физика_1 / 5а

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Кафедра «Физика-2»

Утверждено

Редакционно-издательским

советом университета

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Физика»

Работа 5а

для студентов всех специальностей

ИУИТ, ИСУТЭ, ИЭФ, ИТТОП,

Вечерний

МОСКВА  2007

Работа 5а

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

Цель работы. Определение ускорения свободного падения методом, основанным на свойстве взаимной обратимости центра качания и точки подвеса физического маятника.

Приборы и принадлежности: физический маятник, секундомер.

Введение

Период колебаний физического маятника (см. рис. 5) определяется по формуле

T  2, (1)

где J – момент инерции относительно оси подвеса;

m – масса маятника;

d – расстояние между осью вращения и центром тяжести маятника.

d₁

d₂

Рис. 5

Длина математического маятника с периодом колебаний, равным периоду колебаний данного физического маятника, называется приведенной длиной физического маятника. Эта величина определяется соотношением

l_п . (2)

Вывод формул (1) и (2) приведен во введении к работе 5.

Точка, находящаяся на расстоянии l_п от оси вращения по линии, проходящей через центр тяжести, называется центром качания физического маятника. Можно показать, что если ось вращения поместить в центр качания, то маятник будет совершать колебания с тем же периодом. Для этого подставим в формулу (2) момент инерции в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера:

J  J₀  md².

Получим

l_п   d, (3)

где J₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно оси, проходящей через точку подвеса.

Заметим, что из выражения (3) следует

d  . (4)

Если подвесить маятник так, чтобы ось вращения проходила через центр качания, то она будет находиться от центра тяжести на расстоянии l_п – d. Приведенную длину перевернутого маятника можно найти по формуле (3), учитывая, что расстояние от оси вращения до центра тяжести l_п – d, а m и J₀ остались прежними. Центр качания перевернутого маятника по формуле (3) будет находиться от оси вращения на расстоянии

l_п   (l_п – d).

Учитывая выражение (4), находим, что

l_п  l_п.

Таким образом, во всяком физическом маятнике на прямой, проходящей через центр тяжести (центр инерции), можно указать пары точек, лежащих по разные стороны от центра тяжести и являющихся взаимно обратимыми, т. е. через них проходят оси вращения, относительно которых период колебаний маятника одинаков.

Метод измерений и описание аппаратуры

Оборотный маятник, применяемый в данной работе, изображен на рис. 5. На металлическом стержне A жестко закреплены опорные призмы В₁ и В₂. На стержне находятся два тяжелых груза в форме чечевиц C и D, один из которых (С) жестко закреплен, а другой (D) может перемещаться вдоль миллиметровой шкалы и закрепляться в нужном положении. С грузом D жестко связана и может перемещаться вдоль стержня A дополнительная подвижная шкала M, позволяющая определить положение подвижного груза на стержне.

Периоды колебаний такого маятника при последовательном подвешивании на обеих опорных призмах равны соответственно

(5)

Изменяя положение груза D, можно добиться равенства периодов Т₁  Т₂  Т при колебании относительно осей В₁ и В₂. Тогда В₁В₂ станет приведенной длиной l_п. Учитывая, что d₁ + d₂  l_п, получим для этого случая из выражения (5) формулу для определения ускорения свободного падения:

g l_п. (6)

Порядок выполнения работы

Пользуясь секундомером, определить периоды колебаний маятника для различных положений груза D относительно осей вращения, совпадающих с первой и второй опорными призмами. Это следует проделать, перемещая груз и последовательно совмещая середину подвижной шкалы M с делениями шкалы стержня. Для этого измеряют не менее трех раз время десяти колебаний относительно двух опорных призм для каждого положения груза. Затем, используя среднее значение времени 10 колебаний t_ср, находят период колебаний Т_ср. При расчетах t_ср и Т_ср следует оставлять не менее трех значащих цифр, а округление произвести после оценки погрешностей. Результаты занести в таблицы, составленные для 1-й и 2-й призм в отдельности.

