МОДУЛЬ 1. ОБЩИЕ ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ

СТАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.1.Предметиметодытехническоймеханикижидкости

Известно четыре агрегатных состояния вещества: твердое, жидкое, газообразное и плазма. Изучением общих закономерностей, связывающих движение и взаимодействие тел, находящихся в том или ином состоянии, занимается наука, называемая механикой, являющаяся частью физики. Теоретическая механика, исходя из молекулярного представления о веществе, абстрагируется от многих действительных свойств объекта изучения и исполь-

зует понятие материальной точки, или системы материальных точек. Сис-

тема может быть дискретной и непрерывной, сплошной, представляющей непрерывное распределение вещества и физических величин ее состояния и движения. В этом случае систему материальных точек называют сплошной средой, или континуумом.

Раздел теоретической механики, освещающей вопросы равновесия и движения изменяемых сплошных сред, т. е. таких сред, в процессе взаимодействия которых меняются расстояния между фиксированными точками среды, называется механикой сплошных сред. Составной частью последней является механика жидкости и газа.

Глядя на водопады и водовороты, полет закрученного мяча или поток горячего газа, выходящего из сопла реактивного самолета, трудно представить себе, что все эти разнообразные явления подчиняются общим закономерностям и описываются одними и теми же математическими выражениями. А между тем это так. Все перечисленные и многие другие явления изучает и описывает механика жидкости и газа (МЖГ).

Выделение механики жидкости и газа в самостоятельную науку обусловлено различием в молекулярном строении твердых, жидких и газообразных тел. Здесь рассматриваются основные положения статики, кинематики и динамики механики капельных жидкостей, или механики жидкостей, а точнее, технической механики жидкости, а также движения газовых сред. Когда это не будет касаться особенностей движения газов, все среды (жидкие и газообразные) условимся называть жидкостью. Техническая механика жидкости изучает закономерности равновесия и движения жидких сред для реше-

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.1.Предмет и методы технической механики жидкости

ния соответствующих практических задач. Объектом изучения в данном случае служат явления, которые имеют место в результате взаимодействия жидкости с инженерной конструкцией и происходят под действием внешних сил в конкретных условиях.

Без знания основ механики жидкости немыслимы создание высокоэффективных экономичных гидромашин и их правильная эксплуатация. В современном производстве во многих технологических процессах участвуют жидкости различного рода, и нередко физические процессы, протекающие в них, определяют основу всей технологии (например, кавитационная обработка цементного молочка улучшает характеристики цемента). Для решения конкретных задач в технической механике жидкости используются основные методы научных исследований.

В зависимости от степени сложности поставленной задачи и требуемой точности решения в технической механике жидкости используются точные и приближенные методы аналитического решения дифференциальных и интегральных уравнений; общие теоремы механики и термодинамики; теоремы о сохранении количества и моментов количеств движения, закон сохранения энергии и др. Строгая постановка задачи приводит к сложным системам дифференциальных уравнений, решение которых с высокой точностью зачастую возможно лишь при использовании численных методов и вычислительных машин.

Широко применяется метод аналогий, в котором одинаковые аналитические выражения используют для описания явлений различной физической природы. Например, электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА) заменяет вычисление полей скоростей в жидкости замером разностей электрических потенциалов в электролитической ванне или на модели, изготовленной из фольги.

Для хаотических, заключающих в себе характерные черты случайности, турбулентных движений, которые невозможно непосредственно описать уравнениями механики жидкости и газа, разработаны статистические методы.

Распространенные в механике жидкости и газа экспериментальные исследования обычно являются основой для разработки приближенных методов теоретического решения, служат для проверки результатов, предсказываемых теорией, выявляют физическую сущность явления и позволяют быстро отвечать на конкретные вопросы практики.

При этом теория учит правильной постановке эксперимента, анализирует и классифицирует полученные результаты и, обобщая их, устанавливает общие закономерности. В тесном взаимодействии теории и эксперимента заключается мощь методологии механики жидкости и газа, способствующая ее быстрому развитию в непрерывной связи с практическими запросами техники.

