6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.1.Вязкость

Вглавах 1–5 рассматривалось поведение жидкости без учета эффектов вязкости (внутреннего трения). При изучении идеальной жидкости иногда делают еще одно приближение, считая жидкость несжимаемой, при этом получают дополнительное уравнение

V 0 .

Это приближение часто оказывается вполне целесообразным, особенно когда скорость потока невелика. Но в реальных жидкостях внутренним трением пренебрегать нельзя. Некоторые жидкости, например глицерин, тяжелые масла и др., обладают очень большой вязкостью. Большинство практически интересных явлений в жидкостях так или иначе связаны именно с этим свойством. Вспомним важный экспериментальный факт – скорость жидкости на поверхности твердого тела в точности равна нулю. Проиллюстрировать этот факт (хотя не во всех случаях он очевиден) можно, если обратить внимание, что лопасти обычного бытового вентилятора собирают слой пыли, которая не сдувается, даже при вращении с довольно большой скоростью. Дело в том, что скорость воздуха относительно них, измеренная непосредственно на их поверхности, равна нулю, так что поток воздуха не возмущает даже мельчайших пылинок. По этой же причине можно сдуть с поверхности

стола крупные соринки, но не мелкую пыль.

Чтобы понять, в чем заключается сущность вязкости и измерить силы, возникающие при движении жидкости, рассмотрим такой эксперимент. Пусть имеются две параллельные пластинки, между которыми находится вода, одна из них неподвижна, а другая движется со скоростью V0 (рис. 6.1). То-

гда под действием вязкости в жидкости устанавливается такое движение, при котором скорость слоев жидкости непосредственно около пластинок такая же, какую имеют сами пластинки (слои воды «прилипают» к пластинкам). Если измерить силу, требуемую для поддержания движения верхней пла-

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.1.Вязкость

стинки, найдем, что она пропорциональна площади пластинки и отношению Vl0 , где l расстояние между пластинками (рис. 6.1). Тогда напряжение сдви-

Это выражение является частным случаем реологического уравнения текучести обычной вязкой жидкости для простейшего случая прямолинейного слоистого (ламинарного) движения, отвечающего известному закону Ньютона. Трение жидкости проявляется при этом в виде силы, оказывающей сопротивление движению верхней пластинки.

Для более сложного случая рассмотрим в жидкости небольшой плоский прямоугольный объем, грани которого параллельны потоку (рис. 6.2). Силы в этом объеме

F V1 V1 ,A y y

(6.2)

где Vy1 скорость изменения деформаций: силы в жидкости пропорциональны скорости изменения деформаций сдвига.

Явление «прилипания» к твердым телам относится ко всем жидкостям, а не только к ньютоновским (так как при больших градиентах бенгамовские жидкости текут как ньютоновские, кроме того, у стенок вообще самые большие градиенты). Исключением может служить сильно разреженный газ (свободный пробег молекул которого сопоставим с размерами тела). Так, на больших высотах

Рис. 6.2 (на высоте 100 км, например, свободный пробег молекул разреженного газа исчисляется в метрах) реактивный снаряд испытывает ки-

нетическое сопротивление от ударов отдельных молекул, а не обычное сопротивление трения.

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.2.УравнениеСтоксадвижения вязкойнесжимаемойжидкости

Из общей теории трения жидкостей известно, что при деформации отдельных элементов жидкости возникают напряжения такого же рода, как и в упругих телах, толькоонипропорциональнынедеформациям, аскоростямдеформаций.

Уравнение движения вязкой жидкости получим, если к силам, действующим в жидкости, в уравнении (5.19) добавим сдвиговые силы (силы вязкости) fвязк :

Компоненты напряжений сдвига пропорциональны пространственным

производным от различных компонент скорости, таких как V1 или V2 . По-

x2 x1

этому известные из теории упругости формулы для девяти компонент напряженного состояния в случае жидкости принимают вид

Найдем силу вязкости fвязк , действующую на единицу объема, и после

подстановки в (6.3) получим уравнение движения реальной несжимаемой жидкости. Компоненты силы вязкости:

6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.2. Уравнение Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости

Или в векторной форме (после подстановки (6.4) в (6.5) и соответствующих преобразований):

fвязк 2V ,

(6.6)

где 2 22 22 22 оператор Лапласа. Подставив формулу (6.6) в

x1 x2 x3

(6.3), имеем уравнение

ddtV F grad P 2V ,

(6.7)

или

V V V F 1 gradP 2V ,t

которое называется уравнением Навье Стокса; к нему еще присоеди-

няют уравнение несжимаемости div V 0 и получают уравнения динамики вязкой жидкости.

