физика_1 / 77

Работа 77

РЕЗОНАНС ТОКОВ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение распределения токов в различных ветвях электрического контура при резонансной и близких к ней частотах.

Введение

Резонанс токов возникает при определенных условиях в электрическом контуре, содержащем параллельно включенные катушку индуктивности L и конденсатор емкостью C (рис.1). Активные сопротивления в ветвях обозначены R₀, R₁ и R₂. В контур включается источник тока, ЭДС которого зависит от времени по гармоническому закону .

С R₁

i₁ i₂ L R₂

i

R₀



Рис. 1

Резонанс токов сопровождается рядом интересных особенностей, которые можно установить при расчете токов в схеме рис. 1 и проверить экспериментально. Предполагая, что величина циклической частоты вынуждающей ЭДС  и размеры электрического контура обеспечивают квазистационарность токов, применим правило Кирхгофа для выяснения характера установившихся вынужденных колебаний тока в этом контуре. Для мгновенных значений токов, сходящихся в узле, используя первое правило Кирхгофа можно написать равенство

i = i₁ + i₂ . (1)

При составлении уравнений для контуров воспользуемся уравнением (2) работы 76, теоретическую часть которой необходимо изучить, приступая к подготовке данной лабораторной работы. Запишем это уравнение

. (2)

Нетрудно видеть, что уравнение для контура, содержащего С, R₁, R₀ и  (см. рис.1), получается из уравнения (2), если принять L=0, R₀=0 и R=R₁:

Используя решение уравнения (2) в работе 76, получим для силы тока i₁ следующее выражение:

.

Амплитуда силы тока i₀₁ и сдвиг по фазе между током и вынуждающей ЭДС ₁ имеют вид

(3)

Для контура, содержащего L, R₂, R₀ и , из уравнения (2) в предположении, что , R₀=0 и R=R₂, получим уравнение

.

Из этого уравнения следует такое выражение для силы тока i₂:

(4)

Так как циклическая частота  токов i₁ и i₂ при установившихся вынужденных колебаниях одинакова, то согласно формуле (1) силу тока i можно представить в виде

(5)

Как видно из формул (3-5), сила токов в ветвях и фазовые соотношения между ними и ЭДС определяются параметрами L, C, ₀, , R₁ и R₂.

Известно, что наиболее выразительно явление резонанса проявляется при отсутствии активного сопротивления. Допустим для этого предельного случая, что R₁=R₂=0. Тогда

При этом амплитудное значение тока в неразветвленной части цепи оказывается наименьшим:

а токи в ветвях (i₁ и i₂) изменяются противофазно. Из последнего равенства вытекает условие, при котором ток в неразветвленной части цепи обращается в нуль. Для этого необходимо, чтобы частота вынуждающей ЭДС стала равной собственной частоте колебаний идеального контура (содержащего индуктивность и емкость).

Итак, при выполнении условий R₀=R₁=R₂=0 и ток в неразветвленной части цепи обращается в нуль, а в ветвях, содержащих индуктивность и емкость, амплитудные значения токов становятся одинаковыми и могут быть большими по величине. Это явление именуется резонансом токов.

Соотношение между токами i₁ и i₂ можно изобразить наглядно с помощью векторной диаграммы токов. При построении диаграммы вектора токов необходимо откладывать относительно оси напряжений, в качестве которой выберем горизонтальную ось (рис. 2).

Ток в индуктивности отстает от напряжений на /2 и потому изображается вектором, повернутым относительно оси напряжений против часовой стрелки на угол /2. Ток в емкости опережает напряжение на /2, соответственно он повернут относительно оси напряжений по часовой стрелке на угол /2. При резонансе длины векторов обоих токов одинаковы, а результирующий ток равен нулю.



Ось напряжений



Рис. 2

Однако в реальном контуре в полной мере выполнить указанные условия практически невозможно. Поэтому в данной лабораторной работе будет наблюдаться резкое уменьшение тока в неразветвленной части цепи, сопровождающееся выравниванием величин токов в ветвях с катушкой индуктивности и батареи конденсаторов, когда собственная частота колебаний контура будет приближаться к фиксированной частоте электродвижущей силы .

