МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7. ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА

Если при движении газа возникают разности давлений, небольшие по сравнению с абсолютным давлением газа, то изменения объема получаются столь малыми, что такие потоки газа можно считать в первом приближении несжимаемыми.

При движении газа большие разности давлений и связанные с ними значительные изменения объема возникают в основном в следующих случаях:

1)когда пространство, занятое газом, находящимся под действием силы тяжести, имеет большую протяженность в высоту (движение масс воздуха в свободной атмосфере – предмет рассмотрения динамической метеорологии);

2)когда в потоке газа имеют место большие скорости (течение через отверстия и в каналах, движение тел в газе с большой скоростью рассматриваются в рамках газовой динамики);

3)когда движение газа связано с большими ускорениями (случаи быстрых колебаний в газе (такие движения рассматриваются в акустике), при взрывныхволнахибыстромоткрытииилизакрытиизадвижеквтрубопроводах).

Во всех этих случаях чрезвычайно важную роль играет скорость, с которой в массе газа распространяются возмущения давления. Величина этой скорости зависит только от термодинамического состояния газа, является характерной для данного газа и играет важную роль для выяснения особенностей движения газа – скорость распространения малых возмущений (например малых сжатий) по газу равносильна скорости распространения звука. Поэтому подробно остановимся прежде всего на этом процессе.

7.1.Скоростьраспространениямалыхвозмущений

видеальномгазе. Скоростьзвука

Пусть в покоящейся массе газа, заключенной в широкой трубе, к.-л. образом (например, движением поршня) создано повышение давления. Это повышение давления начинает распространяться вправо, как это показано схематически на рис. 7.1. Предположим, что возникшее распределение давления перемещается, не изменяя формы, со скоростью a. Так как газ при этом сжимается, то та его часть, через которую повышение давления уже про-

изошло, должна обладать некоторой скоростью V. Примем, что P1 P0, а следовательно, и 1 0 малы.

7.ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА

7.1.Скорость распространения малых возмущений в идеальном газе. Скорость звука

Тогда задача о распространении в газе малых возмущений может быть сформулирована так: в покоящемся идеальном и совершенном газе создаются весьма малые возмущения скоростей, давлений или плотности, причем возникающее вследствие этого движение является одномерным и баротропным, зависящим только от координаты, совпадающей с осью трубы, и времени; требуется разыскать элементы возмущенного движения.

Рис. 7.1

Относительно явлений, которые происходят в области шириной b (рис. 7.1) можно сказать следующее: за время b / à , когда область b проходит через к.-н. место массы газа, плотность в нем увеличивается от 0 до 1 . При-

ращение массы газа в единицу времени в переходной области

m F 1 0 a ,

где F площадь сечения объема Fb . Оно вызвано тем, что в переходную область втекает из области сгущения масса газа 1FV . Вследствие неразрывности течения, приравнивая обе массы, получаем

Внутри переходной области скорость увеличивается (за промежуток времени ) от 0 до V , тогда среднее ускорение

7.ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА

7.1.Скорость распространения малых возмущений в идеальном газе. Скорость звука

Заменив в левой части уравнения (7.2) 1 на m (допуская при этом несущественную погрешность) и разделив уравнение (7.4) на (7.1), получим

Правая часть этого уравнения зависит только от закона сжатия газа и существенно положительна, т. к. плотность совершенного газа растет с давлением; можем ввести обозначения

Таким образом, если изменения давления в газе малы, то скорость их распространения не зависит ни от их величины, ни от ширины переходной зоны и определяется только законом сжатия газа. Отсюда следует, что скорость распространения колебаний давления не изменится, если будут следовать друг за другом различные по знаку изменения давления, лишь бы они были малыми. К числу наиболее широко наблюдаемых явлений распространения малых возмущений в жидкостях и газах относится распространение звука, представляющее, как известно, распространение волн слабого разрежения и сжатия. В связи с этим величину а называют скоростью звука.

При изотермическом процессе распространения звука, согласно уравнению состояния, его скорость выражается формулой Ньютона

Если процесс распространения звука происходит без теплообмена с окружающей средой, имеем адиабатический процесс сжатия

dP kCpk 1 k P ; d

адиабатическая скорость звука будет определяться формулой, предложенной Лапласом,

Применяя формулу Клайперона, можем переписать (7.8) в виде

Отсюда следует, что скорость распространения малых возмущений в совершенном газе зависит только от температуры и физических свойств газа. Подставив в (7.9) значение газовой постоянной

7.ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА

7.1.Скорость распространения малых возмущений в идеальном газе. Скорость звука

Возмущения, исходящие от неподвижного источника в покоящемся газе, распространяются в виде концентрических сферических волн, фронт которых представляет собой тонкий слабоуплотненный слой. При движении источника возмущений (например твердого тела) относительно неподвижного газа величина a является критерием движения (если V a , движение дозвуковое, если V a – сверхзвуковое). В случае V a возмущения опережают движущееся тело (рис. 7.2), распространяясь вперед с относительной скоростью а V.

