2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ггд.pdf

Скачиваний:

232

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

5.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Tij Sij Aij ,

. Причем очевидно, что Sij = Sji, а Aij = Aji, и

Вмеханике жидкости и газа для описания свойств среды, ее движения

икинетического взаимодействия с телами существенно необходимо введение

ииспользование понятий скалярных (например плотность , температура T),

, ускорение a , сила F ) и тензорных величин с соот-

ветствующими математическими операциями над ними.

Совокупность значений (множеств) этих величин для каждой точки M трехмерного евклидова пространства Eз называют полем соответственно скалярным, векторным или тензорным.

Систему координат xi вводят для удобства рассмотрения явления и решения соответствующих задач. Поля физических характеристик среды ( ,

T , V и др.), законы ее движения и различные процессы взаимодействия определяются свойствами материи и не зависят от выбора системы координат,

т. е. инвариантны.

Исследование инвариантных характеристик геометрических объектов и физических величин при переходе от одной к другой системе координат составляет предмет тензорного анализа.

Академику А. Н. Крылову приписывают шутливое изречение «… векторное исчисление сокращает время, но иссушает мозг». Как во всякой шутке, здесь есть и доля правды. Однако соответствующие математический аппарат и формализм вводятся не столько ради сокращения записи (что также немаловажно), но главным образом с целью создания существенно необходимого компактного, легкообозримого (т. е. почти всегда безошибочного) и эффективного правила действия, позволяющего выразить основные свойства изучаемого явления и процесса.

2.1.Примерытензорныхвеличинвмеханикежидкостиигаза

ВМЖГ и ее основных уравнениях фигурируют не сами силы или другие величины, а их плотности на единицу массы (объема) или поверхности: соответственно массовые (объемные) или поверхностныесилы, энергииит. д.

Необходимость введения понятия тензора (например напряжений – для поверхностных сил) в механике сплошной среды можно пояснить на простом

примере растяжении бруса (рис. 2.1).
Для нормального сечения I I с	Рис. 2.1
площадью S будем иметь удельную на-

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие	20

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.1.Примеры тензорных величин в механике жидкости и газа

грузку (напряжение) P11 FS . Для любого другого сечения II II с площадью cosS , проведенного под углом к I I, получим нормальную составляющую напряжения

P11 F cos F cos2

S S

cos

и касательную составляющую

P11 F cos F 1 sin 2 .

S S 2

cos

Таким образом, в одной и той же точке М значения напряжений, кроме ее координат, зависят также и от ориентировки проведенного сечения (угла α ).

Уместно также напомнить, что в теоретической механике (при подсчете кинетической энергии системы N материальных точек с массой mx ) уже

использовалось понятие тензора в форме таблицы значений моментов инер-

ции J ji x j xi mx , где xi xj – декартовы координаты.

k 1

Теорема Коши. Рассмотрим в жидкости элементарный тетраэдр

(рис. 2.2) объемом . Составим для жидкости в объеме уравнение динамического равновесия (по II закону Ньютона или принципу Д’ Аламбера):

			dV	Pn Sn P1 S1 P2 S2 P3 S3 .		(2.1)

	S1		dt
Учтем, что		cos(n,^ x1 )			и т. д., а – малая 3-го порядка по сравне-

	Sn
нию с элементом площади Sn					– малой 2-го порядка. Поделив в (2.1) все на
δSn и перейдя к пределу 0 , получим
	Pn P1 cos n,ˆx1 P2 cos n,ˆx2 P3 cos n,ˆx3 ,					(2.2)
или, в проекциях на оси координат,
	Pn1 P11 cos n,ˆx1 P21 cos n,ˆx2 P31 cos n,ˆx3					(2.3)
и т. д.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.1.Примеры тензорных величин в механике жидкости и газа

Рис. 2.2

По формулам (2.2), (2.3) можно получить правило преобразования компонент тензора для системы координат x1, x2 , x3 , повернутой на некоторый угол относительно исходной x1, x2, x3 :

					ˆ
	P1				ˆ			(2.4)
	P1	P11 cos x1 ,ˆx1	P21 cos x2 , x2 P31 cos x3ˆ, x3 ,					(2.4)
						1, 2, 3 ,
или, проецируя на новые оси координат xi i						1, 2, 3 ,
			3	3
		Pij	ik jn Pkn				,	(2.5)
			k 1	n 1
где ik	cos x1 ,ˆ xk и jn cos x1 ,ˆ xn . Здесь производится двойное

суммирование по повторяющимся (немым) индексам k и n от 1 до 3.

