Производные потенциала силы тяжести

В практике геологической интерпретации гравиметрических данных кроме силы тяжести используются первые и вторые производные потенциала (реже третьи производные) по трем координатным осям:

; ;

Если ось направить к центру Земли, то

, .

Из шести вторых производных гравитационного потенциала по координатам - это

; ;;;.

обозначаемыx соответственно.

Одни из всех перечисленных величин измеряются, другие - вычисляются. На­п­ример, значение потенциала может быть найдено только вычислительным путем, прибора для инструментального определения не существует. Из первых производных наиболее просто измеряется - вертикальная составляющая. Из вторых производных - гравитационным вариометром определяются все указанные шесть производных, градиентометром - лишь и - горизонтальные составляющие градиента силы тяжести.

Единицей измерения будет отношение - первой производной и– второй производной или этвеш, равный: 1Е=1 10^-9 с^-2 - он соответствует изменению силы тяжести в 0,1на 1 км, названный в честь изобретателя вариометрического метода венгерского геофизика Р.Этвеша (1849-1919).

Возвращаясь к производным. Измеренные значения вторых производных являются их абсолютными значениями в точке наблюдений, принимаемой за начало прямоугольной системы координат. При этом координатные оси размещаются следующим образом. Ось направлена по отвесу, т.е. совпадает с внутренней нормалью к уровенной поверхности, проходящей через точку наблюдения, осиирасполагаются в плоскости, касательной к уровенной поверхности. Осьнаправлена на истинный юг.

При таком расположении осей, имея в виду, что

.

Таким образом, вторые производные являются градиентами силы тяжести по соответствующим осям. Кроме того, производныеназываются горизонтальными градиентами силы тяжести, а -вертикальным градиентом.

Каков физический смысл вторых производных? Все они указывают на скорость изменения силы тяжести по осям .

Остальные три вторых производных - они характеризуют кривизну уровенной поверхности геоида, которую изучают в геодезической гравиметрии. Горизонтальные производныеиобычно представляют в виде векторов направленных по координатным осям (см. рис). Геометрическую сумму этих векторов определяет, называемый полным горизонтальным градиентом силы тяжести. Направление и величина вектораопределяется равенством:

;

.

Нормальное значение силы тяжести

Значения силы тяжести выражаются в зависимости от точности наблюдений. Поэтому при изучении изменений гравитационного поля, обусловленных геологическим строением местности, представляется рациональным исключать из наблюденных величин притяжение земного сфероида и действие центробежной силы. Общее действие этих фактов вычисляется по так называемой нормальной формуле.

Если прижать Землю за сфероид, то можно получить следующую формулу для вычисления нормального значения силы тяжести:

,

где - среднее значение силы тяжести на экваторе,

- широта пункта наблюдения,

- коэффициент, зависящий от угловой скорости вращения и сжатия сфероида.

Однако, Земля наша не сфероид, а геоид. Поэтому, наиболее близка поверхность геоида к эллипсоиду вращения. И тогда общая формула нормального значения силы тяжести для эллипсоида будет иметь следующий вид:

где и- географическая широта и долгота точки наблюдения

, ,- коэффициенты, зависящие от формы Земли и ее угловой скорости вращения

Измерив в нескольких точках и знаяи, можно определить неизвестные коэффициенты. Общепринятой на сегодняшний день являетсянормальная формула Гельмерта, названная в честь немецкого ученого Гельмерта (1843-1917), в которой = 0,005302;= 0,000007;= 0, и= 978,049 мГал.

Разумеется, вопрос об уточнении значений иеще не снят с повестки дня, поэтому с получением новых данных по гравиметрическим измерениям, будут проводиться и вычисления по уточнению.

Для примера, в 1952 году И.Д.Жонголович опубликовал результаты вычисленных значений и. Они оказались следующими:

= 0,0052837; = 0,0000059;= 978,057

Для территории бывшего СССР Бурдюков составил таблицы, с помощью которых, зная координаты точки, можно определить величину - нормального значения силы тяжести с точностью до 0,01 мГал.

Земля не является идеальным шаром. Ее форма очень близка к той, что принимает жидкость, когда поддерживается равновесие между гравитационными силами, стремящимися сделать ее поверхность сферической, и центробежными силами вращения, стремящиеся сплющить ее. В результате экваториальный радиус примерно на 21 км больше, чем полярный радиус. Вследствие этого Земля имеет значениена экваторе меньше, чем н6а полюсах, разность этих значений равна 5.210^-2 м/c².