Если скорость тела больше скорости звука (рис. 7.3), в направлении движения оно все время обгоняет генерируемые им возмущения. В этом случае шаровые волны возмущений заполняют только конус, расходящийся вниз по потоку и имеющий свою вершину в точке A . Пространство вне конуса остается совершенно свободным от влияния источника возмущения. Поверхность конуса представляет собой фронт волны возмущений. При переходе через него состояние газа изменяется скачкообразно.

Угол между образующей конуса и его осью, совпадающей с направлением течения, определяется соотношением

и называется углом Маха.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.2. Теорияпрямогоскачкауплотнения

Многочисленные опыты показывают, что переход сверхзвукового течения в дозвуковое происходит скачкообразно. Простейшим примером прерывного уплотнения является прямой установившийся скачок уплотнения, впервые рассмотренный Стодолой и для идеального газа объясненный Риманом.

Представим себе бесконечную цилиндрическую теплоизолированную трубу, вдоль которой перемещается поршень. В начальный момент времени неподвижный поршень мгновенно приобретает скорость V и перемещается с этой скоростью влево, сжимая перед собой газ (рис. 7.4). Возникающее при этом возмущение газа (сжатие) будет распространяться по трубе.

Рис. 7.4

Если рассматривать движение газа в данном сечении (перпендикулярном оси трубы) как относительное в системе координат, движущейся поступательно и равномерно со скоростью газа в смежном сечении, можем в такой галилеевой системе применить теорию распространения малых возмущений. Это позволит утверждать, что скорость распространения возмущений в каждом сечении равна местной скорости звука. Таким образом, возмущения, создаваемые поршнем, можно рассматривать как совокупность звуковых волн, следующих друг за другом. Но в рассматриваемом адиабатическом и изэнтропическом движении сжатие газа сопровождается его нагревом, а скорость звука возрастает с температурой. Следовательно, каждая последующая волна относительно невозмущенного газа будет перемещаться быстрее, чем предыдущая. Волны будут догонять друг друга, складываться и образовывать одну мощную волну сжатия с устойчивым плоским фронтом, называемую

ударной волной, или прямым скачком уплотнения.

При движении поршня за ним образуется разрежение, которое будет распространяться вправо также волновым образом. Но в этом случае волны уже не будут догонять друг друга, т. к. последующая волна пойдет по газу, охлажденному предыдущей волной, и скорость распространения последующей волны будет меньше скорости предыдущей. Поэтому волны разрежения не образовывают ударных волн.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.2. Теория прямого скачка уплотнения

Из описания механизма развития ударной волны сжатия следует, что, после того как она образовалась (через конечный промежуток времени), по обе стороны ее фронта параметры состояния газа и его скорость (абсолютная или относительная по отношению к движущемуся фронту) будут иметь значения, различающиеся между собой на конечные величины. То есть фронт ударной волны представляет собой поверхность (в данном случае плоскость) разрыва параметров состояния газа, перемещающуюся по газу и вызывающую скачкообразное изменение этих параметров. В действительности этот процесс происходит на участке, имеющем длину порядка пути свободного пробега молекулы; для воздуха она составляет величину ~ 10-4 см. В данном случае имеет место внутренний молекулярный процесс, связанный с переходом кинетической энергии упорядоченного течения газа в кинетическую энергию беспорядочного теплового движения молекул, этим объясняется разогрев газа скачком уплотнения.

Рассмотрим явление, происходящее в трубе в галилеевой (относительной) системе координат, связанной с ударной волной (тогда она окажется как бы остановленной, а движение газа – стационарным). Невозмущенный газ уже не неподвижен, а подходит к скачку уплотнения слева направо (рис. 7.5) со скоростью V1, а за скачком движется со скоростью V2 V1 V .

Уравнения, описывающие это явление, имеют следующий вид 1. Уравнение неразрывности

m V1 V2 ,

W1 W2

где W1 и W2 удельные объемы (здесь масса газа m , протекающая в одну секунду, отнесена к единице площади).

Рис. 7.5

2. Уравнение количеств движения

P1 1V1 P2 2V2

или

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.2. Теория прямого скачка уплотнения

m V1 V2 P2 P1.

3. Уравнение энергии (приток и отвод тепла отсутствуют)

где для идеальных газов имеют место формулы для внутренней энергии и энтальпии:

Uk 1 1 PW CvT ;

iU РW k k 1 РW CpT .

