
Эконометрика / Модуль 9
.doc
Глава 9. Системы одновременных уравнений
9.1. Структурная и приведенная формы системы одновременных уравнений. Косвенный МНК
При статистическом моделировании экономических ситуаций часто необходимо построение систем уравнений, когда одни и те же переменные в различных регрессионных уравнениях могут одновременно выступать, с одной стороны, в роли результирующих, объясняемых переменных, а с другой стороны - в роли объясняющих переменных. Такие системы уравнений принято называть системами одновременных уравнений. При этом в соотношения могут входить переменные, относящиеся не только к текущему периоду t, но и к предшествующим периодам. Такие переменные называются лаговыми. Переменные за предшествующие годы обычно выступают в качестве объясняющих переменных.
Пример
В качестве иллюстрации приведем пример из экономики. Рассмотрим модель спроса и предложения. Как известно, спрос QD на некоторый продукт зависит от его цены P и величины дохода Y. Предложение этого продукта QS зависит от цены P, но с противоположным по знаку коэффициентом. Силы рыночного механизма формируют цену таким образом, что величины спроса и предложения уравниваются. Нам нужно построить модель описанной ситуации. Для этого имеются данные об уровне равновесных цен и спросе (который равен предложению). Представленную ситуацию можно формализовать в виде следующей линейной модели:
(8.
0)
предложение пропорционально цене с коэффициентом пропорциональности а2>0, т.е. связь положительная;
(8.
0)
спрос пропорционален цене с коэффициентом пропорциональности 2<0, т.е. связь отрицательная;
(8.
0)
величина спроса равна величине предложения – условие рыночного равновесия.
Здесь t, ut (t=1,..., п) - ошибки модели, имеющие нулевое математическое ожидание.
Первые два из представленных уравнений, если их рассматривать отдельно, могут показаться вполне обычными. Мы можем определить коэффициенты регрессии для каждого из этих уравнений. Но в этом случае остается открытым вопрос о равенстве спроса и предложения, т.е. может не выполняться третье равенство, в котором спрос выступает в качестве зависимой переменной. Поэтому расчет параметров отдельных уравнений в такой ситуации теряет смысл.
Экономическая модель как система одновременных уравнений может быть представлена в структурной или в приведенной форме. В структурной форме ее уравнения имеют исходный вид, отражая непосредственные связи между переменными. Приведенная форма получается после решения модели относительно эндогенных (внутренних) переменных, то есть выражения этих переменных только через экзогенные (задаваемые извне) переменные и параметры модели. Основное свойство приведенной формы состоит в том, что она возникает в результате решения первоначальной системы уравнений относительно текущих значений эндогенных переменных и выражает их как функции всех остальных переменных системы, так что каждое уравнение в приведенной форме модели содержит текущее значение только одной эндогенной переменной.
Например, в модели спроса и предложения эндогенными являются переменные Pt, Qt, ее параметры - 1, 2, 1, 2, 3,а экзогенной переменной является Yt. Таким образом, в приведенной форме переменные Pt, Qt должны выражаться через Yt и параметры модели.
Запишем уравнения в отклонениях:
(8.
0)
(8.
0)
Более подробно переход к уравнению в отклонениях рассмотрен в п.3.3. Приравняв (8.4) и (8.5), получаем приведенную форму одновременных уравнений.
(8.
0)
(8.
0)
Введем обозначения:
.
Тогда система примет следующий вид:
(8. 0)
(8.
0)
Здесь 1t, 2t, - преобразованные отклонения. Мы получим 2 регрессии, параметры которых можно оценить отдельно с использованием МНК (при условии, что ошибки моделей 1t, 2t удовлетворяют свойствам 3.3). Мы можем оценить 1 и 2, но из этих соотношений невозможно рассчитать параметры первоначальной модели 1, 2, 1, 2, 3, (поскольку их пять). Метод оценивания параметров структурной формы через оценивание параметров приведенной формы называется косвенным методом наименьших квадратов.
9.2. Проблема идентификации одновременных уравнений*
Тем самым мы подошли к проблеме идентификации - оценке параметров структурной формы модели (в чем, собственно, и состоит наша задача) по параметрам приведенной формы. Параметры приведенной формы могут быть оценены обычным МНК, но по ним далеко не всегда может быть идентифицирована исходная модель (как, например, в описанном случае модели спроса и предложения).
Следует также отметить, что оценивание косвенным МНК приводит к получению смещенных и несостоятельных оценок параметров структурной формы.
Покажем, что в рассмотренном примере эндогенные переменные могут быть коррелированы с ошибками. Используя (8.6), получаем:
(8.
