113 «Эконометрика» Глава 10. Основные статистические распределения
При обработке выборочных данных, в силу случайной природы процесса получения выборки, важно знать, каким вероятностным законам подчиняются выборочные значения исследуемого экономического показателя. Существует целый ряд распределений вероятности, которые играют роль эталона в статистических выводах. Это, прежде всего, равномерное распределение, нормальное распределение (распределение Гаусса) и распределение Стьюдента (t-распределение).
10.1. Равномерное распределение
Равномерное распределение - это такое распределение вероятности, плотность которого постоянна в заданном интервале изменения случайной величины X: а Х b. Равномерно распределенная случайная величина обозначаетсяR(а,b). Там, где встречаетсяRбез указания параметров, подразумевается стандартное равномерное распределение на интервале 0Х 1:R(0,1).
Плотность вероятностиравномерного распределения на интервале [а, b] постоянна на этом интервале:
,
(10. 0)
а функция распределения:
(10.
0)
Для равномерного распределения M[X]=(a+b)/2,D[X]=(b-a)2/12
Соответствующие этим функциям графики приведены на рисунке 10.1
На примере равномерного распределения проще всего показать как графически и аналитически рассчитывать вероятность попадания в заданный интервал, т.е. Prob(x1 X < x2) используя соотношение между плотностью распределения и функцией распределения.
Рис. 10.1. Плотность вероятности и функция распределения равномерного распределения.
Подобно тому, как масса физического тела, равномерно распределенная по объему, находится как произведение плотности (массы в единице объема) на объем, так и вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в заданный интервал равна произведению плотности вероятности на длину интервала, и, таким образом, величина вероятности линейно растет с увеличением длины интервала (внутри области определения [a,b]).
На рис. 10.2а приведен характерный график плотности вероятности, а на рис. 10.26 - график соответствующей функции распределения.
а) б)
Рис. 10.2
Используя выведенную
нами взаимосвязь
плотности вероятности и функции
распределения, несложно показать, что
наклон графика функции распределения
характеризует плотность вероятности
(чем больше плотность вероятности, тем
быстрее меняется функция распределения)
(f(x)=tg()),
а площадь под графиком функции плотности
вероятности на интервале x1X<x2
характеризует
вероятность попадания непрерывной
случайной величины в соответствующий
интервал.
При этом суммарная площадь под графиком функции плотности вероятности на всем интервале -X<+равна по определению единице:
(10.
0)
10.2. Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины
На разных стадиях статистического исследования и моделирования возникает необходимость в формулировке и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез)относительно природы неизвестных параметров анализируемых случайных величин. Например, исследователь высказывает предположение: «исследуемые наблюдения извлечены из равномерно распределенной генеральной совокупности» или «среднее значение анализируемой генеральной совокупности равно нулю». Будем обозначать в дальнейшем высказанное нами предположение (гипотезу) с помощью буквыH. Наша цель – проверить, не противоречит ли высказанная нами гипотезаHимеющимся выборочным данным.
Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися в нашем распоряжении выборочными данными x1, x2, … xn, сопровождаемая количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез.
Результат подобного сопоставления может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе, а потому от этой гипотезы следует отказаться), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, а потому ее можно принять в качестве одного из естественных и допустимых решений). При этом неотрицательный результат статистической проверки гипотезы не означает, что высказанное нами предположительное утверждение является наилучшим, единственно подходящим: просто она не противоречит имеющимся у нас выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с Hобладать и другие гипотезы. Так что даже статистически проверенное предположениеHследует расценивать не как раз и навсегда установленный абсолютно верный факт, а лишь как достаточно правдоподобное непротиворечащее опыту утверждение.