Таким образом, для произвольно ориентированной площадки (с норма-

лью n ) напряжения на ней можно выразить через девять величин, которые удобно представить табличкой Pkn:

P	P	P	i
11	21	31			; i, j 1, 2 , 3, (2.6)
P12	P22	P32		(Pkn ) Ï	; i, j 1, 2 , 3, (2.6)
P	P	P
j 13	23	33

которая называется тензором напряжений.

Внутренние напряжения в сплошной среде являются статистическими средними. Они обусловлены в жидкости или газе межмолекулярным взаимодействием, тепловым движением молекул и турбулентными флуктуациями в потоке.

Другим важным для МЖГ понятием служит совокупность производных от трех компонент скорости V1, V2, V3 по всем трем координатам x1, x2, x3, компактно записываемая в форме таблички

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.1.Примеры тензорных величин в механике жидкости и газа

V1x1

x2V2

x2V3

V1
V1
x	V
V3	V				, (2.7)
x	Dkn	x		V	, (2.7)
2			n
3			k
V3
x
3

которую называют дифференциальной диадой (или мультипликатив-

ным тензором). Она характеризует неоднородность распределения поля ско-

рости в пространстве. В преобразованных (сдвинутых) координатах					x	ее
компоненты					1
компоненты
Vi	inVn xk		in jk	Vn .	(2.8)
x j	xk	x j		xk

В (2.7) для символического дифференциального вектора (оператора «набла», Гамильтона) использовано обозначение


					i			j				k .			(2.9)
				x	i	x	2	j	x			k .			(2.9)
				x		x			x
				1					3
Для удобства анализа целесообразно разложить тензор на шаровой
(среднее значение) и	девиатор			(отклонение							от		среднего значения:
T T S T d ).
Так, для тензора напряжений будем иметь представление
	P P		P		0								0
	11	22	33
		3
		3		P11	P22 P33

Pij		0											0
Pij		0											0
					3
		0			0					P P				P
		0			0						11		22	33
													3
													3

P			P11 P22 P33		P
P					P
	11	3			21
		3			P11 P22 P33
			P	P	P11 P22 P33
			P	P	3
		12		22	3
		12		22

			P13		P23
			P13		P23

		P31
		P31

		P		P*I Пd ,	(2.10)
		32			(2.10)
P33	P	P	P
P33	11	22	33
		3
		3

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.1.Примеры тензорных величин в механике жидкости и газа

		1 0 0			P P P
где	I	0 1 0	единичный тензор;	P	11 22 33	– среднее напря-
где	I	0 1 0	единичный тензор;	P	3	– среднее напря-
		0 0 1			3

жение.

Кроме того, любой тензор (как и всякую величину) можно представить в форме симметричной и асимметричной части:

Aii = Ajji = 0. Например, симметричная часть дифференциальной диады (для вектора скорости V ) будет

		1	V1	V1		1	V1		V2		1	V1	V3
		1	V1	V1		1	V1		V2		1	V1	V3
	2		x	x		2	x	2	x		2	x	x
			1	1				2	1			3	1
			V2	V1			V2		V2			V2	V3
	1					1					1				.
	1					1					1				.
S	2		x	x	2	2	x	2	x	2	2	x	x	2		(2.12)
			1		2			2		2		3		2		(2.12)
	1		V3	V1		1	V3		V2		1	V3	V3
	1		V3	V1		1	V3		V2		1	V3	V3
		2	x	x		2	x		x		2	x	x
			1	3				2	3			3	3
Величина S		в МЖГ носит название тензора скоростей деформации.

Связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформации S в МЖГ устанавливают как обобщение закона Ньютона:

	2		(2.13)
p	3	divV I 2 S .	(2.13)
	3

Советский физик Л. Ландау, изучая сверхтекучесть гелия, ввел понятие второй вязкости. С учетом этого связь принимается в форме

	2
p	3	divV I 2 S .
	3
Для гидростатики (жидкость покоится при V 0			и S 0 )

pI .

(2.14)

(2.15)

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.1.Примеры тензорных величин в механике жидкости и газа

Давление в жидкости, находящейся в состоянии покоя, в выбранной точке не зависит от ориентировки площадки, на которой его измеряют. Этот закон экспериментально открыл Паскаль, чье имя ему и дано.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.2.Инвариантноеопределениерангатензора

Рассмотрим подробнее простейшее преобразование декартовой (прямолинейной и прямоугольной) системы координат в E3 типа поворота вокруг ее центра, т. е. совершим переход от координат x1, x2, x3 к x1, x2 , x3 и наобо-

рот.

Радиус-вектор любой точки M в E3 через эти координаты

	i1x1 i2 x2 i3 x3				(2.16)
r	i1x1 i2 x2 i3 x3	i1x1	i2 x2	i3 x3 .	(2.16)

Проецируя это векторное выражение на исходную или преобразованную систему координат, устанавливаем следующие формулы преобразования:


x1 x1		cos x1 ,	x1	x2		cos x1 , x2			x3		cos x1 ,	x3
x	x	cos x ,	x	x	2	cos x , x		2	x	3	cos x ,	x		3	(2.17)
x	x	cos x ,	x	x		cos x ,	x		x		cos x ,	x			(2.17)
2	1	2	1			2					2
3	1	3	1		2	3		2		3	3		3

или

x1			x1 cos x1 ,			x1 x2		cos x1 ,			x2 x3 cos x1 ,				x3
x	2		x cos x	2	,	x x		cos x	2	,	x	x cos x	2	,	x	.	(2.18)
	2		1	2		1	2	cos x	2		2	3	2		3		(2.18)
x		3	x cos x	3	,	x x		cos x	3	,	x	x cos x	3	,	x
		3	1	3		1	2		3		2	3	3		3

Ранее были введены обозначения для направляющих косинусов:

ik cos xi , xk cos xk , xi ki ,

из совокупности которых можно составить следующую таблицу:

k i

Тогда формулы (2.17) и (2.18) можно записать как

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.2.Инвариантное определение ранга тензора

	3
xi	ik xk ,	i 1, 2, 3.		(2.19)
	k 1
	3
xk	ki xi ,		k 1, 2, 3.	(2.20)

i 1

Здесь и в дальнейшем знак суммирования писать не будем, если один из индексов (немой) повторяется, т. е. эти формулы можно переписывать в более компактной форме

xi ik xk

и xk ki xi .

(2.21)

Опираясь на свойства ранее введенных понятий и пользуясь приведенным преобразованием, вводят следующие определения инвариантных величин.

1. Скаляром (тензором) нулевого ранга или нулевой валентности называют поле вещественных величин (функций) точки M в E3, не зависящее (инвариантное) от преобразования (2.21) – координат типа поворота.

Например, квадратрасстояниямеждуполюсомиточкойбудетскаляром:

r2 xk xk ki xi kj xj ki kj xi xj .

(2.22)

В силу свойств сумм произведений направляющих косинусов имеем

1, еслиi j,
ki kj	j.	(2.23)
0, еслиi	j.

Следовательно, r2 xk xk xi xi , что и требовалось доказать.

2. Вектором (тензором первого ранга или валентности) называют поле трех величин (функций) точки M в E3 с компонентами аk (k = 1, 2, 3), инва-

риантное к преобразованию координат типа поворота, если компоненты преобразуются по правилу

ai ik ak

и ak kiai .

(2.24)

Справедливость утверждения легко установить, повторяя преобразования (2.17), (2.18), (2.19), (2.20), (2.21) после их проведения для любого, представляемого через компоненты

a i1a1 i2a2 i3a3.