0)
Первое слагаемое равно нулю в силу взаимной независимости yt и t. Второе слагаемое в общем случае не равно нулю. Вследствие этого оценки параметров структурной формы будут смещенными. Покажем это для 2.
(8.
0)
Здесь мы использовали соотношение из 3.3 и (8.4).
Для того чтобы структурная форма модели могла быть идентифицирована, вводят дополнительные предпосылки (например, о равенстве некоторых коэффициентов нулю или об их взаимосвязи между собой). Часто уже на этапе построения модели стараются выбрать такую ее форму, которая была бы идентифицируема. Такой, например, является треугольная форма модели:
,
где х - вектор объясняющих переменных, yi - i-я зависимая переменная. Нежелательна и сверхидентифицируемость модели, когда для параметров структурной формы получается слишком много соотношений из приведенной формы модели. В этом случае модель также нуждается в уточнении.
9.3. Двухшаговый метод наименьших квадратов
Для оценивания систем одновременных уравнений имеется ряд методов. В целом их можно разбить на две группы. К первой группе относятся методы, применяемые к каждому уравнению в отдельности. Вторая группа содержит методы, предназначенные для оценивания всей системы в целом. Для оценивания отдельных уравнений можно применять двухшаговый метод наименьших квадратов (Two-Stage Least Squares). Из второй группы методов используется трехшаговый метод наименьших квадратов (Three-Stage Least Squares ).
Остановимся вначале на двухшаговом
методе. Он применяется при наличии в
оцениваемой модели лаговых переменных.
Содержательный смысл двухшагового
метода состоит в следующем. Как известно,
МНК-оценки параметров уравнения равны
,
но лаговые значения у, используемые
как объясняющие переменные (в этой
формуле они являются частью матрицы
X), заранее неизвестны. Поэтому для
того, чтобы воспользоваться этой
формулой, сначала, на первом шаге,
определяются недостающие значения
объясняемых переменных. Это в данном
случае делается путем расчета МНК-оценок,
т е. строится регрессия, в которой в роли
объясняемых переменных выступают только
имеющиеся в исходной информации. После
этого, когда исходные эмпирические
данные дополнены рассчитанными значениями
и сформирован полный набор данных, можно
приступать к оценке искомых параметров
Двухшаговый МНК применяется и при сверхидентифицируемости модели. В этом случае на первом шаге оцениваются параметры приведенной формы модели. С помощью уравнений приведенной формы, при заданных значениях объясняющих переменных, рассчитываются оценки зависимых переменных. Далее эти оценки подставляются в правые части уравнений модели в структурной форме, и вновь используется обычный МНК для оценки ее параметров.
9.4. Трехшаговый МНК
Для оценки параметров всей системы уравнений в целом используется трехшаговый МНК. К его применению прибегают в тех случаях, когда переменные, объясняемые в одном уравнении, в другом выступают в роли объясняющих. Так было в нашем примере с моделью спроса и предложения, где спрос и предложение, с одной стороны, определяются рыночной ценой, а с другой стороны, предложение должно быть равно спросу. При расчете параметров таких моделей необходимо учитывать всю систему соотношений. В трехшаговом методе это реализуется в три этапа. Первые два из них похожи на двухшаговый метод, т.е производится оценка параметров в уравнениях с лаговыми переменными. В нашем примере лаговые переменные в уравнения не включены, и на этом этапе будут рассчитываться обычные коэффициенты регрессии. После этого нам нужно увязать все уравнения системы между собой. В качестве меры связи здесь выступает матрица ковариаций ошибок моделей, т.е. чтобы оценить, насколько несвязанными получатся уравнения спроса и предложения при расчете их отдельно, нужно рассчитать ковариацию ошибок t и ut. Для увеличения этой связи на следующем этапе, при очередном расчете коэффициентов регрессии учитывается матрица ковариаций ошибок. Таким приемом достигается взаимосвязанность всей системы уравнений.
9. Вопросы
-
Что такое системы одновременных уравнений в экономическом моделировании? Приведите примеры таких систем.
-
В чем различие структурной и приведенной форм экономических моделей? В чем смысл перехода от структурной к приведенной форме в эконометрике?
-
Как оценить параметры приведенной формы экономической модели? В каких случаях по ним можно рассчитать параметры структурной формы? В чем состоит проблема идентификации в эконометрике и в каких случаях она разрешима?
-
В чем заключается двухшаговый МНК? В каких случаях он применяется?
-
В чем заключается трехшаговый МНК? В каких случаях он применяется?
* дополнительный материал