Уравнения динамики Стокса в проекциях записываются следующим образом:

6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.2. Уравнение Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости

(6.8)

Полагаем, что единственными объемными силами являются консервативные силы типа сил тяжести. Чтобы понять физический смысл нового члена, возьмем ротор уравнения (6.8), тогда

Это напоминает уравнение (5.77), с той лишь разницей, что в правой части имеется еще одно слагаемое. Если правая часть равна нулю, имеет место теорема Гельмгольца о том, что вихри всегда движутся вместе с жидко-

стью. Если из (6.9) исключим член V , то получим диффузионное урав-

нение. Новое слагаемое означает, что вихри диффундируют в жидкости. Именно поэтому утолщаются кольца табачного дыма или дыма, выходящего

из печной трубы: вследствие вязкости вихри диффундируют в окружающее пространство.

Совокупность уравнений (6.7а) представляет собой замкнутую нелинейную систему уравнений в частных производных 2-го порядка с четырьмя неизвестными: V1, V2, V3 и Р. Нелинейность системы обусловлена наличием конвективных членов в левой части уравнений движения.

Для получения конкретных решений при интегрировании уравнений (6.7а) необходимо задать граничные и в общем случае начальные условия (см. п. 5.3). В отличие от идеальной жидкости здесь должно выполняться граничное условие равенства нулю скорости жидкости на стенке, или совпадения скоростей частиц жидкости со скоростями точек движущейся твердой поверхности.

6.3. Механическоеподобиепотоков. ЧислоРейнольдса

Рассмотрим теорию подобия двух течений как первый, общий вывод из уравнений Стокса. Два потока жидкости называют подобными, если величины, характеризующие поток, могут быть получены из других соответствующих величин, взятых в сходственных пространственно-временных точках, простым умножением на одинаковые во всех точках коэффициенты подобия.

Вспомним условия подобия из геометрии. Два треугольника ( ABC иA B C ) подобны, если равны сходственные углы и отношение длин сторон треугольников:

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.3.Механическое подобие потоков. Число Рейнольдса

комое число подобия, т. к. является функцией Re. Остановимся подробнее на рассмотрении числа

Re VL VL ,

которое характеризует отношение силы инерции к силе трения (вязкости) и названо в честь английского ученого О. Рейнольдса, открывшего выведенный закон подобия. Если число Рейнольдса мало, в потоке преобладают силы вязкости. Наоборот, если число Re велико, то главную роль в потоке играют силы инерции.

Теория подобия служит для научного обоснования приемов моделирования действительных процессов в лабораторных исследованиях. В условиях подобия модельного и «натурного» потока можно определить поведение жидкости при обтекании подводного крыла или корпуса судна, не строя самого корабля и не испытывая его. Вместо этого можно сделать модель и провести опыты при скоростях потока, которые дают, например, то же самое число Рейнольдса. Метод подобия позволяет применить результаты измерений над малой моделью в гидродинамической трубе или бассейне для опытов к настоящим объектам. Следует помнить, что это можно делать только при условии, что сжимаемостью жидкости можно пренебречь. Кроме того, теория подобия является основной теорией обработки экспериментальных данных. Эксперимент должен быть обработан в правильно выбранных характерных масштабах, числах и критериях подобия.

6.4. Дварежиматечениявязкойжидкости

Уже в 1839 г. Гагеном в экспериментах по изучению движения воды в трубах малого диаметра и Пуайзелем (1841 г.) в опытах по исследованию движения крови в капиллярных сосудах были установлены некоторые общие закономерности движения жидкостей (зависимость скорости и расхода жидкости от температуры, физическая картина потока).

Ясность в вопрос о структуре потока в трубах при движении жидкости в тех или иных условиях была внесена О. Рейнольдсом в опытах, проведенных в 1883 г. Независимо от опытов Гагена, Рейнольдс проверил свои теоретические исследования по изучению движения воды в трубах.

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.4.Два режима течения вязкой жидкости

Схема опыта Рейнольдса проста и стала в настоящее время классической. Наблюдалось течение воды в стеклянной трубке. Вода поступала из напорного бака и для визуализации структуры течения через специальную трубочку в поток в начале трубки подавался раствор краски.

При малых скоростях потока (соответственно малых числах Re) окрашенная струйка текла приблизительно параллельно стенкам трубы (рис. 6.3, а) на всем ее протяжении, т. е. имело место струйное, или слоистое движение; такое движение называется ламинарным. При увеличении скорости окрашенная струйка принимает вначале волнистые очертания (рис. 6.3, б), затем начинает пульсировать и почти внезапно исчезает, размываясь по всему объему трубы (рис. 6.3, в); такое движение называют турбулентным.