(2.25)

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.2.Инвариантное определение ранга тензора

3.Тензором второго ранга (или валентности) называют поле девяти

величин (функций) точки M в E3 с компонентами Tkn (k, n = 1, 2, 3), инвариантное к преобразованию координат типа поворота (2.21), если компоненты, образующие табличку, преобразовать по правилу

Τij αik αinΤkn и Τkn				αki αnjΤij .			(2.26)
Тензор напряжений этому правилу удовлетворяет, т. е. является тензо-
ром второго ранга (второй валентности).			S
Для тензора скоростей деформаций			S	это правило проверяют путем
несложных выкладок. Так как
	1	V			Vj
S			i			,	(2.27)
S						,	(2.27)
ij	2		x j		xi
	2		x j		xi

где

V ,

cos xn , x j ,

т. е.

ik k

x j

kn ,

указанное правило выполняется.

2.3.Тензорнаяалгебра

ВМЖГ встречаются различные произведения, составленные из скаляров, векторов и тензоров 2-го ранга. Правила сложения для этих величин легко установить путем их обобщения из правил сложения компонент.

1. Умножение скаляра на скаляр, вектор или тензор также почти очевидное действие. Например,

a		a			a		a	ea	(2.28)


и т. д.					a
и т. д.
2. Тензорная единица вводится определением
			1 0			0
				0 1					(2.29)
I				0 1		0 ,			(2.29)
				0 0
				0 0		1
или, в компонентной форме,
1,	если i					j,			(2.30)
Iij	если i					j.			(2.30)
0,	если i					j.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие									28

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.3.Тензорная алгебра

Что это действительно тензор, нетрудно проверить:

Iij	in im Inm .
Но по определению Imn = 1 при n m и Imn = 0 при n m . В свою оче-
редь, in im 1 и, следовательно,
I	I	nm	и, наоборот, I	ij	I	,	(2.31)
ij		nm		ij	nm

т. е. данная величина инвариантна к преобразованию координат типа поворота.

Из компонент любого тензора Т можно составить следующие скалярные комбинации:

а) линейный инвариант

			J1 Τ11 Τ22						Τ33 ,		(2.32)
б) квадратичный инвариант
			J	2	Τ Τ		ij	Τ2		,	(2.33)
				2	ij		ij			,	(2.33)
в) кубический инвариант
					Τ11 Τ12				Τ13
			J3			Τ22
			J3		Τ21	Τ22			Τ23 .		(2.34)
						Τ32
					Τ31	Τ32			Τ33
Τ11 Τ12		Τ13
	Τ22		– определитель (а не таблица или матрица). Что эти
Здесь Τ21	Τ22	Τ23	– определитель (а не таблица или матрица). Что эти
	Τ32
Τ31	Τ32	Τ33

величины инвариантны к преобразованию декартовых координат типа поворота, легко убедиться, используя свойства сумм произведений, направляю-

щих косинусов между исходной ( x1, x2, x3 ) и новой ( x1, x2, x3 ) системами

координат. При перестановке индексов получаем сопряженный (транспонированный) тензор

Τij* Τji , Τ*ji Τij .

(2.35)

3. Скалярное произведение двух векторов (дает скаляр)

a b

cos a, b

cos b , a b a .

(2.36)

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.3.Тензорная алгебра

Пример. Если точка приложения

движется со скоростью V , то

мощность в механике

N F V FiVi ,

i 1, 2, 3.

(2.36а)

4. Векторное произведение двух векторов (дает новый вектор)

a b i

sin a, b i

sin b, a

(2.37)

a b ,

b a

k 1

j i

где i, j, k от 1 до 3.

Пример. Линейная скорость твердого тела, вращающегося с угловой скоростью , численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и r :

		(2.37а)
V r .

5. Скалярно-векторное произведение трех векторов (дает скаляр)

a [b c ] b [c a] c [a b ]

(2.38)

и численно представляет собой объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c.

6. Диадное (тензорное) произведение двух векторов (дает тензор) оп-

ределяют следующим образом:

	a1b1

D a b	a1b2
	a b
	1 3

a2b1 a2b2 a2b3

a3b1 ,

a3b2 (2.39) a3b3

или, в компонентах, D ji aib j , где i, j = 1, 2, 3.