Таким образом, составлена система трех уравнений с тремя неизвестными V2 , P2 и 2. Скорости V1 и V2 до и после скачка уплотнения связаны

между собой выведенным Прандтлем соотношением

V1V2 aкр2 ,

где aкр – критическая скорость звука. Из этого соотношения следует, что если одна из скоростей V1 или V2 больше скорости звука, то другая обя-

зательно меньше скорости звука.

Так как все вышеприведенные уравнения совершенно симметричны, то, казалось бы, возможны как скачки уплотнения, так и скачки разрежения. Однако если ввести в расчет энтропию в виде

динамики), то окажется, что физически возможны только скачки уплотнения, т. к. для замкнутых систем энтропия может только возрастать. Прерывное разрежение сразу переходит в непрерывную волну разрежения. Таким образом, скачок уплотнения образуется только в случае V1 a .

Если рассмотреть движение ударной волны в покоящемся воздухе, то в силу обратимости движения сообщим потоку движение V1, направленное слева направо (рис. 7.4). Тогда скорость перед скачком уплотнения будет

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.2. Теория прямого скачка уплотнения

равна нулю, а масса газа позади скачка уплотнения будет двигаться со скоростью V = V1 V2. Уравнение количеств движения в этом случае принимает вид

Таким образом, скорость V1 распространения волны уплотнения в покоящемся воздухе всегда больше скорости звука и при очень большой разности давлений может стать чрезвычайно большой, что в действительности и

ловой энергии опять преобразуется в кинетическую. Вследствие потерь энергии (диссипации в тепло) ударная волна, возникшая в неподвижном газе под влиянием единичного возмущения сжатия, с течением времени затухает.

Если набегающий поток изменяет свое направление, например, при сверхзвуковом обтекании клиновидного тела (рис. 7.6), то возникает косой скачок уплотнения. Пусть сверхзвуковой поток газа набегает на косой скачок уплотнения со скоростью V под углом к направлению фронта скачка и при

переходе через него отклоняется на угол , приобретая скорость V .

Таким образом, после встречи потока с фронтом косого скачка угол между направлением его фронта и направлением скорости V равен .

Разложим векторы скорости V и V на нормальные и касательные составляющие V , V и V , Vn , соответственно параллельные и нормальные

Рис. 7.6

направления фронта косого скачка. Можно показать, что Vn Vn , а

V =V . Действительно, если в окрестности скачка выделить некоторый объ-

ем abcd и применить к нему теорему импульсов, то приложенные к боковым поверхностям ab и cd силы взаимно уравновешиваются, т. к.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.3. Обобщенные одномерные движения

l , пройдя расстояние по нормали n Un t . Изменение площади сечения F равно площади кольца

Рис. 7.7

Заменяя в (7.25) согласно (7.26) двойной интеграл криволинейным и учитывая (7.27), получаем

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.3. Обобщенные одномерные движения

Исключая при помощи равенства (7.35) плотность в предыдущем уравнении, найдем

Из полученного уравнения, носящего имя Гюгонио, можно сделать ряд выводов. Знак скобки зависит от того, с каким течением имеют дело.

1. Если M 1 , знак dV1 противоположен знаку dF , т. е. при дозвуко-

вом движении газа, как и в случае с несжимаемой жидкостью, с возрастанием площади сечения трубы скорость движения жидкости уменьшается и, наоборот, с уменьшением F x1 растет V1.

2. Если M Va1 1 (т. е. V1 a скорость потока больше скорости зву-

ка), знак dV1 одинаков со знаком dF , т. е. при сверхзвуковом движении газа

в сужающейся трубе движение замедляется, в расширяющейся трубе – ускоряется. Этот парадоксальный на первый взгляд результат объясняется тем, что при расширении газа плотность его настолько сильно уменьшается, что произведение F в (7.32), несмотря на увеличение площади F , все же умень-

шается, что и приводит к возрастанию скорости V1.

3.Если M 1, то dF 0; соответствующее сечение трубы будет критическим. Условие dF 0 совпадает с необходимым условием экстремума площади сечения. Критическое сечение будет минимальным, т. к. при подходе к максимальному сечению дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не может привести к течению со скоростью звука в критическом сечении.

4.Если dF 0 и сечение экстремально (максимально или минимально), то либо M 1 и, следовательно, это сечение критическое, либо M 1 и

dV1 0 . В последнем случае, каково бы ни было движение – доили сверх-

звуковое, скорость в экстремальном сечении принимает также экстремальное значение: при дозвуковом течении газа – минимальное в максимальном сечении и максимальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом течении,

наоборот, в максимальном сечении скорость максимальна, в минимальном минимальна.

