Analiticheskaya_geom / 1_13_Matritsy

Лекция 13. Остыловский А.Н.

Матрицы. Транспонирование матрицы. Произведение матриц. Свойства произведения матриц. Единичная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица.

11.1. Транспонирование матриц. Рассмотрим матрицу

23

из m строк и n столбцов. Матрицу

23

называют транспонированной по отношению к A и обозначают AT . Переход от A к AT называют транспонированием. Иными словами

Легко видеть, что

(AT )T = A; (A + B)T = AT + BT ; ( A)T = (A)T :

1

11.2. Произведение матриц 11.2.1. Кратные суммы. Сумму всех элементов матрицы

23

67

6: : : : : : : : : : : : : : :7

4 5 am1 am2 : : : amn

можно подсчитать двумя способами:

1)= mi=1( nj=1aij),

2)= nj=1( mi=1aij).

В первом случае суммируются элементы в каждой строке, затем складываются полученные значения; во втором суммируются элементы в каждом столбце и затем складываются результаты. Таким образом, в двойной сумме не обязательно указывать порядок суммирования. Отсюда следует, что и в многократных суммах результат не зависит от порядка суммирования. Так, например, трёхкратную сумму

X

aikbkl clpdpj

k;l;p

можно записывать не расставляя скобки.

11.2.2. Соглашения об обозначениях. Во избежание громоздкости обозначений будем использовать следующие соглашения, принятые в тензорном исчислении:

1. Буквенный индекс рассматривают как переменную величину, принимающую значения 1; 2; : : :. Если написано выражение, содержащее буквенный индекс, не являющийся индексом суммирования, то предполагается, что выписаны все такие выражения для каждого значения этого индекса. Так, например, запись jki = jki означает выполнение таких равенств для всех возможных наборов значений индексов i; j; k:

2

2. Вводится следующее обозначение суммирования. Пусть написано выражение, состоящее из одной буквы или произведения нескольких букв с индексами, причём какой-нибудь индекс встречается дважды один раз вверху, а другой снизу. (Такие индексы называют немыми.) Под этим выражением будем понимать сумму членов такого вида, написанных для всех значений повторяющегося индекса, а знак суммы писать не будем. Такое суммирование называют немым. Если описанным образом повторяются несколько индексов, то имеется в виду многократная сумма. Например, формулы

будем писать в виде

b0ij = bkl ik jl ; T 0ijk = li sjTmls km:

Обозначение любого немого индекса может быть изменено, так как немые индексы "взаимно уничтожаются\ при суммировании. Например,

AikBk = AijBj = AihBh:

При перемножении сумм следует использовать различные немые индексы.

11.2.3. Мотивировка и определение.

Определение 1. Линейным отображением A : Rn ! Rn называется отображение вида

>

>

>

;

3

Иными словами, отображение (1) столбцу

2 3

x1

6x27

6 7 n x = 6 . 7 2 R

6 .. 7

4 5 xn

ставит в соответствие столбец

2 3

y1

6y27

y = 6 . 7 2 Rn: 6 7

6 .. 7

4 5 yn

Линейное отображение A однозначно определяется своей матрицей

Соотношения (1), используя немое суммирование, можно записать так:

4

Матрица этого отображения есть

Подставляя (1) в (4) получим снова линейное отображение C : Rn !

Rn:

Таким образом, элемент cki матрицы C линейного отображения C, стоящий в k-й строке и i-м столбце равен сумме произведений соответствующих элементов k-й строки матрицы B и i-го столбца матрицы A.

Построенную матрицу C называют произведением матрицы B

на матрицу A и обозначают

C = BA:

Пример. Результат последовательного выполнения линейных отображений

есть линейное отображение

5

Коэффициенты этого отображения можно получить непосредствен-

ной подстановкой выражений первого преобразования во второе. Но

быстрее это сделать перемножив матрицы

" #" # " #

1 2 2 3 4 5 = :

Умножать можно не только квадратные матрицы. А именно, пусть

A = [aik] (m n)-матрица, а B = [bkj ] (n p)-матрица. Тогда произведение AB по определению есть такая (m p)-матрица C = [cij], что

cij = ai1b1j + ai2b2j + ainbnj ;

или используя немое суммирование

cij = aikbkj :

Иными словами, элемент матрицы , стоящий в i-й строке и j-м столб-

це равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки

матрицы A и j-го столбца матрицы B.