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.2.Общиеположения: постулатыньютоновской механикиимеханикижидкостиигаза

Механика жидкости и газа (МЖГ) является разделом классической, ньютоновской, механики, в котором изучаются макроскопические движения (течения) жидкостей и газов и их взаимодействие с твердыми телами и границами.

ВМЖГиспользуютсяосновныепостулатымеханикиГалилея Ньютона. 1-й п о с т у л а т – об евклидовом пространстве Е3. Движение проис-

ходит в пространстве Е3, которое связано (из любой точки М можно попасть в любую другую точку N, не покидая трехмерного евклидова пространства);

расстояние между точками M x1, x2, x3 и N x1, x2, x3 определяется формулой Пифагора

LMN x1 x1 2 x2 x2 2 x3 x3 2 .

2-й п о с т у л а т – об абсолютности времени. Время непрерывно и одинаково для неподвижных и подвижных систем координат (на земле, в поезде, в космосе и т. д.).

3-й п о с т у л а т – об инвариантности уравнений механики. Описание движения и законы механики (их форма записи) не изменяются для неподвижной или равномерно и поступательно движущейся системы координат

(т. е. движущейся с постоянной скоростью V0 const ). Такие системы коор-

динат называют инерциальными. Например, второй закон Ньютона для них записывается аналогично:

ma Fe .

Однако если система координат движется неравномерно или вращается: Ve V0 t e t r , второй закон Ньютона записывается по-другому:

m ae 2 e Vг ac Fe

или

maг Fe mae mac , ac 2 e Vг .

Кроме того, в МЖГ вводятся дополнительные постулаты, отражающие специфические свойства всех жидкостей и газов, а именно: сплошность, текучесть, сжимаемость.

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.2.Общие положения: постулаты ньютоновской механики и механики жидкости и газа

4-й п о с т у л а т – о текучести жидкости. Особенностью всех жидких сплошных сред является их способность изменять свою форму, объем и непрерывно двигаться (течь) даже при очень малых внешних нагрузках. Для упругого тела деформации всегда конечны: если внешние нагрузки малы, то и деформации будут малы.

Количественно свойства текучести определяют вязкостью жидкости, используя в простейшем случае линейный закон Ньютона о связи касательных напряжений и скорости деформации вида

dudn ,

где динамический коэффициент вязкости; кинематический

коэффициент вязкости (молекулярной). При этом вводят число Рейнольдса как отношение динамических и вязкостных сил:

Re V 2 ~ V02 L0 V0 L0 .

V0

Здесь V0 – характерная скорость течения; L0 – размер тела (трубы, канала и

т. п.).

5-й п о с т у л а т – о сплошности основывается на молекулярнокинетических представлениях о строении жидкости и газа. За материальную точку в МЖГ принимается такой малый (но физически конечный) объем, в пределах которого находится большое количество молекул. Их среднестатические характеристики обеспечивают макроскопические свойства жидкости и газа.

Если, например, за характерный размер такого микрообъема взять 1 мм (что достаточно, когда рассматривается обтекание, в частности крыла судна на подводных крыльях с размером хорды в 1 м), то в его пределах бу-

дет находиться молекула размерами 3,4 А 3,4 10 10 м,

Дополнительно вводят понятие массовой плотности сплошной среды (континуума)

lim m ,

0

причем .

6-й п о с т у л а т – о сжимаемости среды. Все жидкости под действием нагрузки изменяют свой объем. Изменение удельного объема во времени

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.2.Общие положения: постулаты ньютоновской механики и механики жидкости и газа

1 d divV .

dt

Для несжимаемых жидкостей, следовательно, divV 0 . Чаще всего в МЖГ мерой сжимаемости сплошной среды служит скорость звука – скорость распространения малых упругих колебаний –

С P ,

например, для адиабатических течений газа

Для воздуха скорость звука С = 330 м/с, для воды С = 1540 м/с (при стандартных условиях Р = 1 атм, Т = 15 С), для стали С = 4500 м/с. В воздухе уже достигнуты скорости движения порядка или даже больше скорости звука.