На этих рассуждениях основана гидродинамика сопла Лаваля – трубы, которая служит для перевода дозвукового потока, т. е. потока с малой скоростью, в сверхзвуковой поток. Чтобы получить сверхзвуковой поток, труба должна иметь суживающуюся (конфузорную) часть, в которой скорость потока увеличивается до скорости звука в минимальном сечении, и затем расширяющуюся, в которой мог бы ускоряться сверхзвуковой поток.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследованиерасчетногорежимадвижениягаза игеометрическихпараметровсоплаЛаваля

Применяемые в газотурбинных установках компрессоры и турбины представляют собой машины, в которых передача механической энергии рабочему телу осуществляется в процессе взаимодействия лопаток ротора с потоком газа. Одним из основных элементов турбомашины является неподвижный статор, в который вмонтированы сопла, преобразующие потенциальную энергию потока газа в кинетическую и придающие ему целесообразное направление перед входом на вращающиеся лопатки.

Лопаточный аппарат компрессора или турбины совместно с выходным или входным устройством образуют их прочную часть. Сочетание последовательно расположенных направляющего (соплового) аппарата и рабочего колеса называют ступенью. Совокупность отдельных ступеней образует лопаточный аппарат турбины.

Во многих случаях целесообразно использовать в сопловом аппарате турбины так называемые сопла Лаваля, названные по имени шведского инженера Лаваля, впервые применившего их в паровых турбинах.

или отвод тепла, и изоэнтропийно. Движение газа в сопле одномерное, т. е. параметры меняются только вдоль сопла.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4.Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля

7.4.1.Влияниеконструктивныхпараметровиразмеровсопел

исопловыхаппаратовнаэффективностьработытурбины

Имеется целый ряд параметров сопел, влияющих на рабочий процесс в сопловом аппарате, рабочем колесе и, следовательно, во всей турбинной системе в целом. По условиям применения высокоперепадные турбины с одиночными соплами должны работать в широком диапазоне изменения степени расширения.

Работа сопел Лаваля на нерасчетных режимах сопровождается возникновением системы скачков уплотнения с отрывом потока, что приводит к существенному снижению КПД сопла. Отсюда следует, что при определении размеров сопла должно быть принято компромиссное решение, обеспечивающее приемлемые показатели работы в рассматриваемом диапазоне изменения режима. Расчеты по определению оптимальных размеров сопел должны основываться на сопоставлении характеристик турбин с различными соплами при различных степенях расширения.

Сверхзвуковые сопла Лаваля более экономичны и имеют больший КПД по сравнению с комбинированными каналами на всех режимах.

Важные параметры, влияющие на КПД, степень уширения, угол раскрытия вых сопла. Согласно результатам исследований вых = 6 10 . Наиболее

целесообразным в широком диапазоне режимов является коническое сопло с цилиндрическим косым срезом. Укороченное сопло предпочтительно с точки зрения экономичности.

7.4.2. ОпределениепараметровторможениягазавсоплеЛаваля

Параметры торможения – это значения энтальпии, температуры, давления и плотности в той точке, где скорость потока равна нулю, т. е. поток полностью заторможен. В результате полного торможения вся кинетическая энергия направленного движения переходит во внутреннюю энергию. При полном торможении потока совершенного газа температура торможения T0 ,

как и энтальпия, может иметь только одно определенное значение, в то время как давление торможения P0 и плотность 0 могут принимать любые значе-

ния, но такие, при которых отношение P0 остается постоянным. Следует

0

уяснить, что при определении параметров торможения не имеется в виду реальное торможение потока. Параметры торможения формально вычисляются в данном сечении потока по соответствующим уравнениям и имеют большое значение при рассмотрении как теоретических, так и экспериментальных задач газовой динамики.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля

Параметры изоэнтропийного торможения определяются из уравнения энергии при постоянной теплоемкости:

СpT 1 / 2U 2 C pT0 ,

где Ср теплоемкость газа при постоянном давлении; Т температура газа в произвольном сечении сопла, К; U скорость газа в произвольном сечении сопла, м/с; T0 температура торможения газа, К. Тогда температура торможения

где P / R T , R газовая постоянная, R = 287 для воздуха [Дж/(кг K)],

R C p Cv .

Температуру, давление и плотность заторможенного газа можно определить по формулам (7.40), (7.41) и по таблицам газодинамических функций

– безразмерных параметров, позволяющих упрощать анализ уравнений газовой динамики, а также расчет (прил. 2).

Температуру, давление и плотность удобно измерять в долях от их значений в заторможенном потоке:

T / T0 ; P/ P0 ; / 0 .

