6.3. Выбор формулы средней

Выбор формулы уравнения средней предполагает следующие этапы:

1. Экономическое содержание определяемого показателя и методика его расчета.

2. Вычисление любой средней величины таким оюразом, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменилась величина некоторого итогового определяющего показателя, который связан с осредняемым признаком. Например, при замене фактической заработной платы на среднюю величину не должен меняться фонд оплаты труда: _

 x_i * f_i=x *  f_{i .}

3. Математическое выражение определяющего показателя и замена вариантов осредняемого показателя их средней величиной.

4. Решение уравнения.

6.4. Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, имеющими практическое значение:

• Сумма отклонений отдельных вариант от средней равна 0.

• При умножении или делении всех частот ряда распределения на одно и то же число средняя не меняется.

• Средняя от постоянной величины равна ей самой.

• Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты.

• Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же самую величину.

• Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю в это же число раз.

• Средняя суммы равна сумме средних.

• Сумма квадратов отклонений вариант от средней величины меньше, чем от любой другой величины.

Изложенные свойства средней арифметической позволяют во многих случаях упростить ее расчеты: можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину, разность сократить на общий множитель, а затем исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину.

Формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид:

--

X = m₁ * i + A ,

( x - A ) f

 ----------- * ------

i k

где m₁ = ----------------------------------- ;

f

 ----

k (6.4.1)

m₁ - момент I порядка.

( x - A ) f

 ----------- * ------

--  x_i * f_i i k

X = ------------- = -------------------------------- * i + A = m₁ * i + A,

 f_i f

 ----

k (6.4.2)

где A –середина центрального (при нечетном количестве) интервала или интервала с наибольшей частотой;

i– общее кратное дляx;

k– общее кратное дляf.

Пример:

Зарплата, руб. x	Число работников, чел. f	f / k	x - A / i	(x - A) / i * f/k
600	10	1	- 2	- 2
900	20	2	- 1	- 2
1200	40	4	0	0
1500	10	1	1	1
1800	10	1	2	2
Итого	90	9	0	- 1

k = 10, A = 1200, i = 300.

1 -- 1

m₁ = - ----- Х = - ---- * 300 + 1200 = - 33,3 + 1200 = 1166,6 руб.

9 9

В статистической практике нередко возникает необходимость определения средней для всей совокупности исходя из средних величин для отдельных частей этой совокупности. В этом случае среднюю величину определяем так:

–

--  x_i * f_i

X_общая = ------------ .

 f_i (6.4.3)

11