Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сыктывкарский Государственный Университет им. Питирима Сорокина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Зад лин прогр и мет их решения 16 12 08

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

7.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

160

Следовательно, среди решений этой задачи могут быть и полностью целочисленные, и, если они существуют, то при полном переборе решений мы обязательно их найдем и выберем наилучшее. Базисность целочисленного решения рассматривается в[22].

Добавление одного дополнительного условия, увеличивает размерность решаемой задачи на единицу. Т.е. размерность задачи уже не m , как было раньше, а m +1. Также, при решении этой задачи с помощью МСМ добавится еще одна переменная x[n +1] с

нулевым коэффициентом в целевой функции и один «пустой» способ раскроя rn+1 = A[M,n +1] = (0,0,...,0,−1).

Таким образом, приходим к следующей расширенной задаче линейного

программирования
f (x[N]) = 1[N] x[N] → min
		0
	A
	A
			x[N,{n +1}]	= b[M ]
		0
		0
	1
1	1	−1

X[N] ≥ 0[N]

Среди решений этой задачи, необходимо найти то, которое дает самое вырожденное решение исходной целочисленной задачи.

Рациональная загрузка ПРС

Постановка задачи

Форматный раскрой бумажного полотна, осуществляется на продольно-резательных станках (ПРС), которые могут иметь различные технические характеристики (основными из которых являются производительность ( m ) и время перенастройки(t )). Пусть буммашину обслуживают два ПРС со следующими характеристиками:

Наименование	Производительность	Время	Время на ремонт
ПРС	Производительность	перенастройки	Время на ремонт
ПРС		перенастройки
ПРС-1	m1	t1	T1

ПРС-2	m2	t2	T2

Необходимо распределить между этими двумя ПРС для разрезания S съемов, среди которых имеется R различных съемов (равно общему числу перенастроек ПРС). Выбранное распределение съемов между ПРС и условия, которые должны выполняться приведены в таблице

Наим. ПРС	Кол-во съемов	Кол-во	Общее время
		перенастроек			работы

ПРС-1	x	u	t(1)	=		x		+ ut	+T

			p			m1	1		1


ПРС-2	y	v	t(p2)	=		y		+ vt2 +T2
						m2


Условия	x + y = S	u + v = R < 2M	t(p1)	− t(p2)			→ min (*)

161

Покажем, что минимум в (*) равен нулю и достигается при t(p1) = t(p2) = T0 . Для простоты, будем считать, что T1 = T2 = 0 . При уменьшении t(p1) за счет уменьшения x , величина y на столько же увеличится, и может (не обязательно) увеличиться v. Следовательно, увеличится и t(p2) , и станет больше T0 . При уменьшении t(p1) за счет изменения u , t(p2)

увеличится за счет увеличения хотя бы на один съем y ( v может и не увеличиться, если такой съем режется и на 2-м ПРС). Таким образом, при выполнении условия t(p1) = t(p2) = T0

минимум в (*) равен нулю.

Подсчитаем распределение отрезаемых съемов между ПРС в частном случае, когда все съемы различны и имеются в одном экземпляре. Тогда:

1). x + y = S ; 2). u + v = R ; 3). S = R ; 4). u = x, v = y

5).

+ x t =

S − x

+ (S − x) t

Откуда

+ t2

(*)

t1 +

= S − x =

+ t2

Время работы обоих ПРС

(1)

= t

(2)

+ t

Отношение отрезаемых съемов и числа перенастроек

≈

t1 + m

Алгоритм решения задачи

Итак, пусть имеются два станка, на которых обрабатываются n различных типов деталей (раскладок) в количестве S = α[N] 1[N] ( N = n) штук съемов. Время обработки деталей на станках пропорционально их (деталей) количеству ( x t1 и y t2 соответственно). Время перенастройки станков на обработку деталей другого типа линейно зависит от количества деталей разных типов, обрабатываемых на станке (u τ1 и v τ2 соответственно).

Напомним, что требуется найти загрузку станков, дающую минимум модуля разности общего времени работы ПРС-1 и ПРС-2, т.е.