Сначала определяют число Маха – отношение скорости потока к местной скорости звука. Для идеального газа скорость распространения звука зависит только от его температуры:

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля

С помощью линейной интерполяции находят , , , соответствующие полученному значению M , а затем определяют Т0, Р0, 0,

Пример. Определить параметры торможения газа Т0, Р0, 0, если известно, что температура газа на входе в сопло Лаваля Т1 = 300 К; давление на входе Р1 = 0,5 105 Па; скорость газа на входе U = 200 м/с. Газ – воздух,

Cp = 1004 Дж/(кг·К); R = 287,1 Дж/(кг К); к 1,4 ; 1 0,58 кг/м3, давление ок-

ружающей среды за соплом Pí 2000 Па, массовый расход m 15 кг/с. Температура торможения определяется из выражения (7.39):

T0 300 0,5 200 2 319,9 К.

1004

Плотность заторможенного газа находится из выражения (7.40):

Давление заторможенного газа находится из выражения (7.41):

Для определения Т0, Р0, 0 по таблицам газодинамических функций найдем M из выражения (7.42):

M1 200 / 1,4 287,1 300 0,576 .

Соответственно 1 0,9378 ; 1 0,7986 ; 1 0,8516.

7.4.3. ОпределениепараметровгазаввыходномсечениисоплаЛаваля

Примем, что давление за соплом равно давлению окружающей среды Pн. Параметры газа в выходном сечении можно определить как с помощью

зависимостей (7.40), (7.41), так и с помощью газодинамических функций. Пример. Воспользуемся выражением (7.41). В нем для определения

температуры на выходе из сопла T2 необходимо принять P Pн 2000 Па. Тогда

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля

Число Маха в выходном сечении

M2 U2 / a2 .

Скорость газа на выходе U2 найдем из выражения (7.39):

Скорость звука на выходе

Число Маха на выходе M 2 2,88 . Для определения параметров газово-

го потока в выходном сечении сопла по таблице газодинамических функций найдем отношение

2 Pн / P0 2000 / 6,2603 104 0,0319 .

Спомощью линейной интерполяции найдем в таблице значения 2 , 2 ,

M2 , соответствующие 2 : 2 = 0,3733; 2 = 0,0854; M2 = 2,88.

7.4.4. Определениеплощадиидиаметра выходногосечениясоплаЛаваля

Геометрические размеры выходного сечения сопла определяются из уравнения неразрывности, т. е. закона сохранения массы.

В общем случае течения вдоль трубы с переменной площадью поперечного сечения F F x ; m m x , т. к. масса жидкости, протекающая в

единицу времени через поперечное сечение канала, может меняться вследствие подвода жидкости. Однако в нашем случае m const по условию. Тогда

Пример. Для выходного сечения сопла

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4.Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля

7.4.5.Определениепараметровгазовогопотока

вминимальномсечениисопла

Из определения сопла Лаваля следует, что переход через скорость звука ( M 1 ) может произойти только в минимальном сечении трубы, т. к. в уравнении Гюгонио для сопла, только при dF 0 ,

Левая часть уравнения (7.44) не становится бесконечно большой. Качественный анализ формулы (7.44) показывает следующее: Скорость потока меньше местной скорости звука ( M 1 ). Если канал

суживается в направлении течения dF 0 , то скорость потока возрастает, т. к. dU 0 . Если канал расширяется dF 0 , то скорость вдоль него

уменьшается ( dU 0 ).

Скорость потока больше местной скорости звука ( M 1 ). Сверхзвуковой поток ведет себя противоположно дозвуковому. В суживающемся каналеdF 0 скорость уменьшается ( dU 0 ), в расширяющемся – возрастает

( dU 0 ).

В точке, где M 1 , скорость потока равна местной скорости звука. Такая скорость называется критической (обозначается индексом *) U* a* . В

точке, где скорость равна критической, все параметры также называются критическими. Критические параметры зависят от физических свойств газа (показатель к) и параметров полного торможения.

Во многих случаях вместо безразмерной скорости M удобно использовать другую безразмерную скорость:

U / a* ,

которая пропорциональна скорости потока, т. к. критическая скорость постоянна в энергетически изолированных потоках.

Сечение канала, в котором устанавливается критическая скорость, называется критическим, а его площадь F* критической.

Критическим может быть только то сечение, где площадь трубы F x

достигает минимума. Но обратное утверждение несправедливо, т. к. минимальное сечение и не может быть критическим, если там не достигается критическая скорость. Безразмерную площадь канала можно определять отношением q F* / F , т. к. оно изменяется в пределах от 0 до 1. Функция q может быть

определена из таблицы газодинамических функций или из выражения

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля

Функция q является, по существу, интегралом уравнения (7.44).