Описание установки: схема установки для изучения резонанса токов представлена на рис. 3.

C

L



Рис. 3

Для измерения силы тока в неразветвленной части цепи служит амперметр А, а в ветвях с батареей конденсаторов и катушкой индуктивности, соответственно, амперметры А₁ и А₂. Электрический контур питается напряжением  = 6,3 В, частота изменения которого  = 50 Гц. Подход к резонансу достигается изменением частоты собственных колебаний контура, содержащего индуктивность L и емкость C. Из-за малости омических сопротивлений в ветвях, они не указаны на рис. 3, хотя катушка индуктивности, содержащая большое количество витков проволоки, неизбежно обладает и активным сопротивлением. Параметры контура подобраны так, что с погрешностью, не превышающей 1% , можно рассчитывать частоту собственных колебаний контура по формуле

. (6)

Для получения набора частот в районе резонансной частоты изменяется емкость батареи – путем изменения количества ее конденсаторов, которые соединяются параллельно. Включение конденсаторов в батарею достигается замыканием электрической цепи. Электрическая емкость батареи, состоящей из параллельно включенных конденсаторов, как известно, равна сумме емкостей конденсаторов. Разумеется, может оказаться, что ни одна из полученных таким способом частот не совпадает с частотой вынуждающей колебания ЭДС. Это является одной из причин невыполнения в полной мере условий для наступления резонанса, что уже отмечалось выше. Другой причиной является наличие активного сопротивления в катушке индуктивности.

Приборы и принадлежности: электрический контур из параллельно соединенных катушки индуктивности и батарей конденсаторов; амперметр; провода.

Порядок выполнения работы

0. Перед началом измерений следует внимательно ознакомиться с установкой и дополнительными указаниями, конкретизирующими условия работы на ней.

1. Из дополнительных указаний переписать в отчет величину L катушки индуктивности, используемой в данной установке, а также величины емкостей конденсаторов, включаемых в батарею.

2. Рассчитать емкость батарей, состоящих из одного, двух, трех конденсаторов и т.д. Результаты записать в таблицу.

3. По формуле (6) рассчитать частоты собственных колебаний и записать их в таблицу.

4. Включить амперметр в положение А для измерения тока i в неразветвленной цепи.

Внимание! При измерении тока на одном гнезде (например А), другие гнезда (А₁ и А₂) должны быть замкнуты с помощью вилок.

0. Включить источник тока и провести измерения, включая в контур один конденсатор, потом два, три и т.д. Когда емкость батарей станет максимальной, повторить те же измерения, по одному выключая конденсаторы из батареи. Записав измеренные значения токов, выключить источник тока.

1. Включить амперметр в положение А₁ для измерения тока i₁ в цепи конденсатора и провести измерения согласно п. 6.

2. Включить амперметр в положение А₂ для измерения тока i₂ в цепи индуктивности и провести измерения согласно п. 6.

3. Построить на миллиметровой бумаге графики зависимости токов i, i₁, i₂ от частоты  (три графика на одном рисунке).

4. Объяснить полученные экспериментально графики зависимостей i(), i₁() и i₂().

Результаты измерений

Параметры	Номер измерения
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Емкость батареи С, мкФ
Частота собственных колебаний, , Гц
i, мА
i1, мА
i2, мА

L=……………Гн.

Контрольные вопросы

0. Нарисуйте схему электрического контура для наблюдения резонанса токов.

1. Как достигнуть противофазности колебаний токов i₁ и i₂?

2. При каких условиях наступает и как проявляется резонанс токов?

3. Выведите формулы (2), (3), (4), (5).

4. Объясните полученные в этой работе экспериментально зависимости токов от частоты.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. II. – М.: Наука, 2007.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М., Курс общей физики. – М.: Высшая школа, 2010.

6