162

t(1)

− t(2)

→ min

t(1)

= t x + u τ

t(2) = t

y + v τ

x + y = S

u + v = R (≤ 2n)

Заметим, что суммарное количество

перенастроек R

есть

величина переменная,

зависящая от конкретного

распределения

деталей

между ПРС

структуры вектора

α[N]

Пусть

t(1)

= t

+ u

t(2) = t

(S − x ) + v τ

Если

t(1)

> t

(2) , передаем одну

p(0)

деталь с первого станка на второй. Тогда f

уменьшается на величину

f = f0 − f1 = 0 − 1 = t1 + t2 + q1 τ1 + q2 τ2

где

t(1)

− t

(2)

f =

t(1)

− t

(2)

p(0)

p(1)

1, q1 = 0,

1, q2 = 0,

Передаваемая деталь была последней из деталей данного типа else

Передаваемая деталь была первой из деталей данного типа на else

		0
				t(1)
				p(0)
	1	τ	1	t1
	1
t2		τ 2
		t(2)
0		p(0)
0

Процесс можно продолжить до максимального уравнивания t(p1()k) и t(p2()k) .

Очевидно, в близком к оптимальному решении, соотношение между общим временем
резания ( x t1 и y t2 ) и общим временем перенастройки (u τ1 и	v τ2 ) может быть
различным. Будем искать «социально-справедливый» рациональный	вариант загрузки

ПРС, при котором

f =	t(1)	− t(2)	→ min
	p	p
t1 x ≈ t2 y			(*)
u τ1 ≈ v τ2			(**)

Т.е. общее время резания и общее время перенастройки для обоих станков примерно одинаково.

Упорядочим детали по убыванию их кратностей

α[1] ≥ α[2] ≥ …≥ α[n −1] ≥ α[n],

163

и начнем работу алгоритма с варианта «ноль-всё» (все детали обрабатываются на одном из станков). Теперь перебрасываем детали с небольшими кратностями (сначала с единичными) из нижней части списка деталей. Это обеспечивает большие значения скачка целевой функции f . Когда в (**) левая и правая части станут примерно одинаковыми, начинаем перебрасывать детали с большими кратностями (из верхней части списка деталей). Теперь (**) не изменяется, а обе части в (*) подравниваются.

В соответствие с описанным алгоритмом рассчитан нижеследующий пример:

ПРИМЕР 1.

Рассмотрим оптимальные раскладки (номер раскладки и количество вырезаемых съемов по ней см. столбцы 12 и 13) по заявке 034 от 27.09.04 БМ21, подлежащие распределению между ПРС-1 и ПРС-7.

Всего съемов: S=126
Различных раскладок: n=31
ПРС-1: t1 = 2t,						τ1 =10
ПРС-7: t2 = t, τ1 = 4
1			2	3	4		5	6		7		8	9	10			12		13
	n		i	x	u		Δt		Tпрс1	y		v	Δt		Tпрс1	Δtпрс
1			31	1	1		2t+10		2t+10*1	125		30	-(t+4)		125t+30*4	123t+110	1		32
	2		30	2	2		2t+10		4t+10*2	124		29	-(t+4)		124t+29*4	120t+96		2		15
	2		30	2	2		2t+10		4t+10*2	124		29	-(t+4)		124t+29*4	120t+96		2		15
3			29	3	3		2t+10		6t+10*3	123		28	-(t+4)		123t+28*4	117t+82	3		10
.			…	.	.		…		…	…		…	…		…	…
8			24	8	8		2t+10		16t+80	118		23	-(t+4)		118t+92	102t+12	5		7
9			1	9	9		2t+10		18t+90	117		23	-(t+4)		117t+92	99t+2	6		6
10			1	10	9		2t		20t+90	116		23	-t		116t+92	96t+2	7		5
		.	…	.	.		…		…	…	…		…		…	…
39			1	39	9		2t		78t+90	87		23	-t		87t+92	9t+2	8		5
40			1	40	9		2t		80t+90	86		22	-(t+4)		86t+88	6t-2	9		4
41			2	41	10		2t+10		82t+100	85		22	-t		85t+88	3t-12	10		4
42			2	42	10		2t		84t+100	84		22	-t		84t+88	-12	11		3
43			2	43	10		2t		86t+100	83		22	-t		83t+88	-3t-12	12		3
44			31	42	9		-2t-10		84t+90	84		23	t+4		84t+92	2	13		2
																		14		2
																		14		2
			42 съема 9 перенастроек									84 съема 23 перенастройки					15		2
			30	1						2		12					16		2
			29	1						3		10					17		1
			…	…						4		9						…		…
			24	1						5		7					31		1
			1	32						6		6
			1	32						6		6
			2	3						7		5
				tпрс1=84t+90						Δtпрс=2					tпрс7=84t+92
										8		5
										9		4
										10		4
										11		3
										11		3
										12		3
										12		3
										13		2