Это произведение называют также внешним, а скалярное произведение по (2.36) внутренним (точечным).

Нетрудно видеть, что внутреннее произведение можно получить из внешнего, если в последнем положить равенство смежных индексов (i = j):

	a b	D	3
a b	a b	D	a b		(2.40)
	i i	ii	i 1	i i .	(2.40)
			i 1

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.3.Тензорная алгебра

7.Векторно-векторное произведение трех векторов (дает вектор)

a b c b a c c a b .

(2.41)

Доказательство несколько громоздко, но элементарно. Оно приведено во всех учебниках по высшей математике.

8. Произведение тензора 2-го ранга на вектор (дает вектор): суммирование по j от 1 до 3:

	Τ a i Τij a j ;	(2.42)
суммирование по j от 1 до 3:
a Τ i	a jΤji Τija j Τ a i .	(2.43)

Такие произведения дают действительно вектор, что проверяется выкладкой

Τ a

α α Τ

Τ a i

ij j

ik jr kr

αik αjrαjS ΤkraS αikΤkraS αik Τa k ,

т. е. произведение равно 1 при r S и 0

при r S .

9. Тензорное (внутреннее точечное) произведение двух тензоров 2-го ранга (дает тензор 2-го ранга, называемый сверткой исходных тензоров)

				P Q ij	Pik Qkj .			(2.44)
Например, P Q	P	Q	k 2	P Q		P Q	22	P Q .
32	3k		k 2	31 12		32	22	33 32

10. Скалярное (внутреннее, двухточечное) произведение двух тензоров 2-го ранга (дает скаляр, называемый двойной сверткой, шнуром или следом исходных тензоров)

P : Q Pij Qij Qij Pij Q : P

(2.45)

(здесь двойные суммирования по i и по j от 1 до 3).

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.4.Криволинейныекоординаты. КоэффициентыЛяме

Положение точки M в пространстве E3 однозначно находят радиусомвектором r или тройкой независимых между собой величин q1, q2, q3, называемых обобщенными координатами. Условие q1 = const определяет некоторую координатную поверхность Q.

Линия пересечения поверхностей Q1 и Q2 (линии с q3 = Var)

q1 const, q2 const.

Точка М пересечения трех координатных поверхностей Q1, Q2, Q3

q1 const, q2 const, q3 const.

Пример. Сферические координаты (рис. 2.3):

(2.46)

(2.47)

0 q 2		const-плоскость Q ,

1			1
0 q			const конус Q ,	(2.47а)
2			2
0 q3	r R	r	const сфера Q3.

Рис. 2.3

Таким образом,

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.4.Криволинейные координаты. Коэффициенты Ляме

r i x	jy kz i x		i x	2	i x	3	r q , q	2	, q	3	r q	k	.	(2.48)
	1	1	2	2	3	3	1	2		3		k

Изменив лишь одну из обобщенных координат (две другие неизменны), получим частную производную

Поделив значение этой производной на ее модуль r , получим еди-

ничный вектор opm ek для координатной линии qk:

где k r

Итак,

	r
	q	,
eqk	k


	r
	qk

коэффициент Ляме.

dkr ek k dqk .

(2.50)

(2.51)

Пример. Вычисление ортов цилиндрической системы координат через орты декартовой системы (рис. 2.4).

r i1x1 i2 x2 i3x3,

		x1 cos ;				x2 sin ,								x3 x3 ,
	r		x			x		2			x
			i1	1	i2			2	i3			3			i cos i		cos
			i1		i2				i3						i cos i		cos
e															1	2		.
e																		.
			x	2		x						x	2			1
	r		x	2		x				2		x	2			1
			1				2					3

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.4.Криволинейные координаты. Коэффициенты Ляме

Рис. 2.4

Аналогично найдем e i1 sin i2 cos ;	ex i3 . Коэффициенты Ляме
при этом будут иметь значения 1; ; x3	3
при этом будут иметь значения 1; ; x3	1. С учетом, что для сфери-
ческой системы координат r sin и z R cos ,	имеем для этой системы ко-
ординат

er	i1 sin cos i2 sin cos		i3 cos ;	2	1,
						(2.52)
e i1 sin sin i2 sin cos ; r sin ,						(2.52)
e	i cos cos i cos sin i sin ;				r.
	1	2	3
Запишем условие ортогональности ортов:
		eqi eqk 0 .				(2.53)
Условие некомпланарности
		e1 e2 e3	0,			(2.54)

т. е. эти векторы не лежат в одной плоскости.

