III. Операторы квантовой механики (8 часов)

1) Принципы сопоставления физической величины и ее линейного эрмитовского оператора. Физическое содержание описания состояния системы через волновую функцию в условиях, когда она является и не является собственной функцией оператора физической величины. Среднее значение физической величины в серии испытаний и связь коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям эрмитовского оператора этой величины с вероятностями конкретных значений при её измерении. Необходимое и достаточное условие коммутации эрмитовских операторов и возможность одновременного измерения двух физических величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

2) Простейшие операторы квантовой механики (постулат) – операторы координат (x, y,z), составляющих импульса (р_х, р_y, р_z) и их коммутационные свойства.

3) Построение операторов момента импульса (М) и его проекций (М_x, М_y, М_z). Коммутационные свойства операторов проекций. Вид оператора М_z в декартовой и сферической системах координат. Решение операторного уравнения по определению спектра собственных значений и собственных функций оператора М_z. Магнитное квантовое число (m), его физический смысл.

4) Построение оператора квадрата момента импульса (М²). Коммутационные свойства оператора М² и операторов М_x, М_y, М_z. Явный вид оператора М² в сферической системе координат. Операторное уравнение, вид собственных функций и собственных значений оператора М². Вырождение. Орбитальное квантовое число (l). Вычисление сферических функций Y_l,m() и физический смысл их вырождения. Взаимосвязь между магнитным (m_l) и орбитальным (l) квантовыми числами. Пространственное квантование вектора .

5) Опыты Штерна и Герлаха, приводящие к понятию спина – собственного момента импульса микрочастицы . Постулативное введение операторовS², S_x, S_y, S_z и их свойств, а также структуры и свойств собственных значений и собственных функций этих операторов на основе аналогии с операторами орбитального момента импульса. Вычисление значений спиновых квантовых чисел s и m_s из опыта Штерна и Герлаха.

6) Построение оператора Гамильтона Н. Операторы кинетической (Т) и потенциальной (U) энергий. Примеры: свободная частица, водородоподобный атом, атом гелия, молекула водорода.

7) Система из пяти попарно-коммутирующих операторов Н, М², М_z S², S_z для водородоподобного атома – доказательство и физическое содержание. Квантовые числа, определяющие собственные значения операторов.

4. Уравнение Шредингера и его решение для простейших квантово-механических систем ( 10 часов)

1) Волновое уравнение Шредингера. Условие стационарности состояния. Разделение координатных и временной переменных в волновой функции и волновом уравнении. Функциональный вид временного множителя волновой функции. Стационарное уравнение Шредингера как частный случай операторного уравнения. Свойства стационарных состояний.

2. Задача о движении свободной частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (одномерный случай). Постановка задачи, вид оператора Гамильтона и интегрирование уравнения Шредингера. Конкретизация и нормировка волновых функций, вытекающая из стандартных и граничных условий. Дискретность энергетического спектра частицы и его анализ. Волновые функции и распределение вероятностей для различных энергетических состояний частицы.

2. Двухатомная молекула в приближении жесткого ротатора. Уравнение Шредингера для жесткого ротатора и его энергетический спектр. Вращательное квантовое число. Вращательные спектры поглощения гетероядерных двухатомных молекул, правило отбора, определение положения линий в спектре, вращательные постоянные молекулы и расчет длины химической связи. Вращательные спектры комбинационного рассеяния двухатомных молекул, правило отбора, определение положения стоксовских и антистоксовких линий в спектре и расчет вращательной константы молекул. Расчет относительной заселенности вращательных уровней энергии и интенсивность линий в спектрах.

3. Колебания двухатомных гетероядерных молекул в приближении гармонического осциллятора. Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора и его энергетический спектр. Колебательное квантовое число. Относительная заселенность колебательных уровней энергии. Учет ангармоничности колебаний в форме уравнения Морзе. Особенности энергетического спектра ангармонического осциллятора. Колебательные спектры поглощения двухатомных гетероядерных молекул, правила отбора, определение положения линий в спектре поглощения, расчет частоты собственных колебаний, силовой постоянной химической связи, константы ангармоничности и оценка энергии диссоциации. Колебательно-вращательные спектры поглощения, правила отбора, R- и P- ветви вращательных переходов и определение положения линий в них в гармоническом приближении, расчет молекулярных характеристик на их основе. Понятие о колебательно-вращательных спектрах комбинационного рассеяния, правила отбора.

5) Водородоподобный атом (ВПА) как двухчастичная система – постановка задачи, явный вид стационарного уравнения Шредингера. Переход к координатам центра масс и координатам относительного движения двух взаимодействующих частиц. Особенность положения центра масс в случае водородоподобных систем. Разделение переменных в волновой функции и операторе Гамильтона. Уравнение Шредингера для относительного движения ядра и электрона в декартовой (x, y, z) и сферической (r,) системах координат, связанных с центром масс..

6) Решение уравнения Шредингера в сферической системе координат методом разделения переменных на основе свойств собственных функций коммутирующих эрмитовских операторов Н, М², М_z. Угловая (сферические функции Y_l,m()) и радиальная (R_n,l(r)) части волновой функции. Выделение из уравнения Шредингера дифференциального уравнения для поиска радиальной составляющей R_n,l(r) и переход к безразмерным переменным. Определение асимптотических решений (r0, r) и общего решения радиального уравнения в виде степенного ряда. Рекуррентная формула для коэффициентов искомого степенного ряда. Анализ общего решения и переход от бесконечного ряда к полиному конечной степени. Главное квантовое число (n) и его взаимосвязь с другими квантовыми числами. Дискретность энергетического спектра водородоподобного атома. Расчет радиальных функций на основе формулы Родрига для присоединенных полиномов Лягерра.

7) Координатная и спиновая составляющие полной волновой функции. Взаимосвязь между квантовыми числами и степень вырождения энергетических уровней водородоподобного атома.

8) Вероятностная трактовка волновой функции и понятие атомной орбитали и спин-орбитали. Физическое содержание понятия электронная плотность. Явный вид выражений, определяющих радиальное dW_n,l(r) и угловое dW_n,l() распределения электронной плотности.

9) Радиальное распределение электронной плотности – физическое содержание и анализ распределений для конкретных электронных состояний (например, 1s, 2s, 3p, ...). Размер атомной орбитали. Общие закономерности радиального распределения электронной плотности в зависимости от значений квантовых чисел n и l. Наиболее вероятные и среднее расстояния между ядром и электроном.

10) Угловое распределение электронной плотности. Понятие о телесном угле. Переход от комплексных сферических функций к действительным. Явный вид вещественных функций s, p, d- электронных состояний. Направления максимумов электронной плотности и узловые поверхности. Формы s, p, d- электронных орбиталей.

11) Методика построения контурных диаграмм полного распределения электронной плотности, области наиболее вероятного пребывания электрона для разных состояний.

12) Анализ энергетического спектра водородоподобного атома. Правило отбора для электронных переходов – диаграмма Гротриана. Линейчатый спектр атома водорода – серии Лаймана, Бальмера, Пашена, Брекета, Пфунда.