4.2.2. Проверка значимости коэффициента детерминации с использованием статистики Фишера

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации R²проверяется нулевая гипотеза дляF-статистики, рассчитываемой по формуле:

(4. 0)

Соответственно, для парной регрессии

(4. 0)

Смысл проверяемой гипотезы заключается в том, что все коэффициенты ли­нейной регрессии, за исключением свободного члена, равны нулю. Если они действительно равны нулю для генеральной совокупности, то уравнение регрессии должно иметь вид ,а коэффициент детерминацииR²иF-статистика Фишера также равны нулю. При этом их оценки для случайной выборки, конечно, отличаются от нуля, но чем больше такое отличие, тем менее оно вероятно. Логика проверки нулевой гипотезы заключается в том, что если произошло событие, которое было бы слишком маловероятным в том случае, если данная гипотеза действительно была бы верна, то эта гипотеза отвергается.

Величина F, если предположить, что выполнены предпосылки относительно отклоненийе_i, имеет распределение Фишера с (т; п-т-1) степенями свободы, гдет -число объясняющих переменных,п -число наблюдений.

Итак, показатели F и R²равны или не равны нулю одновременно, поэтомуF = 0 равнозначно тому, что линия регрессииявляется наилучшей по МНК и, следовательно, величинаустатистически независима отх.Поэтому проверяется нулевая гипотеза для показателяF, который имеет хорошо известное, табулированное распределение - распределение Фишера. Для проверки этой гипотезы при заданном уровне значимости по таблицам находится критическое значениеF_крит, и нулевая гипотеза отвергается, еслиF>F_крит.

Пример 4.1

Пусть, например, при оценке парной регрессии по 15 наблюдениям R²= 0,7. В этом случаеF= 0,7 • 13/0,3. По таблицам для распределения Фишера с (1; 13) степенями свободы найдем, что при 5%-ном уровне значимости (доверительная вероятность 95%) критическое значениеFравно 4,67, при 1%-ном - 9,07. ПосколькуF=30,З>F_крит., нулевая гипотеза в обоих случаях отвергается. Если в той же ситуацииR²= 0,5, тоF=13, и предположение о незначимости связи отвергается и здесь.

Таким образом, для того, чтобы отвергнуть гипотезу о равенстве нулю одновременно всех коэффициентов линейной регрессии, коэффициент детерминации не должен быть очень близким к единице; его критическое значение для данного числа степеней свободы уменьшается при росте числа наблюдений и может стать сколь угодно малым. В то же время величина коэффициента R²(точнее, рассчитанной по немуF-статистики, поскольку последняя учитывает число наблюдений и число объ­ясняющих переменных) может служить отражением общего качества регрессионной модели.

Отметим, что в случае парной регрессии проверка нулевой гипотезы для t- статистики коэффициента регрессии равносильна проверке нулевой гипотезы дляF-статистики (и, соответственно, показателяR²).В этом случаеF-статистика равна квадратуt-статистики. В случае парной регрессии статистическая значимость величинR²иt-статистики коэффициента регрессии определяется коррелированностью переменныххиу.Самостоятельную важность показательR²приобретает в случае множественной линейной регрессии.