					164

		14				2
		15				2
		16				2
		16				2
		17				1
		…				…
		23				1
		23				1
		31				1
		31				1
Следует отметить одну особенность. Соотношения
	x ≈			1		= m1						Отношение
					t1							Отношение
					t1							производительностей
	y			1	t2			m2				производительностей
	y			1				m2				резания
												резания
	u	≈	τ	2	=		1τ		1	=	r	Отношение
				2					1		1	производительностей
	v		τ1				1τ2				r2

												перенастроек

выполняются тем точнее, чем меньше величина f

Последовательность перестановки ножей при перенастройке ПРС

Постановка задачи

Пусть имеется оптимальное целочисленное решение ЗЛР, которое характеризуется матрицей используемых раскроев (раскладок) A[M , N']. При переходе от использования одной раскладки к другой необходимо перенастроить ПРС, переставив ножи в соответствии с новой раскладкой. Возникает следующая задача о минимизации суммарных перестановок ножей: требуется расположить столбцы матрицы A[M , N'] в таком порядке (выбрать такую последовательность их использования), чтобы суммарное количество перестановок ножей при перенастройках ПРС было бы минимальным.

Рассмотрим на примере, как изменяется количество перестановок ножей при переходе от раскроя к раскрою, когда они расположены в лексикографическом порядке

ПРИМЕР 1: m = 4 L =12,							l = (6,4,3,2),								b = (10,15,20,30)

		1			2			3		4		5		6		7		8		9		10		11
	2			1				1		1	0		0		0		0			0	0		0

	0			1				0		0	3		2		1		1			0	0		0

	0			0				2		0	0		0		2		0			4	2		0
	0			1				0		3	0		2		1		4			0	3		6

Приведены только безотходные раскладки
				2		0		0		0											0		0		0
				2		0		0		0							1 2				0		0		0

N ' = {1,5,9,11}, A[M , N '] =			0			3		0		0	,		B[N ', M ] =							0	1 3		0		0	, x[N '] = (5,5,5,5)
			0			0			4 0											0	0		1 4 0

			0			0			0 6										0		0			0 1 6

v[M] = (12,13,14,16), f (x[N ']) =1 5+1 5+1 5+1 5 = 20

165

	20	1	1	1	1

		2	3	4	6
		2	3	4	6
1	5	1	0	0	1

		2
		2
5	5	0	1	0	0

			3
			3
9	5	0	0	1	0

				4
				4
11	5	0	0	1	1

				6	6
				6	6

Текущее базисное решение оптимально.

Сформируем матрицу числа перестановок ножей при переходе от одной раскладки к другой. Для этого графически изобразим матрицу базисных раскроев. Очевидно, что переход от одной перенастройки к другой и обратно является процессом симметричным. Тогда матрица числа перестановок ножей будет следующей симметричной матрицей:

Х	2	2	4
			Х	2	2	4
			2	Х	3	3
			2	3	Х	4
			4	3	4	Х
2	Х	3	3
			Если рассмотреть полный граф		M, N , где		M – множество
			базисных раскроев,	N –	множество		переходов	между
			раскроями (u – перенастройка с раскроя			i(u)	на раскрой	j(u) ).
			Тогда данная матрица будет матрицей длин дуг
			рассматриваемого полного графа.
2	3	Х	4	2	2
			1	2
			1
				2
			4		3
				3
			4	4	3
				4

Таким образом, задача о минимальной суммарной перестановке ножей при перенастройке ПРС сводится к отысканию кратчайшего пути в данном графе, содержащем все его вершины по одному разу, т.е. гамильтонова пути.

166

Алгоритм решения задачи

Сведем задачу о поиске кратчайшего гамильтонова пути в полном графе с m вершинами к задаче о коммивояжере (поиск кратчайшего гамильтонова контура) в полном графе с (m +1) вершинами.

Добавим к построенному полному графу вершину с номером 0 и соединим ее дугами со всеми вершинами исходного графа. Длины все новых дуг возьмем одинаковыми. Тогда в полученном полном неориентированном графе кратчайший гамильтонов контур соответствует кратчайшему гамильтонову пути в исходном графе, если удалить из кратчайшего гамильтонова контура новую вершину 0 с двумя инцидентными ей новыми дугами.