Различают координаты прямоугольные (прямолинейные и криволинейные) и криволинейные (прямоугольные и косоугольные). Наиболее распространены прямоугольные системы координат. Декартовые представляют собой прямоугольные прямолинейные координаты. Сферические и цилиндрические – прямоугольные криволинейные координаты. Выбирают и вводят соответствующие системы координат для удобства формулирования законов МЖГ и решения конкретных задач. Например, для расчета расширения сферы удобна сферическая система координат, в которой все характеристики течения будут зависеть лишь от координаты r (и, может быть, еще от времени).

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.5.ПреобразованиеОстроградского– Гаусса. ОператорГамильтона

Напомним некоторые определения и формулы математического анализа: производная непрерывной функции

x lim		;	(2.55)
	x
x 0

формула Ньютона Лейбница для определения интеграла от непрерывной функции

b
	(2.56)
x dx b a ;	(2.56)

формула Грина для связи двойного и контурного интеграла от непрерывной функции двух переменных

Φdx Qdx

;

(2.57)

формула Остроградского Гаусса связи тройного и поверхностного

интеграла

Φ x , x

cos n1 ,

x1 ΦdS. (2.58)

x1 x2 x3

Сферической общностью формул (2.56), (2.57), (2.58) является то, что в них интегралы по множеству выражаются через значения на его границах.

Преобразование (2.58) производят элементарным путем:

Φcos n1 ,	x1 dS	Φdx 2 dx3
S		S x2 x3
			(2.59)
x1 , x2 , x3 Φ x1 , x2 , x3 dx 2 dx3 ,.
S x2 x3

и, пользуясь формулой (2.56), получаем

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.5.Преобразование Остроградского – Гаусса. Оператор Гамильтона

Φcos n , x dS	x		Φ x			Φd .
Φcos n , x dS	1	dx	Φ x	x	3	Φd .	(2.60)
1 1			2		3	x1	(2.60)
	x1		x1			x1

Записав формулу Остроградского Гаусса для каждой из трех координат x1, x2, x3 и умножив на соответствующие единичные орты i1, i2, i3 , найдем ее векторную форму:

d ndS,

(2.60а)

		где				i1 cos n1 , x1 i2 cos n1 , x2 i3 cos n1 , x3 n	и

i		i		i
i		i		i
1 x		2 x		3 x
	1		2		3

некоторый символический дифференциальный вектор, называемый оператором Гамильтона (оператором «набла» – от названия древнегреческой буквы ).

Если в формуле (2.60а) произвести предельный переход при стягивании объема в точку, то получим следующее инвариантное определение оператора Гамильтона:

	ΦndS	.
Φ lim			(2.61)
Φ lim			(2.61)
0

Подобное определение оператора позволяет вычислить его значение для любой обобщенной системы координат:

			q q , q						, q			Φ		q	, q	, q			e			dq	dq	3
		Φ lim			1	1	2			3				1	2		3		1	1	2	2		3
	q1	Φ lim					1 2 3 q1 q2 q3
		0
		0
											e1 Φ		.
										1 q1												(2.61а)
																						(2.61а)
Таким образом,
				e			e	2						e				.
				1				2						3									(2.62)
				1 q1			2 q2																(2.62)
				1 q1			2 q2							3 q3
Пример. Для сферической системы координат r, ,																	имеем

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.5.Преобразование Остроградского – Гаусса. Оператор Гамильтона

			1		1
er		e		e		.	(2.63)

	r		r sin
					r

Если провести в пространстве эквипотенциальные линии Ф = const, то производные по касательным к ним будут равны нулю и

Таким образом, геометрически оператор «набла» означает направление и величину максимального роста значений. Аналитически выражает объемную (по всем трем координатам) производную и служит мерой неоднородности какой-либо величины в пространстве.

