погрешности измерительного прибора к нормирующему значению. За нормирующее значение чаще всего принимается диапазон измерения прибора. Приведенная погрешность, как правило, выражается в процентах:

где N – нормирующее значение; Nк – конечное значение шкалы; Nн – начальное значение шкалы прибора.

Следует заметить, что истинное значение величины, определяемой в результате эксперимента, всегда остается неизвестным, поэтому и погрешности эксперимента могут быть оценены лишь приближенно.

В зависимости от свойств (причины возникновения) погрешности под-

разделяют на случайные, систематические и грубые. Случайной называ-

ется погрешность, обусловленная действием ряда причин, меняющихся случайным образом от эксперимента к эксперименту. Значение этой погрешности не может быть определено в каждом эксперименте, и на него невозможно оказать влияние. В то же время в результате большого числа экспериментов

51

могут быть выявлены некоторые закономерности, присущие этому типу погрешностей.

Систематической называется погрешность, которая при повторных экспериментах остается постоянной или изменяется закономерным образом. В зависимости от источника возникновения различают следующие разновидности систематических погрешностей: методические, инструментальные и субъективные. Методические погрешности обусловлены приближенностью математического описания исследуемого явления и возможной приближенностью методов их решения; неточностью соотношений, описывающих физические законы и явления, на которых основан принцип измерения; возможным несоответствием условий проведения измерений тем условиям, для которых эти соотношения получены, и т.д. Методические погрешности не зависят от точности применяемых при проведении физического и аналогового эксперимента средств измерения.

Инструментальные погрешности определяются точностью используемых средств измерения. Принято различать основную погрешность средств измерения – погрешность в условиях, принятых за нормальные, и дополнительные погрешности, вызванные отклонением влияющих параметров (давления, температуры, влажности окружающей среды, уровня вибраций, ориентации в пространстве и т.д.) за пределы области нормальных значений. В некоторых случаях инструментальные погрешности могут быть исключены путем внесения поправок.

Специфический смысл имеет инструментальная погрешность применительно к математическому эксперименту, выполняемому с помощью ЭВМ. В роли средства измерения здесь выступает ЭВМ, а инструментальная погрешность вызвана округлениями при вычислениях, проводимых с сохранением хотя и большого, но ограниченного числа значащих цифр.

Субъективные погрешности обусловлены индивидуальными особенностями человека, выполняющего измерения в процессе эксперимента. Это, например, запаздывание или опережение регистрации сигнала, неправильная интерполяция при отсчете показаний в пределах одного деления шкалы и т.д. Совершенствование средств измерений позволяет уменьшить эту составляющую погрешности или полностью ее исключить. Так при применении цифровых приборов субъективные погрешности исчезают.

Систематические погрешности имеют определенное значение и знак, они могут быть устранены введением поправки. Поправкой называется значение величины, прибавляемое к полученному при измерении значению с целью исключения систематической погрешности. Что касается случайных погрешностей, то их оценка может быть проведена только по результатам многократных измерений.

Грубой называется погрешность эксперимента, существенно превышающая погрешность, оправданную характером и условиями его проведения, а также свойствами используемых средств измерения. Причиной грубой погрешности может быть сбой в работе ЭВМ, резкое кратковременное изменение напряжения, питающего прибор, описка, сделанная экспериментато-

52

ром при записи результатов измерения, или неправильное снятие показаний прибора. В последнем случае грубую погрешность называют промахом. Грубые погрешности могут быть обнаружены, например, статистическими методами, и содержащие их результаты следует исключать из рассмотрения.

Все параметры, определяемые в процессе эксперимента, можно подразделить на две группы. К первой группе относят величины, которые находятся в результате прямых измерений, например длина, измеренная линейкой, время, измеренное секундомером, и т.д. Ко второй группе относят величины, которые определяются в результате вычислений и представляют собой функции некоторых аргументов. Определенным преобразованием функциональной зависимости, определяющей искомую величину, можно добиться, чтобы эта величина зависела от одной или нескольких из следующих разновидностей параметров: от параметров, которые можно считать точными (независимые переменные, числовые коэффициенты, в том числе такие как p, основание натурального логарифма е, которые могут быть представлены со сколь угодно высокой точностью, и т.п.); от приближенных величин, определенных с ограниченной, но известной точностью, например табличных данных о теплофизических свойствах вещества; от приближенных величин, найденных в результате прямых измерений с ограниченной, но неизвестной заранее точностью.

Теория экспериментальных погрешностей открывает возможность для решения следующих основных задач, возникающих при постановке эксперимента: определения погрешности прямых измерений; определения погрешности величины – функции при известных погрешностях ее аргументов (прямая задача); оценки погрешностей аргументов, если задана погрешность функции и известен вид функциональной зависимости (обратная задача); нахождения наивыгоднейших условий эксперимента, при которых погрешность функции является наименьшей.