Вернемся к нашему примеру. Преобразуем исходную задачу к задаче о коммивояжере в

0приведенном на рисунке графе. Ему соответствует следующая

				5	матрица путей:
		5		5	матрица путей:
			5	5	Х	5	5	5	5
			5
		1
		1			2
				2	5	Х	2	2	4
					5	Х	2	2	4
	4	2			5	2	Х	3	3
	4
				3
		3			5	2	3	Х	4
4		4		3	5	4	3	4	Х
		4		3

Применим для решения задачи о коммивояжере метод ветвей и границ [9].

	0	1	2	3	4
0	Х	5	5	5	5
1	5	Х	2	2	4
2	5	2	Х	3	3
3	5	2	3	Х	4
4	5	4	3	4	Х

Выполним приведение по строкам

	0	1	2	3	4
0	Х	0	0	0	0	5
1	3	Х	0	0	2	2
2	3	0	Х	1	1	2
3	3	0	1	Х	2	2
4	2	1	0	1	Х	3

и по столбцам

	0	1	2	3	4
0	Х	0	0	0	0	5
1	1	Х	0	0	2	2
2	1	0	Х	1	1	2
3	1	0	1	Х	2	2
4	0	1	0	1	Х	3
	2	0	0	0	0

Сумма приводящих констант		h(1) =16 .
		θ(01)		= θ(02) = θ(03) = 0, θ(04) = 1, θ(12) = θ(13) = 0, θ(21) = 1,
Выберем кандидата на ветвление: θ			(31)	=1, θ	(40)	= 1, θ	(42)	= 0
			(31)		(40)		(42)

maxθ(ij) =θ(04) =1	ω(Y	) = 16 +1 = 17 .

Вычеркиваем нулевую строку и четвертый столбец. Получаем приведенную матрицу

167

	0	1	2	3
1	1	Х	0	0
2	1	0	Х	1
3	1	0	1	Х
4	0	1	0	1

Подсчитаем оценку для текущего решения				(ω(Y) =16 )		и запретим переход,
преждевременно замыкающий цикл	C40	= ∞(×) .
Начинаем новую итерацию и приводим текущую матрицу
	0	1		2	3
1	0		Х	0	0	0
2	0		0	Х	1	0
3	0		0	1	Х	0
4	Х		1	0	1	0
	1		0	0	0

h(2) = 1 maxθ(ij) = θ(13) = 1 ω(Y ) = 17 +1 = 18 .

Вычеркиваем первую строку и третий столбец. Получаем приведенную матрицу

	1	2
2	0	Х	0
3	0	1	0

1 0 0

ω(Y) = 16 . Запрещаем переход C31 = ∞(×).

Новая итерация. h(3) = 0	maxθ(ij) = θ(42)	= 2
Новая итерация. h(3) = 0	maxθ(ij) = θ(42)	= 2		ω(Y		) = 18 + 2 = 20.
Вычеркиваем строку 4 и столбец 2
			0	1
2			0		0
3			0			Х

Остается матрица 2× 2 , в которой возможны только переходы (3,0) и (2,1). Проверка на оптимальность показывает, что ω(Y) ≤ ω(Y ) для любого Y . Значит получен кратчайший гамильтонов контур длиной 18 0 → 4 → 2 →1→ 3 → 0 .

Удаляя из него вершину 0 вместе с инцидентными ей дугами (0,4) и (3,0), получаем искомый кратчайший гамильтонов путь 4 → 2 →1→ 3 длиной 8.

Таким образом, для вырезания всех необходимых форматов требуется четыре раза перенастроить ПРС. При этом нужно восемь раз переставить ножи на ПРС.

Следует отметить, что лексикографическое упорядочение форматов в раскладке само по себе не обеспечивает минимальности перестановок ножей при переходе от раскладки к раскладке. Это подтверждается следующим примером:

m = 3, L = 10, l = (4,3,2) .

	168
Рассмотрим раскладки R1 = (2,0,1)	и	R2 = (0,3,0) . При лексикографическом
упорядочении длин для перехода от R1 к	R2	требуется три перестановки ножей, а если

заготовку длины 2 расположить между заготовками длины 4, то перестановок будет 2.

	3		3		Это	означает,		что	и
4		4			гамильтонов			контур


	3 три перестановки	2	3	две перестановки	минимальной		длины		для
4
						лексикографически
	3		3
		4			упорядоченных			раскладок
2
	1		1

					будет	давать		только
некоторое субоптимальное решение. Будем в дальнейшем различать понятия "раскладка"
(способ раскроя) и "расстановка ножей в раскладке". Одной раскладке может
соответствовать несколько		расстановок	ножей, её реализующих. Так раскладке						R1 из
нашего примера соответствуют три способа расстановки ножей.