Пример. Параметры газа в критическом сечении проще всего определить по таблицам газодинамических функций. Для 1 найдем в таблице значения:

7.4.6. Определениеплощадиидиаметра критическогосечениясоплаЛаваля

Согласно уравнению неразрывности

1U1F1 *U*F* ,

откуда

F* 1U1F1 m .*U* *U*

Причем U* a* . В свою очередь критическая скорость звука

Пример.

a* 1,4 287,1 266,57 527,3 м/с;

F* 15 / 0,4324 327,3 0,106 м2; d* 4 0,106 / 3,14 0,367 м.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля

7.4.7. Определениеплощадиидиаметра входногосечениясоплаЛаваля

m 1U1F1 .

Определив 1 из уравнения (7.46) и использовав уравнение неразрывности, получим

7.5. ИсследованиедвижениягазавсоплеЛаваля нанерасчетныхрежимах

Движение газа со скоростями, превышающими скорость звука, существенно отличается от дозвукового движения. В п. 7.3 определение параметров газового потока в характерных точках сопла Лаваля производилось для расчетного режима, т. е. когда давление в окружающей среде за соплом равнялось давлению в его выходном сечении. Однако на практике это условие не всегда выполняется. В случае когда из устья сопла Лаваля выходит плоская сверхзвуковая струя в пространстве с более низким давлением, чем в канале, в точках A и B (см. рис. 7.9, где показана схема сверхзвукой струи при истечении в область с пониженным давлением) возникают центрированные волны разрежения, в которых поток расширяется до окружающего давления. Эти волны отражаются от границы струи на участках A A , B B и образуют вол-

ны сжатия. В точках A , B волны сжатия вновь отражаются и образуют

волны разрежения. Далее (в невязкой жидкости) картина повторяется. Для наглядности волны изображены прямыми линиями, хотя в области интерференции они искривляются.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.5. Исследование движения газа в сопле Лаваля на нерасчетных режимах

Рис. 7.9

В тех областях струи, которые граничат с окружающим пространством, давление равно давлению в этом пространстве. Внутри струи есть области, где давление падает ниже, чем в окружающем пространстве, т. к. поток последовательно проходит две волны разрежения. После этого проходят две волны сжатия и во внутренней области давление его становится равным давлению в устье сопла, т. е. больше, чем давление в окружающем пространстве.

Помимо волн разрежения и сжатия, в которых параметры потока меняются плавно, в сверхзвуковом потоке могут существовать поверхности, при переходе через которые параметры меняются скачком.

Такое явление может наблюдаться при вытекании из сопла сверхзвуковой струи в пространство, где давление выше, чем на срезе сопла.

При прохождении газа через скачок уплотнения термодинамические величины испытывают разрыв (скачкообразно меняя свои значения). Процесс сжатия в скачке не является изоэнтропийным. При течении в скачке возникают потери, часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию, что вызывает большее повышение температуры газа, чем при изоэнтропийном сжатии.

При течении через скачок уплотнения энтропия возрастает. Скачок разряжения физически невозможен.

Интенсивность скачков уплотнения обусловливается тем, что давление после них равно давлению в окружающем пространстве. Граница струи на участках АД и ВЕ рис. 7.10, а, где показано пересечение косых скачков уп-

лотнения при истечении сверхзвуковой струи в пространство с повышенным давлением) параллельна скоростям потока после скачков. Скачки после пересечения падают на свободную границу в точках Д и Е .

Давление в потоке после прохождения двух скачков становится больше, чем давление в окружающем пространстве, поэтому скачки отражаются от границы струи волнами разрежения. Дальнейшая картина строится так же, как на рис. 7.9, т. к. волны разрежения отражаются волнами сжатия.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.5. Исследование движения газа в сопле Лаваля на нерасчетных режимах

Рис. 7.10

При повышении давления в окружающем пространстве скачки станут более интенсивными, угол наклона их увеличится и правильное пересечение станет невозможным. Возникает иная конфигурация скачков (на рис 7.10, б показано образование мостообразного скачка уплотнения). Такие картины наблюдаются в струях, выходящих из сопла Лаваля, если давление за соплом выше расчетного. При течении вязкого газа результаты расчета совпадают с опытом только на некотором начальном участке, т. к. струя подтормаживается, становится дозвуковой и размывается.

При дальнейшем повышении давления за соплом описанная система скачков превратится в один прямой скачок, который войдет внутрь расширяющейся части сопла.

Рассмотрим различные режимы работы сопла Лаваля для случаев, когда скачок находится внутри сопла. Будем считать течение одномерным, а жидкость – идеальной.

На рис. 7.11 кривая abc изображает распределение безразмерного давления вдоль сопла при расчетном режиме работы. Давление в минимальном сечении равно критическому (точка b), расчетное давление за соплом 2 изо-

бражается точкой c. Если давление в пространстве за соплом (противодавление) выше расчетного, то давление в потоке где-то должно повыситься. Предположим, что давление повышается и это происходит в прямом скачке уплотнения, который располагается точно в выходном сечении сопла. Давле-

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.5. Исследование движения газа в сопле Лаваля на нерасчетных режимах

ние за скачком P2 определяется по формуле для отношения давления до и после скачка ( P2 и P2 соответственно):

где угол наклона фронта скачка (угол, который составляет скачок с направлением потока). Для прямого скачка = /2.