6.2. Показатели точности и формы представления результатов эксперимента

Погрешности опытов, как правило, содержат систематическую и случайную составляющие. Грубые погрешности исключаются из ряда наблюдений. Поэтому при анализе погрешностей эксперимента широко используется аппарат математической статистики и теории вероятностей. Полезно вспомнить некоторые основные понятия и определения теории вероятностей и математической статистики, связанные с математической обработкой результатов эксперимента и его планированием.

Пусть случайное событие x при проведении серии из n независимых испытаний произошло nx раз. Предел, обозначаемый P{x}, к которому стре-

мится отношение nx / n при неограниченном увеличении числа испытаний n, называют вероятностью этого события:

53

дений над случайной величиной называют генеральной совокупностью, а некоторую часть этих результатов – выборкой. Количество результатов наблюдений, входящих в выборку, называют ее объемом.

Случайная величина может быть непрерывной и дискретной. Непрерывная случайная величина принимает любые значения из диапазона своего изменения, а дискретная – только строго определенные значения. Например, продолжительность человеческой жизни – величина непрерывная, а число студентов, присутствующих на лекции, – величина дискретная.

Полностью свойства случайной величины x и, в частности, результата эксперимента х, содержащего случайную погрешность, или самой погрешности D описываются интегральной функцией распределения F(x) или дифференциальной функцией распределения f(x), называемой еще плотностью рас-

Часто для характеристики случайной величины используют не сами функции распределения, ее показатели. Важнейшим параметром является ее математическое ожидание M {x} (или x). Для ограниченного объема выборки данный параметр называется средним арифметическим.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется выражением

а для дискретной случайной величины

Здесь n – объем выборки.

Параметрами, характеризующими степень рассеяния случайной величины около ее среднего значения, являются дисперсия D{x} и среднеквадратичное отклонение (погрешность) s{x}

Выражение (6.8) для непрерывной и дискретной случайной величин

54

может быть раскрыто следующим образом:

Во многих случаях свойства случайных погрешностей вполне удовлетворительно описываются нормальным законом распределения, полученного Гауссом

Встречаются и другие законы распределения погрешностей (например, равномерный, треугольный, и т.д.

Согласно ГОСТ 8.711-78 «Показатели точности. Формы представления результатов измерений» один из способов выражения точности и соответствующей ей форма представления результатов следующая:

x = x ± D , P;

где x – результат эксперимента (среднее арифметическое), ±D – доверительный интервал; Р – доверительная вероятность.

Число значащих цифр, сохраняемых при записи числовых значений показателей точности, не должно превышать двух, а число значащих цифр, сохраняемых при записи числовых значений результата эксперимента, выбирается с таким расчетом, чтобы младшие разряды значений результата эксперимента и показателей его точности были одинаковы.

6.3. Оценка погрешности прямых измерений

Различные виды погрешностей (случайные или систематические) требуют использования различных приемов их оценки. Характеристики случайной составляющей погрешности прямого измерения определяются по результатам повторных измерений, проводимых одними и теми же средствами в одних и тех же условиях. Поскольку в большинстве случаев оправдано использование нормального закона распределения случайной погрешности, то остановимся на определении параметров, входящих именно в этот закон.

Дисперсия D{ Di } и среднеквадратичная погрешность s{Di } отдельного измерения определяются с помощью выражений

55

здесь n – число измерений (объем выборки); хi – результат i-го измерения; x

– среднее арифметическое результатов измерения, определяемое соотношением

Доверительная вероятность Р для любого значения доверительного интервала e, выраженного в долях среднеквадратичной погрешности s, может быть подсчитана по выражению, полученному из (6.12):

2p -e

здесь e = D / s , где D – значение доверительного интервала.

Функция (6.17) называется нормированной функцией Лапласа. Для облегчения расчетов эта функция представлена таблицами, приведенными, в справочниках. Так доверительному интервалу D, равному значению среднеквадратичной погрешности s, соответствует доверительная вероятность 0,68; доверительному интервалу, равному 2s, – доверительная вероятность 0,95; доверительному интервалу, равному 3s, – доверительная вероятность 0,997.

Заметим, что расчеты с использованием выражений (6.14) – (6.17) предполагают проведение достаточно большого числа измерений (теоретически n ® ¥ ). На практике оценку точности приходится производить на основании ограниченного числа измерений. В этом случае выражения (6.14), (6.16) представляются в форме

Однако доверительная вероятность, соответствующая тому или иному значению доверительного интервала, определяется при этом не по выражению (6.17), а с помощью так называемого распределения Стьюдента (псевдоним английского математика У. Госсета). Обозначим доверительную вероятность в данном случае a.

56

Коэффициенты Стьюдента tan, представляющие собой (так же как и величина e) значения доверительного интервала, выраженного в долях среднеквадратичной погрешности, приведены в табл. 6.1 для трех различных значений доверительной вероятности a и различного числа измерений n. При достаточно большом числе измерений n (n ® ¥ ) расчеты с использованием распределения Стьюдента и по выражению (6.17) приводят к одинаковым результатам. Более подробные таблицы коэффициентов Стьюдента приведены в справочной литературе.

