Метод измерения и описание аппаратуры

Для измерения момента инерции в данной лабораторной работе используются крутильные колебания изображенного на рисунке устройства, состоящего из диска 1 и лежащих на нем одного или нескольких тел 2. В работе используется эталонное тело (ЭТ) с известным моментом инерции. Диск расположен на станине 3, имеющей винты 4 для корректировки горизонтального положения плоскости диска. Пружина 5 служит для возвращения диска в положение равновесия и создания колебательного движения относительно вертикальной оси (рис. 1).

При отклонении диска на некоторый угол  (в пределах упругой деформации пружины) со стороны пружины на диск действует возвращающая сила, проекция момента которой пропорциональна углу отклонения:

М   b, (6)

где b – упругая постоянная пружины.

Если пренебречь влиянием силы трения, то уравнение движения диска на основании формул (5) и (6) примет вид

I  b_, (7)

где I – момент инерции диска с лежащими на нем грузами.

Решение этого уравнения имеет вид

  ₀ cos(t  ),

то есть угол отклонения диска от положения равновесия изменяется по гармоническому закону и вся система совершает гармонические колебания с амплитудой ₀ и круговой частотой . Величину (t  ) называют фазой колебания,  – начальной фазой, определяющей угол отклонения  при t  0.

Найдя первую и вторую производные угла  по времени t и подставив их в уравнение (7), получим

 I²₀cos(t  )   b₀cos(t ),

откуда найдем

 ,

а затем формулу для периода колебаний T:

Т  2.

Если колеблется только диск, то его период колебаний

Т₀  2, (8)

где I_Д – момент инерции диска без грузов.

Если на диске лежит эталонное тело, то период колебаний системы T_ЭТ, в этом случае можно записать аналогично:

T_ЭТ  2. (9)

Используя выражения (8) и (9), получим:

Iд  iэт и b  ,

Если диск колеблется вместе с телом, момент инерции которого I_Х требуется определить, то период его колебаний

T_Х  2,

откуда

Iх   iд.

Используя полученные выражения для b и I_Д, получим окончательную формулу для определения момента инерции исследуемого тела:

I_Х  I_ЭТ. (10)

Порядок выполнения работы

1. Отклонив диск без грузов на некоторый угол (  90) определите время t нескольких полных колебаний (n  5  6). Рассчитайте период колебаний диска Т₀. Повторите измерения.

2. Поместите на середину диска эталонное тело, измерьте время нескольких полных колебаний. Рассчитайте период колебаний системы с эталонным телом Т_ЭТ. Повторите измерения.

Полученные данные занесите в табл. 1 и вычислите средние значения Т₀ и T_ЭТ.

Таблица 1

№ опыта	Число колебаний, n	Колебания диска без грузов		Колебания диска с эталонным телом
		t, c	T0, c	t, c	TЭТ, c
1
2
3
Средняя величина	----------	----------		----------

3. Вместо эталонного поместите на середину диска исследуемое тело, приведите систему в колебательное движение, измерьте время нескольких колебаний и определите период колебаний Т_Х.

Повторите измерения 3 раза, вычислите среднее значение периода T_{X CP}.

4. Рассчитайте среднее значение момента инерции тела по формуле (10). Запишите результаты в табл. 2. и табл. 3.

Таблица 2

№ тела	Число колебаний n	t, c	TХ, c	Ixcp, кгм2
1

Таблица 3

№ тела	Форма тела	Масса тела m, кг	Радиус тела R, м	I, кгм2 по формуле (1)	IХ СР, кгм2 из табл.2
1

5. Сравните полученные значения I и I_{Х СР.}

Посчитайте расхождение, сравнивая теоретическое и экспериментальное значения моментов инерции по формуле:

η  (I_{Х СР}  I)/I100%.

6. Вычислите относительную погрешность  измерения теоретического значения момента инерции тела по формуле:

  2, (11)

где m – погрешность измерения массы тела; R – погрешность измерения радиуса тела, которая определяется масштабом линейки, используемой для измерения радиуса тела.

7. Поместите исследуемое тело на некотором расстоянии от центра диска. Приведите систему в колебательное движение, измерьте время нескольких колебаний. Вычислите момент инерции тела по формуле (10).

Измерения повторите. Найдите среднее значение момента инерции. Измерьте расстояние а от центра инерции тела до оси вращения.

Рассчитайте момент инерции по теореме Штейнера, воспользовавшись значением момента инерции тела I_{Х СР} из табл. 3.

Результаты занесите в табл. 4.

Таблица 4

№ опыта	n	t, c	T, c	Момент инерции по формуле (10), IХ кгм2
1
2
3
Среднее значение	----------	--------
Момент инерции по формуле (2): I  ……………., кгм2