Рис. 7.11

Изменение температуры газа находится с помощью уравнения энергии

Приведенные уравнения решают задачу определения параметров газа за скачком по известным параметрам до скачка.

Следовательно, если относительное противодавление 2 P2 P0 , то

изменение давления в сопле изображается кривой аbсd . Если относительное противодавление лежит в пределах 2 2 , то повышение давления менее

интенсивно и происходит в скачках, расположенных вне сопла.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.5. Исследование движения газа в сопле Лаваля на нерасчетных режимах

Во всех рассмотренных случаях расход через сопло равен критическому, т. к. в минимальном сечении сопла поддерживаются критические параметры.

Рассмотрим наибольшее относительное противодавление, при котором параметры в минимальном сечении остаются критическими. Это относитель-

вует точке l . При этом противодавлении процесс идет по линии аbе. В суживающейся части давление падает, в горле достигает критического значения, а в расширяющейся части давление повышается, как в дозвуковом диффузоре.

Если относительное противодавление лежит в пределах 2 пр , то

скачок уплотнения находится между выходным и минимальным сечением сопла. В частности, если противодавление соответствует точке f , то измене-

ние давления внутри сопла описывается кривой aghf . На участке ag расширение идет как при расчетном режиме, отрезок gh изображает повышение давления в скачке, кривая hf соответствует сжатию дозвукового потока в

диффузоре. Пунктирная линия bhd показывает возможное положение точки f в пределах отрезка ld .

Если давление за соплом больше предельного (например соответствует точке k ), то течение внутри сопла становится всюду дозвуковым. Распределение давления изображается кривой aik, движение в минимальном сечении (точка i) становится больше критического, а расход меньше критического.

Величину относительного предельного противодавления для заданного сопла Лаваля можно найти, например, с помощью таблиц газодинамических функций.

Рассмотрим предельный режим течения (кривая аbе) и запишем значение газодинамической функции q в выходном сечении q F* / F2 Fmin F2 , где

F2 площадь выходного сечения сопла; Fmin площадь минимального сечения, которая для данного режима равна критической площади F* . По най-

денному значению q с помощью таблиц можно найти два значения относительного давления. Одно соответствует расчетному давлению на выходе 2 , а другое – предельному противодавлению ïð .

Пример. Требуется построить кривые распределения давления вдоль сопла Лаваля при различных давлениях на выходе. Числовые значения параметров потока и сопла определены в п. 7.3.

По найденному значению q по таблицам газодинамических функций находим для дозвуковых скоростей ( 1 ) ïð = 0,9834.

Положим, что повышение давления происходит в прямом скачке уплотнения, который расположен точно в выходном сечении сопла. Давление за скачком определяется по формуле (7.47):

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.5. Исследование движения газа в сопле Лаваля на нерасчетных режимах

2 P2 / P0 = 19020/62603, то изменения давления в сопле изображаются кривой аbс (рис. 7.11).

Рис. 7.12

Если относительное противодавление лежит в пределах от 0,3038 до 0,98, то скачок уплотнения находится между выходным и минимальным сечением сопла.

Например, при 0,7 изменение давления внутри сопла описывается кривой aghf . Если противодавление за соплом 0,9834 , то тече-

ние внутри сопла всюду дозвуковое (рис. 7.12). Распределение движения изображается кривой aik . Давление в точке i становится больше критического.

7.6.ПроектированиесоплаЛаваля

Кконфигурации сопла Лаваля предъявляют достаточно высокие требования. Это связано с тем, что при малейшем отклонении формы сопла от расчетных параметров резко меняется картина течения газа в связи с увеличением потерь энергии за счет трения газа о стенку сопла, появления неравномерного поля скоростей на срезе сопла, потерь в скачках уплотнений. Потери энергии осуществляются в основном за счет скачков уплотнений.

Скачки уплотнений возникают в сверхзвуковой части сопла из-за неточного подбора контура сопла. В связи с особенностями сверхзвукового течения к

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.6. Проектирование сопла Лаваля

контуру сверхзвуковой части сопла предъявляются значительно более высокие требования, чем к контуру дозвуковой части. Контур сопла следует выбирать так, чтобы все струи имели возможность непрерывно изменять свое сечение так, чтобы происходило плавное увеличение скорости течения. При неточном подборе контура эти условия не удовлетворяются. Особенно часто это случается при чрезмерной кривизне профиля. Струи, примыкающие к стенке, оказываются зажатыми между стенкой и центральными струями. По этой причине движение возле стенки увеличивается по сравнению с давлением в центральных струях. Если кривизна струй такова, что повышение давления в периферийных струях препятствует увеличению их сечения и приводит соответственно к торможению скорости течения, то возникают один или несколько скачков уплотнений, которые перестраиваюттечение, приспосабливаяегокимеющимсяграничнымусловиям.