Для этого вводят число Маха

M VC0

и говорят о дозвуковом М 1 , околозвуковом M ~ 1 и сверхзвуковом течениях жидкости M 1 . В воде скорость звука около 1000 м/с встречается при падении метеоритов, подводных взрывах и кавитации.

1.3. Основныефизическиесвойстважидкостей

Физические свойства любого вещества, в т. ч. находящегося в жидком состоянии, определяются его атомно-молекулярной структурой. По причине недостаточной изученности этой структуры нередко пользуются гипотезой сплошности (гипотезой о непрерывности распределения массы и физикомеханических характеристик среды). Следует отметить, что, заменяя реальную жидкость ее моделью в виде континуума, в действительности, не делается никакой ошибки до тех пор, пока не исследуется движение и взаимодействие молекул или состояние межмолекулярного пространства. Это объясняется чрезвычайной малостью молекул жидкости и малыми межмолекулярными расстояниями. Гипотеза сплошности позволяет объяснить макроскопические свойства жидкости, которые можно разделить на две группы: свойства жидкости, непрерывно распределенные по объему среды, и свойства, проявляющиеся по внутренним или внешним поверхностям такого объема.

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.3.Основные физические свойства жидкостей

1.3.1.Объемныесвойства

Плотность является основной физической характеристикой сплошной среды и представляет собой отношение массы жидкости к ее объему:

щем i-ю точку среды, в которой определяется плотность. Размерность плот-

ности L3 . В единицах СИ плотность измеряется в кг/м3.

Плотность неоднородной жидкости в общем случае зависит от координат пространства ( x1, x2, x2 ), времени t, давления P и температуры T жидкости, т. е.

x1, x2 , x2 , t, P, T .

(1.2)

Поверхности равных значений плотности в пространстве называются изостерическими. Плотность однородной жидкости по всему объему одинакова и зависит только от давления и температуры:

Выражение (1.3), по сути, является уравнением состояния для сжимаемой среды (газ). Для несжимаемой среды

На практике о массе жидкости судят по ее весу. В связи с этим в технике пользуются понятием удельного веса , определяемого силой тяжести Fg ,

или весом жидкости G в объеме W :

Для воды при нормальных физических условиях (T = 0 С, P = 101,325 кПа)

= 999,87 кг/м3.

Легкоподвижность, или текучесть, – свойство жидкости, обусловленное тем, что для большинства жидкостей касательные напряжения в среде (внутреннее трение) отличны от 0 только при наличии относительного сдвига между слоями среды. Этим свойством объясняется то, что жидкость принимает форму сосуда, в который помещена. Весьма малые напряжения сдвига,

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.3.Основные физические свойства жидкостей

приложенные к жидкому объему, вызывают в нем непрерывные деформации, проявляющиеся в текучести. Текучесть обусловлена слабым взаимодействием между молекулами жидкости по сравнению с твердыми телами.

Сжимаемость – свойство жидкости (газа) изменять свой объем и, следовательно, плотность под действием внешних сил.

По механическим свойствам жидкости делятся на несжимаемые (капельные) и сжимаемые (газообразные). Для несжимаемой среды плотность в большом диапазоне P слабо зависит от изменения давления.

Сжимаемость жидкостей оценивается величиной модуля объемной упругости k, а точнее, величиной, обратной модулю упругости:

В подавляющем большинстве случаев, встречающихся в практике, изменение давления не влияет на изменение объема жидкости. Поэтому, как правило, сжимаемостью среды можно пренебречь. Например, с увеличением давления с 1 до 100 атм плотность воды возрастает только на 0,5 %. Для нормальных условий атмосферный воздух в 22 000 раз более сжимаем, чем вода.

Коэффициент температурного расширения капельных жидкостей также незначителен:

Τ W .

W t

Для воды при изменении температуры в диапазоне от 10 до 20 С и

P = 101,325 кПа βΤ = 0,00015.