А, если учесть симметрию, то две (последняя расстановка ножей симметрична первой).

ПРИМЕР 1: m = 3 L = 26,				l = (9,6,4),							b = (90,90,90)

		1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
	2		2		1		1		1		0		0		0		0		0

	1		0		2		1		0		4		3		2		1		0

	0		2		1		2		4		0		2		3		5		6
		2		0		1		3		1		2		0		2		0		2

Приведены только технологичные раскладки

	2		0	0
N ' = {2,7,9}, A[M , N '] =	0		3	1	– оптимальная базисная матрица.

		2	2	5

Рассмотрим в каждом способе раскроя все расстановки ножей (с учетом симметрии)

2						7

2	9	9	4	4	21	0	6	6	6	4	4	71

0	9	4	9	4	22	3	6	6	4	6	4	72

2	9	4	4	9	23	2	6	6	4	4	6	73

	4	9	9	4	24		6	4	6	6	4	74

							6	4	6	4	6	75

							4	6	6	6	4	76

9
	6	4	4	4	4	4	91
0

	4	6	4	4	4	4	92
1

	4	4	6	4	4	4	93
5

169

Плоская развертка графа перестановок ножей при переходе от расстановки к расстановке приведен на рисунке ниже. Для минимизации общего числа перестановок необходимо в данном графе найти гамильтонов путь наименьшей длины (длина дуги здесь – число перестановок ножей при переходе от одной расстановке к другой).

21	3	71	3	91
21	4	71		91
	3
	3		3
	3		3
22	3	72	4	92
22	3	72	4	92
	3

23	4	73	5	93
23	4	73	5	93
	4
	3		2
24	3	74	3
24	4	74	4
	3
	4		3
	4		3
	4		4
	4		4
	4	75	5
	4	75	5

2	76	3
	76

На рисунке выделены два оптимальных решения.

21↔ 71↔ 91							24 ↔ 76 ↔ 92

	9		9		4	4		4	9		9		4
	4 перест.							4 перест
	6	6		6	4	4		4	6	6		6	4

	6	4	4	4	4	4		4	6	4	4	4	4

Эскиз пространственного представления графа расстановок ножей для четырех оптимальных раскладок может быть представлен в следующем виде:

D1	C1

Dq	Cp

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025114.69 Кб1Ермолаева Основы возр психол - Младенческий воз...doc
#
01.04.2025152.06 Кб0Ермолаева Основы возр психол - Младший школьник...doc
#
01.04.2025240.64 Кб3Ермолаева Основы возр психол - Подросток.doc
#
01.04.202591.74 Кб0жолковская семинар10, 11.docx
#
26.09.2019454.66 Кб56Загайнов Рудольф Максимович Психологическое мас...doc
#
29.03.20167.61 Mб30Зад лин прогр и мет их решения 16 12 08.pdf
#
01.05.2025198.14 Кб0Задания для практических занятий.doc
#
29.03.2016470.27 Кб27Задания для самостоятельной работы.pdf
#
28.03.201646.84 Кб29Задания о выпуске продукции при ограниченных ресурсах.docx
#
01.05.202561.67 Кб0Задача инвестиции 5 вариант.docx
#
01.07.202563.09 Кб0задачи и тесты для студентов.docx

2						7

2	9	9	4	4	21	0	6	6	6	4	4	71

0	9	4	9	4	22	3	6	6	4	6	4	72

2	9	4	4	9	23	2	6	6	4	4	6	73

	4	9	9	4	24		6	4	6	6	4	74

							6	4	6	4	6	75

							4	6	6	6	4	76

2						7

2	9	9	4	4	21	0	6	6	6	4	4	71

0	9	4	9	4	22	3	6	6	4	6	4	72

2	9	4	4	9	23	2	6	6	4	4	6	73

	4	9	9	4	24		6	4	6	6	4	74

							6	4	6	4	6	75

							4	6	6	6	4	76

2						7

2	9	9	4	4	21	0	6	6	6	4	4	71

0	9	4	9	4	22	3	6	6	4	6	4	72

2	9	4	4	9	23	2	6	6	4	4	6	73

	4	9	9	4	24		6	4	6	6	4	74

							6	4	6	4	6	75

							4	6	6	6	4	76