5.2.2. Коэффициент множественный корреляции*

Для определения связи между несколькими переменными используется множественный коэффициент корреляции.

Если переменных три: x₁,х₂иy. То влияниех₁их₂наyвычисляется по формуле:

, (5. 0)

где под корнем стоят парные линейные коэффициенты корреляции.

В общем случае, когда объясняющих переменных более двух коэффициент множественной корреляции рассчитывают по формуле:

, где- определитель матрицы вида

а_yалгебраическое дополнение к 0:

.

5.3. Линейные регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные)

До сих пор мы предполагали, что в общую линейную модель у = a₀+a₁х₁ +a₂х₂ + ... +a_mх_m+e по п наблюдениям с т объясняющими переменными входят лишь переменные, существенные для экономи­ческой теории. Некоторые из них в свою очередь могут быть функция­ми, возможно и не линейными, других переменных. Например, и т. д. Однако модель должна при этом оставаться линейной относительно параметров {a₀, a₁, a₂, ... ,a_m} и удовлетворять всем свойствам, необходимым для применения обыкновенного метода наименьших квадратов. Тем не менее, мы можем существенно расши­рить сферу применения линейных моделей, допустив включение фиктивных переменных. Это специальным образом сконструи­рованные переменные для отражения изменений в таких факторах, как эффект сдвига во времени или в пространстве, воздействие качественных переменных или большого числа количественных переменных.

• Эффект сдвига во времени. Мы иногда предполагаем неизменными соотношения, объясняющие поведение объекта, перенося их из одного периода времени в другой. Например, можно ожидать, что потребительская функция во время войны окажется сдвинутой вниз по сравнению с ее значениями в мирное время; уравнение, определяющее заработную плату, может испытать импульсное воздействие в результате смены политической власти; можно ожидать, что многие уравнения будут подвержены сезонным возмущениям, если мы имеем дело с квартальными или недельными данными.

• Пространственные сдвиги мы наблюдаем, анализируя одни и те же экономические зависимости для регионов страны, различающихся экономической структурой или перспективами на будущее.

• Качественные переменные, такие, как пол, семейный статус, принадлежность к социальным или профессиональным группам, нередко также играют важную роль в определении экономического поведения и поэтому они должны быть введены в процесс оценивания.

• Наконец, мы иногда можем располагать существенными переменными, такими, как доход или возраст, однако для достижения поставленной цели необходимо использовать эти данные в сильно агрегированном виде.

Во всех этих случаях целесообразно ввести подходящим образом выбранные фиктивные переменные.

Пример 5.1

Рассмотрим ситуацию детально на очень простом примере потребительской функции для военного и для мирного времени. Предположим, что в военное время уровень потребления С и уровень доходов Y связаны следующим соотношением:

С=₀+₁Y+ (5. 0)

а в мирное время -

С=₀^/+₁Y+ (5. 0)

Где ₀^/>₀. Заметим, что в модели предполагается общая предельная склонность к потреблению для обоих периодов₁. Если же параметр₁не будет общим, то нам ничего не удастся сделать с помощью фиктивных переменных, а останется лишь одно — подогнать с помощью уравнения (5.6) данные для военных лет, а с помощью уравнения (5.7) — данные для мирного времени. Однако предположив параметр₁об­щим, мы делаем тем самым осмысленным использованиевсехимеющихся данных для получения эффективной (насколько это возможно) оценки этого параметра. Мы можем объединить уравнения (5.6) и (5.7) в одно соотношение -

С=₀X+₀^/X^/+₁Y+ (5. 0)

где XиX^/— фиктивные переменные, такие, что

Очевидно, что уравнение (5.8) в мирный год преобразуется к виду (5.7) (X=0), а в военный - к виду (5.6) (X^/=0). Так что первый коэффициент уравнения (5.8) служит оценкой свободного члена только для военного времени, а второй — только для мирного, третий коэффициент есть общая для всего периода предельная склонность к потреблению.

В матрице данных (5.9) мы предположили, что выбранный период включает в себя два мирных года, затем три года войны, и, наконец, снова годы мирного времени.

(5. 0)

Ловушка, возникающая при введении фиктивных переменных. Если объясняющие переменные такие, как и в правой части уравнения (5.8), то применение для этого уравнения обычной процедуры вычисления регрессии, которая автоматически определяет величину свободного члена, приведет к нарушению процесса оценивания. В самом деле, включение указанных фиктивных переменных эквивалентно использованию матрицы данных с четырьмя столбцами (см. п.4.1.1), из которых первый целиком состоит из единиц, а три оставшихся определены в (5.9). Тогда существует линейная зависимость между столбцами, поскольку первый равен сумме второго и третьего. Следовательно, матрица (Х^TХ) вырождена.

Однако когда прочие объясняющие переменные комбинируются с фиктивными, то в результате ошибок округления в ЭВМ определитель матрицы (Х^TХ) может оказаться не равным нулю, так что вычисления будут выполнены и будут найдены оценки коэффициентов,R²и прочих статистических показателей. Эти оценки будут противоречить априорным соображениям и неосторожный исследователь придет к выводам, не имеющим ничего общего с реальностью.

Если вычислительная процедура предусматривает получение свободного члена, то единственный способ воспользоваться ею для наших целей — это переписать уравнение (5.8) в виде

С=+^/X^/+₁Y+ (5. 0)

где

Очевидно, что уравнение (5.10) в мирный год преобразуется к виду (5.7) С=+^/+₁Y+ , а в военный - к видуС=+₁Y+

Сопоставляя результат с предыдущим, мы видим, что

 =₀ = свободному члену для военного времени;

+^/=₀^/ = свободному члену для мирного времени.

^/=₀^/ -₀ = разности между свободными членами, соответствующими мирному и военному времени.