2.6. Тензорные(объемные) производные. Дифференциальныеоператорытеорииполя

Векторным оператором можно воздействовать на различные скалярные, векторные и вообще тензорные величины и получать различные тензорные производные и операторы теории поля, применяемые в математической теории МЖГ.

Его применение для скаляра дает скалярный градиент

	3
grad i			i		,	1, 2, 3 (2.65)
		x
	1			x

(как уже условились, по дважды встречающемуся (немому) индексу ведется суммирование от 1 до 3 в 3 ).

В результате этой операции получен вектор. Если умножить скалярно на grad , то получим скалярный оператор Лапласа

	2	2	2
grad 2	x2	x2	x2 .	(2.66)
	1	2	3

Для вектора V можно получить ряд дифференциальных операторов. Умножая скалярно на V , получим скалярную дивергенцию

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.6.Тензорные (объемные) производные. Дифференциальные операторы теории поля

		V	1, 2, 3.	(2.67)
V	divV	,	1, 2, 3.	(2.67)
		x

Для выяснения геометрического смысла операции divV рассмотрим

1	D	1	D	x1 x2 x3 .	(2.68)

dt		x1 x2 x3 dt

Меняя порядок дифференцирования и учитывая, что dxdti Vi , получаем

1	D	Vi divV .	(2.69)
	dt
		xi

Таким образом, divV характеризует относительную скорость деформации объема жидкости или газа.

С другой стороны, пользуясь (2.12) и (2.32), находим, что divV есть первый линейный инвариант тензора скоростей деформации.

Умножив векторно на V , получим новый вектор – ротор вектора:

			V	V
V	rotV			x	i	,	(2.70)
V	rotV				i	,
		x

где , , чередуются по циклу от 1 до 3.

Геометрический смысл операции rotV можно расширить из рассмотрения поля скоростей для абсолютно твердого тела:

V xi ,t V0 t t r


rotV	rot r	r	r		r	2 , (2.71)

т. е. 1/2rotV есть угловая скорость вращения частиц относительно полюса 0.

Если

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.6.Тензорные (объемные) производные. Дифференциальные операторы теории поля

V grad ,

то

			rot grad 0 .											(2.72)
С другой стороны,			div rotV V 0.
			div rotV V 0.											(2.73)
Умножив диадно на V , получим тензор 2-го ранга – векторный гра-
диент (дифференциальную диаду):
								V
V GradV										,	1, 2, 3.			(2.74)
V GradV								x		,	1, 2, 3.			(2.74)
								x
Первый линейный инвариант этой диады
				J1		V								(2.75)
				J1			x		divV.					(2.75)
							x
Асимметричная часть этой диады
		1		V			V
V										,		, 1, 2, 3.		(2.76)
V		2		x						,		, 1, 2, 3.
		2		x			x

Сравнивая с (2.70), устанавливаем, что ее компоненты
	V								1 rotV				,	(2.77)
					/				2					(2.77)
									2

где , , равны соответственно 1, 2, 3 (по циклу).

Для тензора 2-го ранга T с компонентами , 1, 2, 3 можно по-

лучить вектор тензорную дивергенцию при умножении вектора на тензор T:

Div x

слева

(2.78)

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.6.Тензорные (объемные) производные. Дифференциальные операторы теории поля

, 1, 2, 3 и суммирование по от 1 до 3).

Если же составить внешнее произведение вектора и тензора T, то получим тензор 3-го ранга:


				( , , по циклу от 1 до 3).		(2.79)
		x		( , , по циклу от 1 до 3).		(2.79)

В МЖГ широко используют следующие тензорные производные и со-
ответствующие операторы:					вектор ,
			grad		вектор ,
			divV		скаляр ,

						(2.80)
			rotV		вектор ,	(2.80)
			GradV c S,
			GradV c S,
			Div вектор ,
			Div вектор ,
где GradV S	(симметричная часть дифференциальной диады – тен-
c

зор скоростей деформации).