Скорость распространения звука в веществе является косвенной мерой его сжимаемости и представляет собой скорость распространения малых возмущений давления. Для любого термодинамического состояния вещества справедлива зависимость, определяющая скорость звука как

В воде при T = 25 С a = 1497 м/с.

1.3.2. Поверхностныесвойства

Вязкость (внутреннее трение) способность жидкостей оказывать сопротивление касательным напряжениям сдвига, развивающимся по внутренним поверхностям между движущимися объемами. Еще в 1687 г. И. Ньюто-

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.3.Основные физические свойства жидкостей

ном была высказана гипотеза о том, что сила трения пропорциональна скорости относительного перемещения, т. е.

скорости, 1c ; касательные напряжения сдвига.

Зависимость (1.8) выражает закон трения Ньютона. Скорость деформации dndv в (1.8) является характеристикой данного состояния среды в некото-

рый момент времени.

В отличие от твердого тела жидкость под действием даже малых напряжений сдвига деформируется непрерывно, т. е. течет со скоростью, пропорциональной приложенным напряжениям. При отсутствии скорости сдвига 0.

Динамический коэффициент вязкости практически не зависит от давления и характера движения и определяется только физическими свойствами жидкости и ее температурой. Вязкость жидкости с увеличением температуры

уменьшается. Для воды при нормальных условиях = 1,79 МПа с.

Наряду с динамическим в дальнейшем будем часто иметь дело с кинематическим коэффициентом вязкости

Кинематический коэффициент вязкости для капельных жидкостей при P 20 МПа весьма мало зависит от давления. Для воды при нормальных ус-

ловиях v 106 = 1,792 м2/с.

Поверхностное натяжение. Молекулы жидкости, в отличие от газов, расположены друг от друга на крайне малых расстояниях, вследствие чего возникают значительные межмолекулярные силы сцепления, особенно интенсивно проявляющиеся на внешних поверхностях, отделяющих данную жидкость от других жидкостей или газов. Под действием поверхностных сил жидкость подвергается значительному сжатию. В этих условиях изменения давления, наблюдаемые при обычных движениях жидкости, почти не влияют на изменение объема (сжимаемость жидкости). Вот почему, в отличие от газов, жидкости можно считать несжимаемыми.

В результате стремления поверхностной энергии к минимуму свободная поверхность жидкости в свою очередь стремится принять наименьшую площадь. Этим объясняется стремление жидкости в атмосфере принять форму шара. Правильную форму сферы принимают капли жидкости в невесомости. Мерой поверхностной энергии является коэффициент поверхностного

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.3.Основные физические свойства жидкостей

натяжения как отношение энергии молекул поверхностного слоя En к площади S, занимаемой этими молекулами:

Поверхностное натяжение на границе воды с воздухом невелико ( = 0,073

Н/м), почти в 7 раз меньше, чем ртути. Величина определяется физическими свойствами жидкости.

Своеобразие молекулярного строения механизма взаимодействия между молекулами в жидкости приводит к характерным для них капиллярным свойствам, возникающим на границе двух различных жидкостей, а также жидкости и твердого или газообразного тела. Таковы явления смачиваемости твердых поверхностей, образования менисков и капель.

Сегодня, исследуя космос, ученые проводят различные эксперименты, в т. ч. с целью выяснения влияния условий невесомости на некоторые технологические процессы (например при выращивании правильных кристаллов).

Практически в любом технологическом процессе присутствует жидкость. Поэтому поведение покоящейся (движущейся) жидкости в условиях невесомости в том или ином случае представляет определенный интерес. Например, в условиях относительно большой силы тяжести поверхностное натяжение проявляется в малой степени. В условиях же невесомости это основная сила, которая обусловливает поведение жидкости. Под действием поверхностного натяжения жидкость образовывает капли идеальной шарообразной формы; в условиях невесомости сосуд Дюара, предназначенный для хранения сжиженных газов, уже не выполняет своих функций и т. д.

Попытайтесь ответить на вопрос: что произойдет, если в невесомости открыть бутылку с водой. Рассмотрите два случая: бутылка стеклянная и из полиэтилена. Почему в условиях невесомости сосуд Дюара не будет «работать».

1.3.3. Идеальнаяжидкость

Любая реальная жидкая среда обладает бесчисленным множеством свойств. Совокупность наиболее существенных свойств позволяет сформулировать определение модели жидкой среды, используемое в технической механике жидкости: жидкой средой называется сплошная, легкоподвижная, сжимаемая и вязкая среда.

Здесь рассматриваются только текучие среды и только идеально текучие жидкости, т. е. удовлетворяющие условию (1.8). Такие жидкости с линейной зависимостью между скоростью деформации и касательными напря-

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.3.Основные физические свойства жидкостей

жениями сдвига называются ньютоновскими (вода, глицерин и многие реальные жидкости, расплавленные металлы).

К неидеальнотекучим ньютоновским жидкостям относятся вязкопластичные жидкости (тиксотропные жидкости, глинистые растворы), псевдопластичные (растворы полимеров, коллоидные суспензии), многие краски, битумы, сыпучие тела и т. д. Количественная связь между напряжениями деформации и скоростями сдвига в таких жидкостях может быть различной. Установлением общих законов этой связи занимается специальная наука – реология.

В механике жидкости для упрощения решения некоторых задач используется модель идеальной жидкости модельная жидкая среда, лишенная внутреннего трения, абсолютно несжимаемая и неспособная сопротивляться разрыву. Дополнительными условиями могут быть k и a .

1.4.Изисториивозникновениянауки«Механикажидкости

игаза»

История развития механики жидкости и газа (гидрогазодинамики) полностью подтверждает наличие взаимосвязи между наукой и практикой, теорией и бытием общества, условиями его жизни и корнями уходит в далекое прошлое, к гидротехническим работам Египта, Вавилона, Месопотамии, когда гидравлика являлась только искусством без каких-либо научных основ.

Отдельные результаты наблюдений за движением жидкостей и газов дошли до наших дней в трудах великого древнегреческого философа Аристотеля (384–322 г. до н. э.). Некоторые законы гидростатики и плавания тел были сформулированы математиком и механиком Архимедом (287–212 г. до н. э.). За истекшее время к труду Архимедапо гидростатике мало что удалось добавить.

Работы Архимеда послужили толчком к появлению ряда замечательных гидравлических аппаратов: насоса, духового ружья и водяных часов Ктезибия; сифона, автомата для дозировки жидкости Герона Александрийского и др.

Эпоха Римской империи характеризуется возведением грандиозных гидротехнических сооружений: акведуки, системы водоснабжения и т. п.

Период средневековья, длившийся после падения Римской империи более 1000 лет, характеризуется регрессом. В этот период развивалось во многом ошибочное учение Аристотеля, которое различные философы изменяли и приспосабливали к христианскому вероучению. Затем идеи Архимеда были возрождены и получили дальнейшее развитие. Большой вклад в развитие основ гидромеханики был сделан Леонардо да Винчи (1452–1519), Стевиным (1548–1620), Га-

лилеем(1564–1642), Паскалем(1623–1662) иГюйгенсом(1629–1695).

Ньютон (1642–1727) в своих «Началах» приводит квадратичный закон сопротивления, выведенный теоретическим путем. В этой первой в истории

1.ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.4.Из истории возникновения науки «Механика жидкости и газа»

механики попытке выяснения природы сопротивления уже можно найти идеи, близкие современным представлениям.

Начало механике жидкости и газа как науке было положено в XVIII столетии трудами: Михаила Васильевича Ломоносова (1711–1765), Леонардо Эйлера (1707–1783), Даниила Бернулли (1700–1782), Жана Лерона Д’ Алам-

бера (1717–1783).

Работы М. В. Ломоносова по металлургии, горному делу, водяным двигателям и метеорологии явились крупным вкладом в гидромеханику.

Л. Эйлером были выведены уравнения движения и равновесия жидкости, указаны некоторые интегралы этих уравнений и сформулирован закон сохранения массы применительно к жидкости. Кстати, Эйлер первым высказал предположение, что жидкость несжимаема.

Д. Бернулли в труде «Гидродинамика» осветил целый ряд вопросов равновесияжидкостей, неустановившегосятеченияжидкостиприпостоянномнапореидр.

Дальнейшее развитие механики жидкости и газа (конец XVIII начало XIX века) характеризуется математической разработкой гидродинамики идеальной жидкости. К этому периоду относятся труды французских математиков Лагранжа (1736–1813) и Коши (1789–1857). Основы теории движения вязкой жидкости были заложены французским ученым Навье (1785–1836) и английским физиком-математиком Стоксом (1819–1903).

Однако применение получаемых уравнений на практике давало удовлетворительные результаты лишь в немногих случаях. В этой связи с конца XVIII века многие ученые и инженеры (Шези, Дарси, Базен, Вейсбах, Пуайзель и др.) опытным путем изучали движение воды и для различных случаев получили большое число эмпирических формул гидравлики. Создавшаяся таким образом практическая гидравлика все больше отдалялась от теоретической гидродинамики.

Лишь во второй половине XIX века, после открытия Рейнольдсом условий перехода ламинарного движения в турбулентное и создания теории подобия, многие исследователи в области механики жидкости и газа поняли, что без теории, ставящей задачи опыту и обобщающей его результаты, не может быть и научно поставленного эксперимента.

Мощный толчок в развитии механика жидкости и газа получила в начале XX столетия в результате стремительного развития авиационной техники, гидромашиностроения, гидротехнического строительства и теплоэнергетики. В славную плеяду русских и советских ученых-гидромехаников вошли имена Н. Е. Жуковского (1834–1907), С. Я. Чаплыгина (1869–1942), К. Э. Циолков-

ского (1857–1935), И. В. Мещерского (1859–1935) и А. А. Фридмана (1888– 1925). Современный этап развития гидромеханики характеризуется появлением ее новых разделов: физико-химической, электромагнитной, космической гидродинамики, что обусловлено развитием многих областей техники. Среди современных выдающихся ученых в области механики жидкости и газа известны такие имена, как Л. И. Седов, М. А. Лаврентьев, Л. Г. Лойцянский и др.

1. ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.5. Значениеизадачигидромеханики насовременномэтаперазвитиянаукиитехники

Во многих областях техники используются достижения механики жидкости и газа. Авиация и кораблестроение, основными проблемами которых являются скорость, устойчивость, снижение сопротивления, неразрывно связаны с аэро- и гидродинамикой. В ракетостроении не только нашли применение настоящие достижения науки, но и был поставлен ряд новых задач перед газодинамикой, послуживших развитию этой еще молодой отрасли механики жидкости и газа.

Проточные части гидротурбин и насосов, компрессоров и газовых турбин двигателей реактивного самолета – это сложное сочетание неподвижных и подвижных лопаточных систем самой различной конфигурации, обтекаемых при высоких скоростях газом, паром или водой. От правильного гидродинамического расчета формы проточной части зависит требуемая мощность машин, ее высокий КПД.

Знание гидромеханики необходимо в гидротехническом строительстве, металлургии, при решении вопросов интенсификации технологий химической индустрии, водоснабжения и добычи полезных ископаемых.

Вычислительные машины позволили расширить круг решаемых аналитических задач гидродинамики и сократить время на их решение. Однако технический прогресс не стоит на месте, и в механике жидкости и газа появляются новые направления, продиктованные современным и перспективным развитием техники. Так, например, становление криодинамики обусловлено развитием атомной энергетики и новыми задачами волновой энергетики, связанной с утилизацией энергии волн мирового океана. Кроме того, это и разработка энергетики ветра и многое другое.

В этом взаимодействии науки с растущими потребностями техники, в этом непрерывном прогрессе, отчетливо проявляется диалектический путь познания истины. При этом понимание состоит в нахождении существенных признаков явлений и связей между ними на общенаучной методологической основе.