6.2. Виды средних величин

В статистике применяются различные виды средних величин, которые выводятся из формулы степенной средней:

___________

-- z   X ^z

X =  ----------------

n (6.2.1)

при z= -1средняя гармоническая;

z= 0средняя геометрическая;

z= 1средняя арифметическая;

z= 2средняя квадратическая.

Наиболее простой и распространенной является средняя арифметическая. Она бываетпростая и взвешенная.

Средняя арифметическая простаявычисляется в тех случаях, когда каждое отдельное значение признака встречается один раз.

В общем виде формулу простой арифметической средней можно записать так:

-- x₁ + x₂ + x₃ + … + x_n  x_i

X арифм. = --------------------------------------- = ---------- .

n n (6.2.2)

Пример:

№ рабочего	1	2	3	4	5	6
Заработная плата, руб.	4000	5000	6000	3000	5500	3500

-- 4000 + 5000 + 6000 + 3000 + 5500 + 3500 27000

X арифм. = ----------------------------------------------------- = --------- = 4500 руб.

6 6

Когда значения признака (варианты) встречаются по нескольку раз, применяется средняя арифметическая взвешенная.

-- x₁* f₁ + x₂* f₂ + x₃ * f₃ + … + x_n * f_n  x_i * f_i

X арифм.взвеш = ----------------------------------------------------- = ---------- .

f₁ + f₂ + f₃ + … + f_n  f_i

(6.2.3)

Пример:

Заработная плата, руб. xi	Число рабочих, чел. fi
3000	1
4000	2
5000	3
6000	2

-- 1*3000+2*4000+3*5000+2*6000 38000

X арифм.взвеш.= ------------------------------------------- = ---------- = 4750 руб.

1 + 2 + 3 + 2 8

В интервальном вариационном ряду за значение варьирующего признака принимается центр (середина) интервала. Среднее значение интервала находят как полусумму верхней и нижней границ. Если интервал открытый («до…», «свыше…»), то величиной первого интервала считают величину последующего интервала, а величиной последнего -- величину предыдущего. При этом мы исходим из предложения о равномерности распределения вариант внутри интервалов.

Пример:

Заработная плата, руб. xi	Середина интервала, xi	Число рабочих, чел. fi
до 3000	2000	1
3000 - 5000	4000	2
5000 - 10000	7500	2
свыше 10000	12500	3

-- 1*2000+2*4000+2*7500+3*12500 62500

X арифм.взвеш=--------------------------------------------- = ---------- = 7812,5 руб.

1 + 2 + 2 + 3 8

Естественно, что средняя, рассчитанная по интервальному ряду, будет иметь погрешности от действительной величины. Эта погрешность зависит:

• от числа случаев: чем их больше, тем меньше середина интервала будет отличаться от групповой средней;

• величины интервала: если верхняя граница не очень далеко отстоит от нижней, то и ошибка будет незначительна;

• характера распределения: чем более симметрично распределение, тем меньше ошибка;

• принципа построения интервального ряда: при равных интервалах центр его будет ближе примыкать к средней арифметической по данной группе.

Средняя гармоническая.

--  x_i * f_i  M_i

X гарм. = -------------- = ---------------- .

x_i * f_i 1

 ---------  ---- * M_i (6.2.4)

x_ix_i

Пример:

Заработная плата, руб. xi	Фонд заработной платы, руб. xi * fi
3000	6000
4000	8000
5000	15000
6000	18000

-- 6000 + 8000 + 15000 + 18000 47000

X гарм. = ------------------------------------------------- = ---------- = 4700 руб.

6000 8000 15000 18000 10

------ + ------ + ---------- + ---------

3000 4000 5000 6000

Средняя геометрическая.

_____

-- n 

X геом. =  ПК (см. тему «Ряды динамики»).(6.2.5)

Средняя квадратическая.

________________

 __

--   ( x_i - x )² * f_i

X квадр.=  ----------------------- (см. тему «Показатели вариации»).

 f_i

(6.2.6)

Средняя хронологическая.

Если числовые значения признака (варианты) известны на определенные периоды времени – моменты (cреднегодовая стоимость основных фондов, среднесписочная численность персонала и т.д.), то

-- 1/2*x₁ + x₂ + x₃ + … + 1/2*x_n

X хронол. = ----------------------------------------------- .

n – 1 (6.2.7)

При расчете средних величин появилось понятие “вес”. Всегда ли понятиявесаичастотысовпадают? В предыдущих примерах совпадало. Рассмотрим такой экономический показатель, как уровень рентабельности:

--  Балансовая прибыль

R общая = -------------------------------------------------------------------------------- .

 Основные фонды +  Нормируемые оборотные средства

В качестве веса будет выступать стоимость основных производственных фондов и нормируемых оборотных средств, то есть понятие весаичастотыне всегда совпадают.

На практике из массы признаков необходимо выбрать один, который следует использовать в качестве веса. Выбор веса не следует понимать так, что всякий раз может быть несколько вариантов взвешивания. Вопрос должен быть решен таким образом, чтобы в результате взвешивания был бы обеспечен возврат к тем величинам, которые играли роль числителя при исчислении средней величины. Следовательно, при взвешивании средних величин в качестве весов должен быть взят знаменатель дроби, ибо только при умножении на то, на что раньше делили, мы вернемся к первоначальной величине.