МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Кафедра «Физика-2»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

по дисциплине «Физика»

Работы 4

для студентов всех специальностей

ИУИТ, ИСУТЭ, ИЭФ, ИТТОП,

Вечерний

МОСКВА  2007

Работа 4

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Цель работы: Определение коэффициента жесткости пружины по удлинению пружины и методом колебаний пружинного маятника.

Введение

Рассмотрим простейшую колебательную систему: груз массой m, подвешенный на пружине. Упругая сила растяжения пружины в положении равновесия равна силе тяжести груза и, будучи направлена вверх, уравновешивает ее. При выведении груза из положения равновесия пружина действует на него с дополнительной силой F, пропорциональной смещению x (при малых смещениях) и направленной в сторону противоположную смещению:

F  – kx,

где k – коэффициент жесткости пружины; он равен численному значению силы, которую нужно приложить к пружине, чтобы растянуть (или сжать) ее на единицу длины. Единица измерения коэффициента жесткости – [k]  Нм^1.

Груз, выведенный из положения равновесия, начнет совершать относительно него гармонические колебания:

x  A sin (ωt + φ₀), (1)

где А – амплитуда колебания; (ωt + ₀) – фаза колебания; ω - круговая частота; ₀ - начальная фаза колебания.

Энергия, сообщенная системе пружина-груз при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия упруго деформированной пружины Е_n  будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза Е_k  и обратно.

Согласно закону сохранения энергии для консервативной системы механическая энергия

E  Е_n + Е_k  +  const. (2)

В момент прохождения грузом положения равновесия (x  0) из формулы (2) следует, что полная энергия системы

E  Е_{k max}  .

Согласно уравнению (1), скорость гармонически колеблющегося груза

   Aωcos(ωt  ₀),

а максимальная скорость

_max  ωA. (3)

В крайних положениях груза (  0, x  ±A) энергия системы переходит полностью в потенциальную Е_п:

E  Е_{п max}  .

По закону сохранения энергии

. (4)

Подставляя выражение (3) в соотношение (4), получим

mω²  k, ω  .

Учитывая, что ω  , получим выражение для периода колебаний Т:

T  2. (5)

Таким образом, период не зависит от амплитуды колебаний и определяется только величинами m и k. Амплитуда и начальная фаза колебаний φ₀ определяются начальными условиями, при которых возникло движение.

Приборы и принадлежности. Штатив с пружиной и зеркальной шкалой, держатель для грузов, набор грузов, секундомер.

Порядок выполнения работы

I. Определение коэффициента жесткости пружины k по удлинению пружины

1. Подвесить к концу пружины держатель (рис. 1).

Рис. 1

2. Пользуясь зеркальной шкалой, заметить начальное положение держателя l₀ (отсчет делают таким образом, чтобы нижняя грань держателя совпала с его зеркальным изображением) и записать данные отсчета в таблицу 1.

3. Постепенно нагружать держатель грузами (их масса в граммах намаркирована на них), записывая положение нижней грани держателя l₁ для каждого значения растягивающей силы, соответствующей общей массе m грузов (масса держателя в m не входит).

4. Нагрузив держатель всеми грузами, начинают их по одному снимать, записывая в таблицу в обратном порядке снизу-вверх соответствующее положение нижней грани держателя l₂ для каждого значения m.

5. Вычислить среднее арифметическое величин l₁ и l₂ для каждой массы

l_ср  .

6. Вычислить удлинение пружины для каждого значения массы грузов вычитая l₀ из соответствующего l_ср

Δl  l_ср – l₀.

Таблица 1

№ п/п	l0, м	m, кг	l1, м	l2, м	lср, м	Δl, м	k ± Δk, Н/м
1
…
4

7. Построить проходящий через начало координат график зависимости удлинения пружины Δl от массы m (рис. 2).

l

0 m

Рис.2

По нему определить коэффициент жесткости пружины k  , взяв значения m и Δl для любой точки усредненной прямой.

8. Рассчитать погрешность определения коэффициента жесткости по формуле

k  k.

Для расчета погрешности следует использовать те значения m и Δl, по которым рассчитывался коэффициент жесткости, а в качестве Δ(Δl), Δm и Δg взять абсолютную погрешность измерения удлинения и точности, с которыми задаются массы грузов и ускорение свободного падения. Результат расчета k и погрешности его определения Δk занести в таблицу 1, выполнив предварительно соответствующее округление [3].

II. Определение коэффициента жёсткости k пружины по зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза

1. Поместить на держатель груз. Значение массы груза с держателем и результаты последующих измерений занести в таблицу 2. Измерить секундомером время 10 полных колебаний маятника. Опыт повторить не менее 4 раз. Найти среднее значение времени t_ср 10 полных колебаний и среднее значение периода колебаний Т_ср, где n  10, при расчетах оставляя на одну значащую цифру больше, чем в результатах наблюдений.

2. Подобные измерения провести для различных значений грузов.

Таблица 2

№ п/п	Масса груза с держателем m, кг	Время 10 полных колебаний				tср, с	Тср, с	Тср2, с2	k ± Δk, Н/м
		t1, с	t2, с	t3, с	t4, с
1 2 3 4

III. Определение коэффициента жесткости пружины

методом колебаний

1. По результатам проведенных измерений построить проходящий через начало координат график зависимости квадрата периода колебаний Т² от массы m, предварительно рассчитав Т_ср² для каждого значения m. Выбрав одну из полученных в эксперименте точек, лежащую на усредненной прямой, рассчитать коэффициент жесткости пружины по формуле

k_ср  4².

2. Оценить погрешность полученного результата. В предположении, что ошибка в определении числа колебаний отсутствовала, эту погрешность можно рассчитать по формуле

k  k.

Ошибка определения времени колебаний определяется как

t  .

Систематическую погрешность в определении времени Δt_сист, связанную с конечной скоростью реакции человека, можно принять равной 0,1 с (т.к. непосредственной приборной ошибкой в нашем случае можно пренебречь по сравнению с этой величиной).

Случайную ошибку Δt_случ следует рассчитать по методу Стьюдента:

t _n,P.

Для числа колебаний N  4 и доверительной вероятности P  0,95   3,2. Окончательный результат записать в таблицу 2. Сравнить полученное значение коэффициента жесткости пружины с результатом, полученным ранее по методу измерения удлинения пружины (часть I).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие деформации называются упругими? Сформулируйте закон Гука.

2. Какие колебания называются свободными?

3. Составьте дифференциальное уравнение колебаний груза на пружине. Какой вид имеет решение этого уравнения?

4. Получите формулу для периода колебаний пружинного маятника.

5. Чем можно объяснить различие в значениях коэффициента жесткости, полученных разными методами?

Список литературы

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. –М.: Высш. шк. – 2000.

2. Савельев И.В. Курс физики. – Т. 2. – М.: Наука – 1998.

3. Методические указания к вводному занятию в лабораториях кафедры физики. – М.: МИИТ. – 2006.