ПРИЛОЖЕНИЕ 1

1. скаляр (тензор 0-го ранга)

1.

n

grad ik

const

n

xk

– скалярный градиент (вектор) по k сумми-

рование от 1 до 3.

2. V вектор (тензор 1-го ран-

Vk

1

d( )

га)

2. а) V

div

xk

b akbk скалярное

dt

а)

a

векторная дивергенция (скаляр);

(внутреннее, точечное) произведение

дает скаляр;

V3

V2

б)

б) rotV V i1

V2

V3

3

a b

ik (ambr arbm ) вектор-

V1

V3

V2

V1

i2

V

V

V

V

2

k 1

i3

2

ное произведение дает вектор; k, m, r

3

1

1

по круговой перестановке от 1 до 3;

ротор вектора;

в)

V1

V1

V1

в)

x1

x2

x3

a b a b a b

V

V

V

2

2

2

GradV

1 1

2 1

3 1

D V

x1

x2

x3

a b a1b2

a2b2

a3b2

V

V

V

a b a b a b

3

3

3

1 3

2 3

3 3

x1

x2

x3

диадное произведение дает тензор

векторный градиент (дифференциаль-

ный, мультипликативный тензор);

Skm 1

Dkm

Dmk тензор ско-

2

3. тензор 2-го ранга

3.

а)

: S

S

12

S

13

S

P : Q PkmQkm P11Q11 P12Q12

11

11

12

13

+ 22S22 21S21 23S23 31S31 +

P13Q13 ... P33Q33

– скалярное

32S32 33S33 мощность внутренних сил

(внутреннее, двухточечное) произведе-

ние дает скаляр;

– скаляр

P Qбkr)

PkmQmr PrmQmk

век-

торное произведение дает тензор

2-го ранга; по m – суммирование

от 1 до 3;



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

263

в) P Q kr Pkm Qmr тен-

зорное (внутреннее, одноточечное)

произведение дает тензор 2-го ранга;

по m – суммирование от 1 до 3;

г) P Q kmr 3 Pкm Qr 3

диадное (внешнее) произведение – да-

ет тензор 4-го ранга

4.

ij

ij

V

V

зора на скаляр дает тензор такого же

grad V divV

ранга с компонентами Tij

5.

a P

5.

DivΠ Π

a

P a P a P

m

k km

1 1m

2 2m

3

1m

2m

3m

a3P3m умножение вектора

im

.

x1

x2

x3

слева на тензор дает вектор;

m 1

Pmrar Pm1a1 Pm2a2

Для симметричного справедливо

Р а т

3

умножение вектора справа на тензор

DivΠ im

дает вектор

m 1

m1

m2

m3

x

x

2

x

1

3

– тензорная дивергенция (вектор)

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

264