Особенно сложная картина наблюдается в области критического сечения, где происходит переход от дозвукового течения к сверхзвуковому. На рис. 7.10 показан характер движения газовых струй в области критического сечения сопла. Контур сопла в этой части является выпуклым (сечение II II). Струи, которые непосредственно примыкают к стенке, в результатедействия центробежной силы здесь, наоборот, отбрасываются к центру, поджимая центральные струи. Поэтому периферийные струи здесь быстрее достигают скорости звука, чем центральные, где давление падает медленно. Отсюда следует, что в общем случае течения, во-первых, скорость звука достигается не одновременно всеми струями, т. е. поверхность перехода скорости звука является криволинейной, во-вторых, линия переходачерезскоростьзвукаобращенавыпуклостьюквыходу.

Врезультате в области критического сечения получается сложная картина: после достижения периферийными струями скорости звука для дальнейшего их ускорения требуется возможность увеличения сечения струй, а центральные струи, где еще скорость звука не достигнута, должны продолжать сужаться, т. е. в одном сечении сопла одни струи должны иметь возможность увеличить свое сечение (dF > 0), а другие, наоборот, уменьшить (dF < 0). Поэтому контур сопла следует подбирать очень тщательно.

Вслучае если профиль подобран неправильно, сразу же за поверхностью перехода через скорость звука возникают скачки уплотнений, перестраивающие соответствующим образом течение. Причем эти скачки, отражаясь от стенок, могут распространяться по течению на всю длину сопла, неоднократно воздействуя на поток.

Другой областью, где возможно появление скачков, является область

сопряжения контуров с разной кривизной (сечение III III, рис. 7.13).

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.6. Проектирование сопла Лаваля

Рис. 7.13

Здесь должен происходить мгновенный переход от выпуклой эпюры распределения давления к вогнутой и от вогнутой эпюры распределения скорости к выпуклой. Так как мгновенная перестройка течения невозможна, то возникает система скачков уплотнений. Для того чтобы избежать скачков уплотнения, т. е. получить т. н. безударное сопло, контур сопла должен быть выполнен в виде достаточно растянутой и плавной кривой, которая получается либо из специального расчета, либо подбирается эмпирическим путем. Так, например, конические сопла, выполненные в области критического сечения по дуге окружности R > Rкр, получаются практически безударными.

При рассмотрении поля течения в сопле Лаваля его можно разделить на несколько характерных областей (рис. 7.14). На оси сопла расположены две характерные точки: О центр сопла, в которой скорость равна скорости звука, и точка А, в которой достигается максимальная скорость течения.

Рис. 7.14

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.6. Проектирование сопла Лаваля

Рис. 7.15

Первая область (I) – дозвуковая область течения, простирающаяся до поверхности перехода через скорость звука; вторая область (II) – от поверхности перехода через скорость звука до характеристики АМ , идущей вверх по течению из точки А.

В этой области скорость потока и угол наклона вектора скорости к оси сопла при движении вдоль линии тока непрерывно увеличиваются, причем максимального значения угол наклона достигает в точках, расположенных на характеристике АМ . Эту область можно назвать областью предварительного расширения. Третья область (III) находится между двумя характеристиками разных семейств АМ и АВ. В этой области скорость потока продолжает увеличиваться, а угол наклона вектора скорости к оси сопла после характеристики АМ , на которой он имеет максимальное значение, начинает уменьшаться, достигая минимального значения (в данном случае равного нулю) на характеристике АВ . Таким образом в области III поток постепенно выравнивается. Поэтому эту область можно назвать областью выравнивания потока. За характеристикой АВ лежит область IV однородного потока.

Подбор профиля сопла Лаваля производят начиная с сечения, в котором течение уже достигло сверхзвуковой скорости. Необходимо принять, что расширяющийся участок сопла выполнен в виде конуса с углом конусности 20°. Длину расширяющейся части сопла определяют из геометрических соображений. Сужающуюся часть сопла строят методом дуг окружностей. Радиус сопряжения rc следует выбирать из условия rc d* .

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.6. Проектирование сопла Лаваля

Рис. 7.16

Графическое изображение расчетного сопла Лаваля показано на рис. 7.15, а на рис. 7.16 представлено соответствующее изменение гидродинамических функций вдоль сопла (построение проведено по данным приме-

ров в п. 7.3, п. 7.4).