Законы физики и векторный язык

Законы физики не зависят ни от какой системы координат (в природе ее не существует). Поэтому они могут и должны выражаться на инвариантном (бескоординатном) языке. Многие физические законы так выражаются в простой и обозримой форме, которая не сохраняется при выражении их через координаты. На таком языке (векторном) мы записали алгебраические и геометрические свойства векторных операций. От векторного языка, как мы увидим ниже, перейти к координатному просто. Обратный же переход иногда весьма затруднителен.

Упражнения

2.1. Доказать компланарность векторов , ,.

2.2. Докажите неравенство и объясните, почему оно называется неравенством треугольника.

2.3. Докажите равенство и объясните, почему оно называется равенством параллелограмма.

2.4. Докажите неравенство Коши – Буняковского:

2.5. Докажите, что операция скалярного произведения выразима через операции сложения векторов и взятие модуля:

2.6. Доказать, что векторы и взаимно перпендикулярны.

2.7. Верно ли, что для любых векторов , d выполняется соотношение .

2.8. Даны три вектора такие, что , . Вычислить .

2.9. Дано: , . Следует ли отсюда, что ?

2.10. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения , а также его частного решения, коллинеарного вектору.

2.11. Доказать, что для трех неколлинеарных векторов равенства выполняются тогда и только тогда, когда .

2.12. Используя базис, примененный для доказательства тождества "бац минус цаб", получите тождество

т. е. квадрат объема параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, равен указанному определителю, называемому определителем Грама тройки векторов a, b, c.

2.13. Докажите тождество .