Минобрнауки России
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» (ФГБОУ ВО «СГУ им. Питирима Сорокина»)
Л.Н. Губарь, А.В. Ермоленко
Теория вероятностей и математическая статистика
Учебное пособие
Рекомендовано УМО по математике педвузов и университетов Волго-Вятского региона в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
Сыктывкар Издательство СГУ имени Питирима Сорокина
2015
УДК 519.2 ББК 22.171: 22.172
Г93
Печатается по постановлению научно-методического совета ФГБОУ ВО «СГУ имени Питирима Сорокина»
Рецензенты: С.Л. Садов, кандидат физико-математических наук, доктор экономических наук, ведущий научный сотрудник Института социальноэкономических и энергетических проблем Севера Коми НЦ УрО РАН;
Кафедра информационных систем математики и естественно-научных дисциплин Коми республиканской академии государственной службы и управления.
Губарь, Л. Н., Ермоленко А.В.
Г93 Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие / Л. Н. Губарь, А. В. Ермоленко. – Сыктывкар: Изд-во СГУ имени Питирима Сорокина, 2015. – 120 с.
ISBN 978-5-906810-13-7
В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы. Представлены решения типовых задач, имеется подборка задач для самостоятельной работы и практических занятий. К некоторым задачам приведены ответы и указания по их выполнению. Имеются варианты для выполнения контрольных работ. Материалы соответствуют федеральным государственным образовательным стандартам высшего образования для экономических специальностей.
Предназначено для обучающихся ссузов, вузов, аспирантов и преподавателей экономических и смежных специальностей, а также для слушателей заочного и дистанционного обучения, может быть полезно лицам, применяющим вероятностные методы при решении практических задач.
|
УДК 519.2 |
|
ББК 22.171: 22.172 |
ISBN 978-5-906810-13-7 |
© Губарь Л.Н., Ермоленко А.В., 2015 |
|
© ФГБОУ ВО «СГУ имени Питирима Соро- |
|
кина», 2015 |
|
2 |
Содержание |
|
1. Основные понятия теории вероятностей........................................................ |
6 |
1.1. События и действия над ними..................................................................... |
6 |
1.2. Определение вероятности............................................................................ |
8 |
1.3. Элементы комбинаторики............................................................................ |
9 |
1.4. Условная вероятность события................................................................. |
12 |
1.5. Вероятность суммы двух событий............................................................ |
14 |
1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса...................................... |
16 |
Упражнения........................................................................................................ |
19 |
2. Повторные независимые испытания............................................................... |
24 |
2.1. Формула Бернулли...................................................................................... |
24 |
2.2. Формула Пуассона...................................................................................... |
26 |
2.3. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа........................... |
27 |
2.4. Полиномиальная схема............................................................................... |
29 |
Упражнения........................................................................................................ |
29 |
3. Случайные величины........................................................................................ |
33 |
3.1. Закон распределения случайной величины.............................................. |
33 |
3.2. Математические операции над случайными величинами...................... |
34 |
3.3. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной |
|
величины............................................................................................................. |
36 |
3.4. Функция распределения случайной величины........................................ |
38 |
3.5. Непрерывные случайные величины.......................................................... |
39 |
Упражнения........................................................................................................ |
42 |
4. Основные законы распределения.................................................................... |
46 |
4.1. Биномиальное распределение.................................................................... |
46 |
4.2. Закон распределения Пуассона ................................................................. |
47 |
4.3. Равномерный закон распределения........................................................... |
47 |
4.4. Показательный закон распределения........................................................ |
48 |
4.5. Нормальный закон распределения............................................................ |
48 |
Упражнения........................................................................................................ |
50 |
5. Закон больших чисел и предельные теоремы................................................ |
51 |
5.1. Неравенство Маркова................................................................................. |
51 |
5.2. Неравенство Чебышева .............................................................................. |
52 |
3 |
|
5.3. Теорема Чебышева...................................................................................... |
53 |
5.4. Центральная предельная теорема.............................................................. |
54 |
Упражнения ........................................................................................................ |
55 |
6. Однородные цепи Маркова.............................................................................. |
57 |
Упражнения ........................................................................................................ |
59 |
7. Занимательная теория вероятностей............................................................... |
60 |
7.1. Занимательные задачи................................................................................ |
60 |
7.2. Парадоксы теории вероятностей............................................................... |
61 |
Упражнения ........................................................................................................ |
63 |
8. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная |
|
совокупность.......................................................................................................... |
64 |
9. Статистическое распределение выборки........................................................ |
67 |
Упражнения ........................................................................................................ |
69 |
10. Графическое представление статистической совокупности....................... |
70 |
Упражнения ........................................................................................................ |
74 |
11. Статистические оценки параметров распределения.................................... |
75 |
11.1. Точечные оценки....................................................................................... |
75 |
Упражнения ........................................................................................................ |
78 |
11.2. Интервальные оценки............................................................................... |
79 |
Упражнения ........................................................................................................ |
82 |
12. Метод произведений вычисления выборочных характеристик................. |
83 |
Упражнения ........................................................................................................ |
89 |
13. Статистическая проверка гипотез о вероятностях, средних, дисперсиях.
Критерий согласия Пирсона................................................................................ |
90 |
Упражнения ........................................................................................................ |
98 |
14. Регрессия и корреляция................................................................................ |
100 |
14.1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости... |
100 |
14.2. Линейная модель парной регрессии...................................................... |
102 |
14.3. Корреляционная таблица. Коэффициент корреляции......................... |
103 |
Упражнения ...................................................................................................... |
107 |
Домашняя контрольная работа.......................................................................... |
110 |
Библиографический список................................................................................ |
112 |
Приложения. Математико-статистические таблицы....................................... |
113 |
4 |
|
Введение
Авторы учебного пособия в течение ряда лет ведут дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика» в Сыктывкарском государственном университете на нематематических направлениях. Практика показала, что дисциплины, связанные с математикой, вызывают затруднение. Это выражается в том, что задачи, вызывающие улыбки у старшего поколения, требуют значительных усилий у нынешних студентов. В связи с этим была поставлена цель – максимально просто объяснить содержание курса «Теория вероятностей и математическая статистика».
Учебное пособие самодостаточно – содержит необходимые теоретические сведения, примеры разбора задач, контрольные задания. Поэтому может оказаться полезным для работы со студентами как дневного, так и заочного отделения.
Содержание пособия ориентировано в первую очередь на студентов экономических направлений. Однако пособие может быть использовано и при проведении практических занятий со студентами математических направлений.
В пособии также приведены занимательные задачи и парадоксы теории вероятностей [4, 12], которые могут вызвать интерес к дисциплине.
При подготовке заданий для практических работ использованы материалы известных учебников и учебных пособий Е.С. Вентцель [3], Н.Ш. Кремера [10], Г.И. Агапова [1], В.Е. Гмурмана [5, 6], а также м е- тодических указаний [2], разработанных на кафедре математического моделирования и кибернетики.
5