в

Рис. 6.3

Переход от ламинарного режима движения в трубах к турбулентному может происходить при разных числах предела: движение будет оставаться ламинарным, если величина критического Re зависит от многих причин и, прежде всего, от условий на входе в трубу. Опытным путем определено Reкр для нижнего предела: движение будет оставаться ламинарным, если Re < 2000, т. е. нижнее Reкр = 2000. Верхнее значение Reкр в настоящее время не установлено. Структура потока в трубах определяет такие важные величины, как сопротивление, теплоотдачу, характеристики перемешивания частиц, химические процессы и пр. В связи с этим опыты по нахождению Reкр для специфичных потоков в различных трубах продолжаются до настоящего времени.

Одновременно с переходом ламинарного течения в турбулентное изменяется распределение скоростей по сечению трубы, а также величина гидравлических сопротивлений. На рис. 6.4 показаны для сравнения эпюры распределения скоростей в круглой трубе при ламинарном (рис. 6.4, а) и турбулентном (рис. 6.4, б) режиме движения.

При турбулентном течении распределение скоростей по сечению трубы более равномерное. Это объясняется турбулентным перемешиванием вследствие наличия поперечных составляющих скорости в отличие от лами-

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.4.Два режима течения вязкой жидкости

нарного режима. В результате перемешивания происходит интенсивный энергообмен между частицами жидкости в поперечном потоку направлении, вследствие чего эпюра скоростей в ядре потока выравнивается. Вблизи стенок трубы имеется тонкий слой жидкости с высоким градиентом скорости (турбулентное перемешивание парализуется влиянием твердых границ), изменяющейся от нуля на стенке до максимума в ядре потока; этот тонкий слой

называют пограничным слоем, толщина пограничного слоя (рис. 6.4, б).

Рис. 6.4

Ламинарный и турбулентный режим движения жидкости отличаются также видом зависимости между потерями напора и скоростью. При ламинарном режиме потери линейно зависят от скорости потока, при турбулентном имеет место степенная зависимость (потери пропорциональны примерно квадрату скорости). Формулы для определения потерь напора в трубах были получены опытным путем применительно к различным условиям течения (некоторые из них приведены в прил. 2).

6.5. УравнениеБернуллидлявязкойнесжимаемойжидкости

Так как реальная жидкость вследствие вязкости испытывает сопротивление в своем движении, удельная энергия не может сохраняться неизменной вдоль струйки, и в этом случае уравнение (5.63) неверно. В этой связи в уравнение Бернулли вводят поправку на потери энергии на гидравлические сопротивления hW . Для двух сечений элементарной струйки вязкой однород-

ной жидкости уравнение Бернулли примет вид

Выражение (6.13), составленное для элементарной струйки, можно распространить на целый поток в реальной жидкости при условии плавно изменяющегося течения (когда расхождение между соседними элементар-

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.5.Уравнение Бернулли для вязкой несжимаемой жидкости

ными струйками мало и можно допустить отсутствие поперечной составляющей скорости). В этом случае имеем

Здесь коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность поля скоростей в сечениях потока; обычно 1,0 1,1.

Гидравлические потери hW при движении жидкости складываются из потерь энергии на трение hl и потерь на местные сопротивления (на вихре-

К местным сопротивлениям относят всякого рода изменения проходного сечения (т. н. сопротивления формы – сужение или расширение потока, повороты, препятствия в виде диафрагм, кранов, задвижек и т. д.). Линейные потери на трение определяют по эмпирическим формулам (см. прил. 2). Потери энергии на вихреобразование вычисляют с помощью выражения

где коэффициент местного сопротивления, который для каждого

конкретного случая принимают по справочным таблицам гидравлических сопротивлений.

6.6. Законмоментовимпульсов. Симметричностьтензоранапряжений

Закон моментов импульсов для МЖГ имеет вид

где по теореме Коши

n n cos n x1 1 cos n x2 2 cos n x3 3 .

Применяя преобразование Остроградского Гаусса, будем иметь

6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.6.Закон моментов импульсов. Симметричность тензора напряжений

При произвольно выбранном «живом» объеме окончательно получа-

ем

Выполняя выкладки для векторных произведений в (6.23), приходим к следующему:

Отсюда получаем следствие из закона моментов – симметричность тензора напряжений П (см. рис. 6.5):

В некоторых случаях удобно применять закон моментов импульсов в интегральной форме, например, для вывода уравнения турбины Эйлера (рис. 6.6.), полученного им в 1754 г. Этим уравнением широко пользуются при расчете различных гидромашин (насосы, турбины, компрессоры, корабельные гребные винты и др.):

m V1 F ; F 2 r r ;

M кр r m W 2 rW V1 r ;

2 rW ; V Có V22 (формула Жуковского).

6.7. Законсохраненияэнергии. Уравнениеэнергии

Этот закон также носит фундаментальный характер в физике. В термодинамике его еще называют вторым началом (принципом).

