•а3 – остаток от деления на 5 номера в алфавите первой буквы отчества;

•а4 – остаток от деления на 5 года рождения.

Для удобства приводим алфавит:

Обращаем ваше внимание на то, что должны получиться целые числа от 0 до 4 -х. Перед решением следует переписать задачи с подставленными в них числами.

1.Из колоды карт (36) наудачу вынимаются 6 карт. Какова вероятность того, что среди этих 6-ти карт окажутся: 1) a1 дам и a2 кор о- лей; 2) не более (a3+1) тузов.

2.В первой урне (а1+2) белых шариков и (а2+1) черных. Во второй – (а3+1) белых, (а4+3) черных и (а4+1) синих. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают 2 шарика. Затем из второй урны наудачу вынимают один шарик. Какова вероятность того, что он белый?

2.Повторные независимые испытания

2.1.Формула Бернулли

Проводится серия из независимых испытаний при одном и том же комплексе условий, в каждом испытании некоторое событие может произойти с вероятностью. Тогда вероятность того, что событие произойдет ровно раз в испытаниях, вычисляется по следующей

формуле Бернулли:

. (2.1)

24

,

.

Подставляя в последнее неравенство соотношения (2.1) и учитывая формулу для вычисления числа сочетаний, можно найти, что

Заметим, что длина интервала равна, поэтому всегда существует целое число, удовлетворяющее условию (2.2). При этом если является целым числом, то наивероятнейших числа два: и.

Пример 2.1. Играется матч между шахматистами X и Y. Вероятность того, что шахматист X выиграет каждую отдельную партию, равна , вероятность выигрыша партии шахматистом Y равна . Предполагается, что ничьих партий не бывает, т.е. если они происходят, то не учитываются. Матч состоит из 6 партий. Требуется определить:

1)вероятность выигрыша матча шахматистом X;

2)вероятность ничейного исхода;

3)вероятность выигрыша шахматистом Y;

4)наивероятнейшее число выигрышей шахматиста X.

Далее по формуле (2.1) последовательно находим, что

25

Таким образом, вероятность того, что X выиграет матч, равна

2)Ничья происходит при счете «3–3», т.е.

3)Вероятность выигрыша матча Y равна

4)Из неравенства (2.2) последовательно находим

2.2. Формула Пуассона

При больших вычисление по формуле Бернулли становится технически сложным. Например, если требуется найти вероятность того, что «орел» выпадет 300 раз при 500 подбрасываниях монеты, то согласно формуле (2.1) необходимо найти значение следующего выражения:

Поэтому при больших используют формулы для приближенных вычислений. Если при большом числе испытаний вероятность появления события А в одном опыте мала, а произведение сохраняет постоянное значение для разных серий опытов (т.е. среднее

26

число появлений события А в разных сериях испытаний остается неизменным), то используется формула Пуассона

Значения функции можно найти непосредственно по формуле (2.3) или по таблице, приведенной в приложении 1.

Пример 2.2. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию задачи имеем

Поэтому в соответствии с формулой (2.3) получим

■

2.3. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

Если вероятность отлична от 0 и 1, значение велико, при этом величина , то вместо формулы (2.1) удобно воспользоваться следующей локальной формулой Муавра-Лапласа:

(2.4)

Здесь – функция Гаусса,.

Для определения значений функции можно воспользоваться таблицей приложения 2. Полезными при расчетах являются следующие свойства функции Гаусса:

1.Функция является четной, т.е..

2.Функция монотонно убывает к 0, т.е. При этом можно считать, что

Пример 2.3. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. В условиях формулы (2.4) имеем

27

Вычислим значение:

Подставляем полученные значения в соотношение (2.3) и получим

■

Если в условиях примера 2.3 требуется найти вероятность того, что количество деталей отличного качества находится в диапазоне от 280 до 350 включительно, то данная вероятность по теореме сложения находится по формуле

где значение каждого слагаемого определяется по формуле (2.4). Недостатком такого способа является большое количество слагаемых. Более рациональным является использование интегральной формулы Муав-

ра-Лапласа

(2.5)

Здесь – функция Лапласа,

По формуле (2.5) вычисляется вероятность того, что число наступления некоторого события заключено в пределах от до включительно, если вероятность наступления события в каждом испытании постоянная и отлична от 0 и 1.

Для определения значений функции можно воспользоваться таблицей приложения 3. Полезными при расчетах являются следующие свойства функции Лапласа:

1) Функция является нечетной, т.е. .

28