Таблица 1

Положение груза x, деления шкалы	Время десяти колебаний			tср, с	Tср., с
	t1, с	t2, с	t3, с
0 2 4 6 8 10

Таблица 2

Положение груза x, деления шкалы	Время десяти колебаний			tср, с	Tср., с
	t1, с	t2, с	t3, с
0 2 4 6 8 10

Обработка результатов измерений

Обработку результатов измерений можно произвести двумя способами.

1. Графическая обработка результатов измерений. На миллиметровой бумаге построить графики зависимости периода колебаний от положения груза на стержне маятника. По оси абсцисс отложить деления шкалы, указывающие положения груза, а по оси ординат – величины периодов колебаний. Кривые Т₁(х) и Т₂(х) пересекаются. Это означает, что периоды колебаний относительно осей В₁ и В₂ совпадают, т. е. опорные призмы физического маятника взаимно обратимы. Точка пересечения определяет значение периода колебаний физического маятника, приведенная длина которого равна расстоянию между опорными призмами, т. е. 0,730 м.

По данному значению l_п и периоду колебаний, полученному из графика по точке пересечения кривых, рассчитать ускорение свободного падения, пользуясь формулой (6).

2. Обработка результатов измерений с помощью ЭВМ. Зависимость периода колебаний от положения груза можно аппроксимировать многочленами вида

y  a₁ + a₂x +a₃x²,

y  b₁ + b₂x +b₃x²

(для 1 и 2-й призм соответственно).

Коэффициенты a и b находят методом наименьших квадратов [3]. Расчет этих коэффициентов, вычисление ускорения свободного падения и расчет погрешности можно произвести с помощью ЭВМ по специально созданной программе.

3. Расчет погрешности (для случая графической обработки результатов измерений). Найти и сравнить систематическую и случайную ошибки измерения t. Для расчета случайной ошибки по методу Стьюдента использовать данные одной из таблиц, которые соответствуют значению периода, наиболее близкому к точке пересечения графиков. Рассчитать полную ошибку определения времени двадцати колебаний:

t  ,

принимая Δt_сист  0,1 с (так как в нашем случае систематическая ошибка определяется конечной скоростью реакции человека, а непосредственно приборной ошибкой можно пренебречь). Убедиться в том, что относительная ошибка, с которой задано l_п, много меньше ошибки в определении t.

Поскольку период колебаний найден на графике по точке пересечения двух кривых, то для нахождения относительной ошибки в определении периода, предполагая, что мы не допустили ошибки в определении числа колебаний, получим

 2.

Тогда в соответствии с правилами расчета ошибок косвенных измерений [3] рассчитать относительную ошибку по формуле (считая  0): g   .

Примечание

Так как значение  известно с большей точностью, то ошибка, вносимая округлением этого числа, может быть сделана заведомо меньше, чем ошибка измерений остальных величин. При вычислениях значение  достаточно принять равным 3,14.

По найденной ошибке g найти абсолютную ошибку Δg. Результаты измерений g представить в виде g ± Δg.

Сравнить Δg с отклонением полученного значения g от значения ускорения свободного падения для Москвы, полученного более точными методами и равного 9,81 м/с².

Результат следует считать удовлетворительным, если

g – Δg ≤ 9,81 м/с² ≤ g + Δg.

Контрольные вопросы

1. От каких величин зависит период колебаний физического маятника?

2. Что называется приведенной длиной физического маятника?

3. Какая точка называется центром качания? Покажите, что центр качания и точка подвеса взаимно обратимы.

4. Как используется это свойство для определения ускорения свободного падения?

Список литературы

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высш. шк. – 2000.

2. Савельев И.В. Курс физики. -Т. 2 – М.: Наука. – 1998.

3. Методические указания к вводному занятию в лабораториях кафедры физики. – М.: МИИТ. – 2006.