Примеры.

23

Отметим, что если число столбцов матрицы A не равно числу

строк матрицы B, то произведение AB не определено.

6

11.3. Свойства произведения матриц. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. даже если оба произведения матриц AB и BA определены, то не обязательно AB = BA. В этом

Теорема 1. Умножение матриц (при условии, что оно определено) обладает следующими свойствами:

1)A(BC) = (AB)C (ассоциативность);

2)A(B + C) = AB + AC (дистрибутивность);

3)(A + B)C = AC + BC (дистрибутивность);

4)(AB) = ( A)B = A( B), 2 R;

5)(AB)T = BT AT .

Доказательство.

1) Учитывая п .12.3.1, имеем

fA(BC)gij = fAgikfBCgkj = aik(bkpcpj ) = aikbkpcpj ; f(AB)C)gij = f(ABgipfCgpj = (aikbkp)cpj = aikbkpcpj :

5) f(AB)T gij = fABgji = ajkbki ,

fBT AT gij = fBT gikfAT gkj = bki ajk = ajkbki :

Остальные свойства доказываются проще. 2

Замечание. Используя ассоциативность произведения матриц легко получить формулы для элементов произведения нескольких матриц. Например,

fABCDgij = fABCgikfDgkj = (aipbpscsk)dkj = aipbpscskdkj ;

7

fABCDGgij = fABCDgikfGgkj = (aipbpscsmdmk )gjk = aipbpscsmdmk gjk:

11.4. Единичная матрица. Квадратная (n n)-матрица

называется единичной матрицей. Иными словами,

8

<0; если i 6= j;

fEgij = ji =

:1; если i = j:

Величина ji называется символом Кронекера.

Пусть A = [aij] произвольная (n n)-матрица. Тогда

fAEgij = aik jk = aij;

т.е. AE = A. Аналогично проверяется, что EA = A.

Оказывается, что таким свойством обладает только матрица E. Действительно, пусть ещё матрица E0 обладает указанным свойством. Тогда, с одной стороны, EE0 = E, с другой EE0 = E0. Отсюда E = E0.

11.5. Определитель произведения квадратных матриц.

Теорема 2. det(AB) = det A det B.

Доказательство. Пусть C = AB. Используя немое суммирование, имеем

det(AB) = det C = (c1; c2; : : : ; cn) = (c1 es1 ; c2; : : : ; cn) =

s1

8

= a1p1 (bp1 ; c2; : : : ; cn) =

В этой сумме отличными от нуля будут лишь те слагаемые, в

2

11.6. Обратная матрица. Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной, и вырожденной в противном случае.

Теорема 3. Для всякой невырожденной (n n)-матрицы A

существует такая матрица A 1, что AA 1 = A 1A = E.

Доказательство. Пусть A = [aij] такая матрица. Рассмотрим матрицу

" #

Aji ; det A

где Aji алгебраическое дополнение элемента aji . 1) В соответствии с замечанием 2 лекции 11 имеем:

1Элемент bij выражается через Aji , а не через Aij!

9

Аналогично доказывается, что BA = E. 2

Замечание 1. Из теоремы 2 следует

1 = det E = det(AA 1) = det A det A 1;

det A 1 = det1 A:

Поэтому A 1 существует лишь для невырожденной матрицы A.

Замечание 2. Предположим, что для матрицы A существует ещё одна такая матрица A1 1, что AA1 1 = A1 1A = E. Тогда

A1 1AA 1 = (A1 1A)A 1 = EA 1 = A 1:

С другой стороны,

A1 1AA 1 = A1 1(AA 1) = A1 1E = A1 1:

Отсюда A1 1 = A 1, т.е. обратная матрица определяется единственным образом.

Упражнения

1. Докажите, что если матрицы A и B перестановочны, т.е. AB =

BA, то имеют место формулы сокращенного умножения а) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2;

б) A2 B2 = (A + B)(A B) и т.д.

2.Доказать, что (AT ) 1 = (A 1)T .

3.Пусть

h iT h i

x = x1; x2; : : : xn ; y = y1; y2 : : : yn ; B = xy

иA невырожденная матрица. Показать

1)B2 = B, где = yx;

2)матрица E + B невырождена тогда и только тогда, когда 6=

1;

10