Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

Скорость т. A в переносном движении это скорость ~ve, которую имела бы точка A, если бы в этот момент она ½примерзла\ бы к системе OX1X2X3 и двигалась бы вместе с ней. Другими словами, это скорость той точки системы OX1X2X3, с которой в данный момент совпадает м.т. A: Чтобы найти скорость ~ve; нужно продифференцировать радиус-вектор ~r 0 = ~rO + ~r по времени, считая координаты x; y; z м.т. A от времени не зависящими:

При выводе этой формулы использовали равенство (2.80). Сравнивая формулы (2.88-2.90), устанавливаем, что

абсолютная скорость м.т. равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

П р и м е р 49. Дощечка AB длины ` скользит своими концами по сторонам прямого угла в плоскости O0X0Y 0 так, что конец A движется с постоянной скоростью ~u (рис. 68).

По дощечке движется точка M с постоянной относительной скоростью ~v (v < u). Определить переносную ~ve и абсолютную ~va скорости т. M в зависимости от времени, если в начальный момент времени AM = 0 и O0A = `.

Решение. Выразим координаты т. M в неподвижной системе координат O0X0Y 0 (см. рис. 68). Так как конец дощечки A движется равномерно вдоль оси O0Y 0, то закон движения т. A выглядит так:

x0A = 0; yA0 = ` ut; t < `=u:

Тогда координаты второго конца дощечки

q p

x0B = ` 2 yA0 2 = 2`ut u2t2; yB0 = 0:

За время t м.т. M пройдет вдоль дощечки путь s = vt:

Для проекций абсолютной скорости ~va = ~ve + ~vr имеем

vut(3` 2ut) vax0 = vex0 + vrx0 = `p2`ut u2t2 ;

vay0 = vey0 + vry0 = 2vut `(v + u) :

`

Точно такой же результат для абсолютной скорости получится, если дифференцировать x0M è yM0 по времени, считая при этом величину s не постоянной, а переменной, зависящей от времени по закону s = vt.

которое с помощью подстановки x = y (y) приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

124 Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

Интегрируя находим

ln j + p 2 + 1j = uv ln jyj + ln C;

откуда

= C2 y2 ; 2Cy

ãäå = u=v:

Следовательно,

C2 y2 x = 2Cy 1 :

В начальный момент времени x = 0 и y = `: Поэтому постоянная интегрирования C = ` : Окончательно имеем

Если 1 > 0; т.е. v > u; то траектория x = x(y) проходит через точку (0; 0); и м.т. A достигнет противоположного берега в точке O: Если 1 = 0; т.е. v = u; то при y = 0 x = `=2: Наконец, если 1 < 0; т.е. v < u; то x ! 1 при y ! 0:

П р и м е р 51. М.т. A движется в системе OXY Z по закону

где t выражается в секундах. Найти модуль абсолютной скорости т. A va в момент времени t = 3 =4 с, если система OXY Z движется относительно неподвижной системы O0X0Y 0Z0 поступательно по закону

~rO = 3t ~ex0 + 4~ey0 ì

и вращается вокруг оси OX; остающейся все время параллельной оси O0X0; с угловой скоростью

Решение. Для абсолютной скорости ~va по формулам (2.90) и (2.91) можем записать

~va = ~vO + !~ ~r + ~vr :

Относительное движение м.т. A: происходит по окружности

(y 3)2 + (z 3)2 = 9

Вектор (!~ ~r) перпендикулярен угловой скорости !~ и радиус-вектору м.т. ~r в системе OXY Z; т.е. он лежит в плоскости OXY; как и вектор ~vr :

Система OXY Z движется поступательно со скоростью

~vO = ~r_O = 3~ex0 = 3~ex:

Для момента времени t = 34 имеем

~vr = 2~ez ; !~ ~r = 3~ey + 6~ez ; ~vO = 3~ex;

и модуль абсолютной скорости равен

qp

j~vaj = vax2 + vay2 + vaz2 = 34 ì/ñ:

5.5. Сложение ускорений. Найдем ускорение ~aa м.т. в неподвижной системе отсчета O0X10 X20 X30 (это ускорение называется абсолютным), если известны ускорение м.т. ~ar в системе OX1X2X3 (оно называется относительным) и закон движения системы OX1X2X3 относительно системы O0X10 X20 X30 .

128 Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

ускорение по правилам кинематики точки как ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.

!~

Z0

Ðèñ. 71

П р и м е р 52. Шар радиуса R вращается вокруг оси OA (рис. 71) по закону ' = '(t): Вдоль меридиана AB из полюса A движется точка M по закону s = s(t): Найти абсолютные скорость va и ускорение aa точки в произвольный момент времени t:

Решение. Начало отсчета O движущейся и неподвижной систем координат совместим с центром шара, а оси Z и Z 0 направим по вектору угловой скорости !:~ Ось X движущейся системы координат проведем через т. B меридиана AB на поверхности шара.

Вследствие данного выбора систем координат м.т. M все время движется в плоскости ZOX: Относительная скорость движения м.т. M равна

~vr = s~er ;

ãäå ~er единичный вектор касательной к меридиану AB в точ-

êå M (ñì. ðèñ. 72).

Относительное ускорение ~ar вычисляем как сумму его касательной и нормальной составляющих:

Переносную скорость ~ve найдем как скорость той точки движущейся системы отсчета (поверхности), с которой в данный момент совпадает м.т. M: Так как точки поверхности вращаются по окружностям вокруг оси OZ 0, òî

~ve = !h~ee ;

ãäå

Переносное ускорение ~ae разлагаем на две составляющие: ~ae вдоль ~ve è ~aen по нормали к траектории переносного

130 Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

~een единичный вектор в направлении от M к центру L окружности CM D:

По формуле (2.97) вычислим кориолисово ускорение:

Векторы ~er ; ~ern; ~ee образуют ортонормированный базис. Используя разложение вектора ~va в этом базисе

Учитывая, что ~een = sin ~ern cos ~er ; для модуля абсолютного ускорения имеем

единичные векторы ~er , ~ern, ~ee , ~een через базисные векторы указанных систем координат.