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.7.Закон сохранения энергии. Уравнение энергии

Рис. 6.5

Рис. 6.6

Окончательную его формулировку дали англичанин Джоуль и петербургский академик Ленц, обобщив его для случая электромагнитных явлений. Применительно к МЖГ закон энергии можно записать в форме

qe – массовая плотность внешнеподведенного тепла). Применяя ставшие стандартными преобразования, получим

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.8.Интеграл «живых» сил. Уравнение притока тепла

которое называют уравнением механической энергии, или интегралом

«живых» сил. Вычитая из (6.31) уравнение (6.33), получим уравнение притока тепла

которое (как ясно из выкладок) является эквивалентом уравнения энергии и также выражает (в другой форме) закон сохранения энергии. Вычисляя

видим, что первый член представляет собой мощность расширения среды, затрачиваемую на преодоление внешнего давления, а второй – мощность диссипативных сил (трения). Для ньютоновских жидкостей

Если внешнее тепло передается лишь за счет теплопроводности, то по закону Фурье

Часто вводят упрощение, полагая, что в узком диапазоне давлений и температур и c есть физические константы. Тогда

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.8.Интеграл «живых» сил. Уравнение притока тепла

где aT c – коэффициент температуропроводности. Для неподвижной

среды (V 0 , в т. ч. и для твердого тела) из (6.40) получаем классическое уравнение теплопроводности (параболического типа):

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.9.Уравнениясостояния

Рассмотренные ранее базовые уравнения МЖГ не замкнуты, т. е. в них число неизвестных функций больше числа уравнений. Поэтому при решении задач их необходимо дополнить уравнениями, конкретизирующими гидротеплофизические свойства среды. Таковыми являются:

1) калорическое (термодинамическое) уравнение состояния

2) механическое (реологическое) уравнение состояния

При учете сильного влияния электромагнитного поля на течение жидкости или газа должны быть добавлены (к уравнениям Максвелла) и электромагнитные уравнения состояния: закон Ома и уравнения намагничивания и поляризации.

6.10. Начальныеиграничныеусловия

Течение жидкости и газа определяется не только базовыми дифференциальными уравнениями, но и начальным состоянием среды и условиями на границах между жидкостью и твердым телом или на границах раздела фаз

«жидкость газ», «жидкость жидкость».

При нестационарных течениях за исходное состояние среды в момент времени, принятый за начало отсчета, t = t0 = 0, необходимо задать

и т. д. Эти выражения называют начальными условиями.

В сжимаемых средах могут возникать волновые течения. При этом источником возмущений является тело, вносящее в жидкость импульс и энергию конечной величины. По этим физическим соображениям следует выделять те течения, которые соответствуют возмущениям, излучаемым телом. Этот постулат – ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ МИЧЧЕЛЯ

6.ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.10.Начальные и граничные условия

ЗОММЕРФЕЛЬДА. КРОМЕ ТОГО, НА БЕСКОНЕЧНОСТИ (ДЛЯ БЕЗГРАНИЧНОГО ПРОСТРАНСТВА, ЗАПОЛНЕННОГО ЖИДКОСТЬЮ) ВОЗМУЩЕНИЯ ДОЛЖНЫ ЗАТУХАТЬ, СТРЕМЯСЬ К НУЛЮ (РАЗЛИЧНОГО ПОРЯДКА В ЗАВИСИМОСТИ ОТ КЛАССА ЗАДАЧ). НА ГРАНИЦАХ КОНТАКТА «ЖИДКОСТЬ ТВЕРДОЕ

ТЕЛО» ИЛИ НА ГРАНИЦАХ РАЗДЕЛА ФАЗ НЕОБХОДИМО ТАКЖЕ ЗАДАТЬ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. ВЫБОР ЭТИХ УСЛОВИЙ НЕ ТАК ПРОСТ. ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ПРАКТИЧЕСКИЙ ОПЫТ РЕШЕНИЙ КОНКРЕТНЫХ ЗАДАЧ ПОЗВОЛЯЮТ ВЫДЕЛИТЬ СПЕЦИФИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В ЗАВИСИМОСТИ от типа уравнений и класса задач.

На границе твердого тела должно быть выполнено условие непротекания, т. к. жидкость не может проникнуть через твердую границу:

или, т. к. Vr V Ve , то

Физические опыты и следствия из решения задач показывают, что на твердой границе в реальной вязкой жидкости образуется молекулярный слой прилипания, так что

или

где opm касательной вдоль линии тока на поверхности твердого те-

ла.

Для деформируемой границы или границы раздела фаз граничные условия можно получить, рассматривая на них законы сохранения по массе, импульсу, энергии и температуре.