Среднеквадратичная погрешность отдельного измерения a{Di} характеризует точность применяемого способа измерения, но не точность полученного результата при многократных измерениях. Погрешность результата многократных измерений характеризуется среднеквадратичной погрешностью среднеарифметического s{D}:

Доверительная вероятность, соответствующая доверительному интервалу результата многократных измерений, определяется также с использованием распределения Стьюдента, но доверительный интервал относится в этом случае к среднеквадратичной погрешности среднеарифметического.

Анализ выражения (6.20) позволяет сделать важный практический вывод: если точность результата измерения определяется случайной погрешностью, то повышение этой точности возможно в результате не только увеличения точности применяемого способа измерений, т.е. уменьшения s{Di }, но

и увеличения числа измерений n. Соотношение (6.20) позволяет также правильно выбрать необходимое число измерений. Так очевидно, что для повышения точности результата есть смысл увеличивать число измерений до тех пор, пока случайная составляющая погрешности является преобладающей. Дальнейшее увеличение числа измерений не будет приводить к заметному повышению точности результата измерения, поскольку преобладающей становится систематическая погрешность, значение которой от числа измерений не зависит.

Характеристики систематической составляющей погрешности прямого измерения могут быть определены либо с помощью более точных средств измерений, либо косвенным путем с использованием паспортных данных о характеристиках точности применяемых средств измерений. На практике применяется обычно второй путь, поскольку нецелесообразно использовать при измерении одной и той же величины в одинаковых условиях средства измерения различной точности.

При определении систематических погрешностей возникают две задачи: нахождение поправок и оценка диапазона изменения той составляющей систематической погрешности, точное значение которой определить не представляется возможным.

Поправки определяются в процессе поверки средств измерений. В

57

дальнейшем результат измерения корректируется на значение поправки, поэтому фактически систематическая погрешность измерений определяется лишь составляющей, точное значение которой неизвестно. Эта составляющая, в свою очередь, складывается из неучтенной поправками части методической и инструментальной погрешностей, а также из субъективной погрешности и из погрешности определения самой поправки. Для определения результирующей систематической погрешности нужно оценить диапазон изменения всех этих составляющих (иногда с этой целью приходится использовать методы, которые изложены в следующем параграфе).

При нормальном законе распределения составляющих погрешностей выражение, позволяющее определить результирующую погрешность, имеет вид

При использовании формулы (6.21) все значения Di должны быть выбраны при одной и той же доверительной вероятности. Этому же значению доверительной вероятности соответствует и результирующая погрешность.

При равномерном законе распределения составляющих погрешностей выражение для определения результирующей погрешности удобно представить в форме

Здесь значения величин Di - выбираются при доверительной вероятности, равной единице. Численное значение константы k, входящей в формулу (6.22), зависит от доверительной вероятности Р, с которой требуется определить величину DS , а при Р > 0,99 еще и от числа слагаемых m. Для Р = 0,95

k » 1, а при Р = 1,0

После определения случайной и систематической составляющих погрешностей может быть найдена суммарная погрешность аналогично тому, как это делалось для различных составляющих систематической погрешности.

Если число составляющих погрешностей достаточно велико (практически m ³ 5), то независимо от закона их распределения закон распределения суммарной погрешности можно считать нормальным. Этот вывод следует из так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова, согласно которой сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных величин с любыми распределениями дает нормальное распределение.

6.4. Правила записи и вычислений результатов измерений

58

ний неизвестен, абсолютная погрешность приравнивается половине цены деления шкалы (половине младшего разряда цифрового табло).

Прямые многократные измерения. При повышенных требованиях к точности измерений применяют многократное измерение одной и той же величины. Наилучшим приближением к истинному значению измеряемой физической величины является среднее арифметическое результатов отдельных измерений. Поэтому для наиболее точного определения значения величин, в результатах измерения которых содержатся случайные погрешности, наблюдения (измерения) повторяют некоторое количество раз и в качестве окончательного результата берут среднее значение.

Обработка результатов повторных измерений величины х выполняется

вследующей последовательности:

1.Проводится n измерений параметра.

2.Введением поправок исключается систематическая погрешность.

3.Определяется среднее арифметическое значение результатов ряда наблюдений:

4. Вычисляются для каждого из измерений отклонения от среднего арифметического:

Dx = xi - x .

5. Определяются квадраты этих отклонений:

(xi - x )2 .

6. Вычисляется значение средней квадратичной ошибки отдельного результата измерений:

7. Значение средней квадратичной ошибки среднего арифметического определяется из формулы

8. Следует считать, что при малом числе измерений случайная величина х распределена по закону распределения Стьюдента. При этом абсолютная погрешность результата измерений x определяется умножением средней

квадратичной погрешности среднего арифметического на коэффициент tαn (коэффициент Стьюдента), зависящий от числа произведенных измерений и выбранной доверительной вероятности a

60