2.7.Справочныеданныепотензорномуисчислению

1.В трехмерном евклидовом пространстве физические величины характеристики поля можно представлять в виде тензора ранга , имеющего

3 компонент. Скаляр	можно рассматривать	как тензор ранга = 0
(1 компонента), а вектор	V – как тензор ранга = 1	(3 компоненты), соответст-

венно тензоры напряжений или деформаций S S как тензоры 2-го ранга

= 2 (9 компонент).

2.Если индекс (немой) встречается дважды, то подразумевается сум-

мирование от 1 до 3. Например, V W , т. е.

V W	3	W , , 1, 2, 3
			(2.81)

и при этом всегда имеется в виду, что текущий (свободный) индекс ( ) принимает значения 1, 2, 3.

3. Единичному тензору I соответствует матрица

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.7.Справочные данные по тензорному исчислению

1		0	0
	0	1	0
				,
	0	0	1

где символ Кронекера:

0, если ,

1, если .

4.Два тензора R, S равны (R = S), если R S , т. е.

R	R	R	S	11	S	12	S	13
11	12	13		11		12		13
R21	R22	R23	S21		S22		S23		.
R	R	R	S	31	S	32	S	33
31	32	33		31		32		33

Правило суммирования:

R S,

если

R S

или

( ) (R ) (S ).

Правило умножения на скаляр :

S S,

если

S S

или

( ) (S ) (S ) .

5. Разложение тензора Сопряженный (транспонированный) тензор

~	*	.
		.

(2.82)

(2.83)

(2.84)

(2.85)

(2.86)

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.7.Справочные данные по тензорному исчислению

Тензор T называется симметричным, если ~ * или (т. е. имеет 6 независимых компонент), и соответственно асимметричным, если

~	*	или
		или	(т. е. имеет три компоненты).
Любой тензор можно представить как сумму симметричной и асиммет-
ричной части S			d , т. е.	1		1
				1		1
			1	2	1	2			(2.87)
			1	~	1	~	S	d	(2.87)
			2		2 .

С другой стороны, любой тензор можно разложить на шаровой тензор J1T I и девиатор тензора Td:

T 13 J1T I T d ,

т. е.

Tαβ		1	J1T δαβ	Tαβd ,	(2.88)
		3

где J1T T11 T22 T33 – первый линейный инвариант тензора, а

				1	J			T			T
	T			3	J			T			T
		11		3		1		12			13
T d			T				T	1 J	2		T			,
αβ			21				22	3	2		23
			T31					T32		T33		1	J3
			T31					T32		T33		3	J3
												3

причем очевидно, что

J1 T d 0 .

(2.89)

В этом смысле асимметричная часть тензора Td есть частный случай девиатора, у которого

Tαβd Tβαd αTαβ 0 .

(2.90)

Формулы тензорных операций приведены в прил. 1.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025444.93 Кб0Г.11.АВТ.doc
#
01.05.2025518.66 Кб0Г.7 СН.doc
#
10.06.20152.77 Mб72Газовые турбины GE.pdf
#
20.11.201947.71 Кб7Галиуллина А.Ф. ОПД.docx
#
25.11.2019263.03 Кб22ГАОУ СПО.docx
#
29.03.20165.36 Mб232ггд.pdf
#
01.05.2025420.86 Кб0гл.6Схемы эл.соед..doc
#
01.05.20252.49 Mб0Глава 5.docx
#
01.05.2025214.2 Кб0Глава 6.docx
#
01.03.20251.86 Mб1ГЛАВА 9.docx
#
10.06.2015374.27 Кб43Глава1-5.doc

R	R	R	S	11	S	12	S	13
11	12	13		11		12		13
R21	R22	R23	S21		S22		S23		.
R	R	R	S	31	S	32	S	33
31	32	33		31		32		33

R	R	R	S	11	S	12	S	13
11	12	13		11		12		13
R21	R22	R23	S21		S22		S23		.
R	R	R	S	31	S	32	S	33
31	32	33		31		32		33

R	R	R	S	11	S	12	S	13
11	12	13		11		12		13
R21	R22	R23	S21		S22		S23		.
R	R	R	S	31	S	32	S	33
31	32	33		31		32		33