Электромагнитные волны в двухпроводной линии конечной длины

Описанные распространяющиеся электромагнитные волны возникают в очень длинных линиях, которые можно практически рассматривать как неограниченные (бесконечные). На практике обычно имеют дело с линиями, на протяжении которых укладывается сравнительно небольшое число длин волн. В этих случаях существенную роль играет отражение электромагнитных волн на концах линии. Отраженные волны, складываясь с падающей волной, создают более сложные формы электромагнитных колебаний – стоячие электромагнитные волны, подобные стоячим механическим волнам в упругом шнуре или струне.

В бегущей волне, как уже упоминалось, колебания электрического и магнитного полей происходят в одинаковых фазах (см. уравнение (2). При отражении электромагнитной волны в конце линии происходит изменение фазы колебаний. Так как в бегущей волне направления векторов ,и связаны правилом правого винта, то в первичной волне, движущейся от генератора. в положительном направлении оси Х, расположение векторов ,и будет вблизи конца линии таким, как на рис. 3а.

Чтобы направление распространения волны изменилось на противоположное, необходимо, чтобы один из векторов ( или ) изменил свое направление на обратное (рис. 3б и в).

Но изменение направления поля означает изменение фазы колебаний на . Поэтому при отражении, если меняется фаза электрического поля, фаза магнитного поля сохраняется и, наоборот, при изменении фазы магнитного поля фаза электрического поля остается неизменной. Это изменение фазы одной из составляющих электромагнитного поля следует из строгого рассмотрения отражений на основе уравнений Максвелла.

При рассмотрении отражения электромагнитных волн от нагрузки линии вводят коэффициенты отражения по напряжению _E и току _H:

_E   ; (5)

_H   , (6)

где  – волновое сопротивление линии; Z – сопротивление нагрузки, включенной на конце линии; в общем случае может быть комплексным.

Рассмотрим режимы работы линии при некоторых сопротивлениях нагрузки.

1. Линия на конце разомкнута: Z  , коэффициенты отражения _H  1; _E  1.

Переменные токи, возникающие в линии, на конце ее будут вызывать наибольшие колебания зарядов. Так как проводимость между проводами идеальной линии отсутствует, то амплитуда тока проводимости на конце линии будет равна нулю, следовательно, будет равно нулю магнитное поле, а электрическое поле будет максимальным.

Для отыскания распределения электромагнитного поля в двухпроводной линии при наличии отражений на разомкнутом конце запишем уравнения падающей и отраженной волн:

E_пад  E₀sin(t  kx); H_пад  H₀sin(t  kx);

E_отр  E_пад _E  E₀sin(t  kx);

H_отр  H_пад _H  H₀sin(t  kx)  H₀sin(t  kx  )

Результирующее электрическое поле

E  E_пад  E_отр  E₀sin(t  kx)  E₀sin(t  kx)  2E₀cos(kx)sin(t). (7)

Результирующее магнитное поле

H  H_пад  H_отр  H₀sin(t  kx)  H₀sin(t  kx)  2H₀sin(kx)cos(t). (8)

Формулы (7) и (8) показывают, что в линии будут происходить гармонические колебания с частотой . Амплитуды колебаний электрического поля 2E₀cos(kx) и магнитного поля 2H₀sin(kx) оказываются зависимыми от координаты, которая здесь отсчитывается от конца линии, и поэтому различны в разных точках линии. В определенных точках величина (или) достигает максимума. Эти точки называются пучностями электрического (или магнитного) поля. В точках, называемых узлами электрического (или магнитного) поля, амплитуда напряжённости электрического и магнитного полей обращается в ноль.

Координаты пучностей электрического поля находим из условия:

kx_пE  n, n  0, 1, 2, … .

Отсюда координаты пучностей

kx_пE  n  n. (9)

Из выражения (9) видно, что две соседние пучности электрического поля отстоят друг от друга на расстояние, равное /2.

Координаты узлов электрического поля находим из условия:

kx_уE  (2n 1), n  0, 1, 2, … .

Отсюда координаты узлов :

x_уE  (2n 1). 10)

Расстояние между двумя соседними узлами электрического поля также составляет /2.

Из сравнения формул (9) и (10) видно, что между двумя соседними пучностями располагается один узел, и наоборот.

Из формулы (8) найдём координаты узлов и пучностей магнитного поля. Координаты узлов находим из условия

kx_пH  n, n  0, 1, 2, … ,

то есть:

x_уH  n. (11)

Из условия

kx_пH  (2n 1), n  0, 1, 2, …

находим координаты пучностей :

x_пH  (2n 1). (12)

Из формул (11) и (12) следует, что для магнитного поля, так же, как и для электрического, расстояние между двумя соседними узлами составляет /2; между соседними узлами располагается одна пучность, а между пучностями – узел. Отличие в распределении электрического и магнитного полей в стоячей электромагнитной волне состоит в том, что узлу электрического поля соответствует пучность магнитного поля, а пучности – узел.

2. Линия на конце коротко замкнута: Z  0

Коэффициенты отражения _H  1; _E  1.

В этом случае напряжение на конце линии будет всегда равно нулю, т. е. электрическое поле там будет отсутствовать. В закорачивающем линию сопротивлении будет наибольшая амплитуда тока, и на конце линии  наибольшее магнитное поле.

Для отыскания распределения поля в короткозамкнутой линии аналогично предыдущему случаю запишем уравнения падающей и отраженной волн:

E_пад  E₀sin(t  kx); E_отр  E_пад _E   E₀sin(t  kx);

H_пад  H₀sin(t  kx); H_отр  H_пад _H  H₀sin(t  kx).

Результирующее электрическое поле

E  E_пад  E_отр   2sin(kx)cos(t). (13)

Результирующее магнитное поле

H  H_пад  H_отр  2cos(kx)sin(t). (14)

Из условия kx_уE  n; n  0, 1, 2, … находим координаты узлов электрического поля

x_уE  n n. (15)

Из условия kx_пE  (2n  1); n  0, 1, 2, … находим координаты пучностей электрического поля: