гидрогазодинамика / лекция теорема Жуковского

ЛОПАТОЧНО-КРЫЛОВОЙ ПРОФИЛЬ В ПОТОКЕ. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ ПРОФИЛЯ. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЛА В ПОТОКЕ.

Основным элементом рабочих органов турбомашин - паровых и газо­вых турбин, лопаточных компрессоров и насосов служат лопатки, попереч­ное сечение которых представляет собой изогнутый крыловой профиль опре­деленной геометрии. В каналах, образованных лопатками, при течении рабочего тела происходит преобразование энергии, обеспечивающее функ­циональное назначение соответствующей турбомашины: в турбине энергия рабочего тела преобразуется в механическую, передаваемую на вал машины; в компрессорах и насосах наоборот, механическая энергия, подведенная к ва­лу, идет на изменение энергии рабочего тела (на повышение давления). Энергетическая эффективность турбомашин, определяемая силовым взаимо­действием потока и профиля лопаток, находящихся в потоке, зависит от гео­метрии профиля и его установки.

Геометрию профиля лопатки в каждом сечении по ее высоте формиру­ет средняя линия, которая соединяет центры окружностей, вписанных в про­филь. Выпуклую часть профиля называют спинкой, вогнутую корытцем; пе­реднюю и заднюю часть - кромками (соответственно входной и выходной), расстояние от входной до выходной кромок - хордой профиля. В рабочих ор­ганах турбомашин ряд лопаток, последовательно установленных в плоскости, перпендикулярной направлению движения потока, и образующих межлопаточные каналы для прохода рабочего тела, называют лопаточной решеткой. Основная геометрическая характеристика решетки – шаг лопаток, т.е. расстояние между одноименными точками профиля двух лопаток.

Газодинамически оптимальный вариант обтекания лопаточного (кры­лового) профиля предусматривает:

- вход потока на профиль по линии, близкой к касательной к средней линии входе ("безударный" вход);

-обтекание поверхности профиля без отрыва потока от поверхности спинки и корытца (безвихревое обтекание);

- сход потока по касательной к средней линии на выходе (отсутствие "скоса" потока на выходе.).

Если направление потока при входе на профиль отклоняется от каса­тельной к средней линии, то образующийся между ними угол называют углом атаки.

Результат силового взаимодействия потока и профиля, также как и лю­бого твердого тела, находящегося в потоке, определяют величина и направ­ление действия двух сил: так называемой подъемной силы, характеризующей работоспособность системы "поток-профиль" и силы сопротивления. Иссле­дование природы подъемной силы и определение ее величины, положившее начало теории и практике отечественного самолето и турбостроения, было осуществлено академиками Н.Е.Жуковским и Н.А.Чаплыгиным.

В основу определения подъемной силы положен постулат Чаплыгина-Жуковского, согласно которому при безвихревом обтекании профиля плос­копараллельным потоком идеальной жидкости вокруг профиля формируется циркуляционное течение, обеспечивающее оптимальный сход потока с зад­ней кромки. В результате появления такого течения, обусловленного формой профиля и его установкой в потоке, т.е. величиной и знаком угла атаки, про­исходит перераспределение скоростей потока и, следовательно, давлений на поверхности профиля. Последнее приводит к появлению подъемной силы, с которой поток воздействует на профиль (или, наоборот, профиль воздейству­ет на поток). Постулат накладывает ограничения на величину циркуляции. Она должна быть выбрана таким образом, чтобы скорость на задней кромке профиля была конечной.

В 1905 г. на основе постулата Н.Е.Жуковский сформулировал теорему, согласно которой:

- сила взаимодействия безграничного плоскопараллельного потока идеальной жидкости с единичным профилем, находящимся в потоке (подъемная сила) направлена перпендикулярно скорости потока, невозмущенного этим профи­лем;

сила приложена к центру инерции профиля (точка пересечения осей инер­ции);

величина этой силы на единицу длины (размаха) крыла или лопатки с та­ким профилем поперечного сечения равна

P’_y= ρ_∞ v_∞Г

где ρ_∞ и v_∞- плотность рабочего тела и скорость в невозмущенном потоке;

Г - циркуляция скорости по контуру вокруг обвода наружной поверх­ности профиля:

где S- длина обвода наружной поверхности профиля, отсчитываемая по часовой стрелке от входной кромки, характери­зует течение вокруг профиля; она зависит от его формы и установки в потоке и служит мерой интенсивности циркуляционного течения. Циркуляция ско­рости определяет физическую основу образования подъемной силы - появле­ние разности давлений между нижним и верхним обводом профиля. Для крыла или лопатки длиной L величина подъемной силы

P_y= ρ_∞ v_∞Г L

В 1912 г. Н.Е.Жуковский распространил выводы своей теоремы на пло­скую решетку профилей турбомашин, показав, что в этом случае сила, дейст­вующая на профиль, направлена перпендикулярно вектору средней скорости и_т, представляющей собой полусумму скоростей на входе в решетку и на выходе из нее. Подъёмная сила профиля в решётке

P’_{y реш}= ρ_∞ v_∞Г’

где Г’ - циркуляция скорости вокруг одного профиля в решетке.

Поскольку аналитическое определение циркуляции скорости возможно только для простейших случаев обтекания, подъемную силу одиночного профиля или решетки определяют экспериментально, представляя выраже­ние для подъемной силы в виде,

P’_y= с_y(ρ_∞ v²_∞/2)F_py

где с_у - безразмерный аэродинамический коэффициент подъемной силы, най­денный по результатам эксперимента; F_py - поверхность, по которой действует подъемная сила.

Появление в потоке сопротивления движению тела связано с действием сил давления и вязкого трения. Сила сопротивления, обычно называемая си­лой лобового сопротивления, складывается из силы сопротивления давления ("сопротивление формы") и сопротивления трения

P_x=P_{x дав.}+ Р_{х тр.}

Появление силы лобового сопротивления обусловлено тем, что тело, помещенное в поток, создает возмущение, в результате которого в области, прилегающей к телу, изменяются параметры потока, и, следовательно, рас­пределение давлений у поверхности тела. Характер распределения давлений зависит от величины скорости невозмущенного потока, геометрических раз­меров и формы лобовой части тела, а также от его установки в потоке, т.е. от величины и направления угла атаки. Распределение сил вязкого трения по поверхности тела зависит от этих же факторов.

Современное представление о механизме сопротивления трения тел, обтекаемых потоком реального рабочего тела, основывается на теории по­граничного слоя, в области которого, непосредственно прилегающей к по­верхности тела, в основном сосредоточено действие сил вязкого трения. В большинстве случаев пограничный слой представляет собой источник вихреобразования - место зарождения и отрыва вихрей. Вне пограничного слоя внешний поток считается безвихревым (потенциальным).

Основной задачей расчета пограничного слоя служит нахождение за­кона распределения скоростей в слое и касательных напряжений на поверх­ности, определяющих силу трения - силу сопротивления. Течение газа в по­граничном слое может быть ламинарным и турбулентным. На поверхности тела скорость течения реального газа равна нулю, следовательно, участок по­тока, прилегающий к поверхности, всегда находится в ламинарном режиме. Толщина пограничного слоя, отделяющая его от внешнего потенциального потока, увеличивается по длине омываемой поверхности. Понятие внешней границы пограничного слоя достаточно условно. По предложению Прандтля ее устанавливают там, где скорость течения отличается от скорости внешнего потока приблизительно на 1%.

Толщину пограничного слоя по длине обвода поверхности лопаточного профиля можно определить по полуэмпирическим формулам:

- ламинарный поток δ= S_A/(Re)^0,5

- турбулентный поток δ= S_A/(lgRe)

где S_A — расстояние от входной кромки до точки А на поверхности профиля по его обводу.

При обтекании лопаточного профиля ламинарный пограничный слой, образующийся на некотором расстоянии от входной кромки, переходит в турбулентный с сохранением ламинарного подслоя на поверхности. Толщина турбулентного слоя на спинке и корытце профиля сначала интенсивно воз­растает по потоку, затем ее рост замедляется и толщина приближается к не­которому постоянному значению, при котором пограничный слой сходит с задней кромки профиля, образуя так называемый аэродинамический след. Последний, учитывая вихреобразование в пограничном слое, представляет собой область пониженного давления - так называемый донный вакуум. Раз­ность давлений перед профилем и за ним определяет физическую основу об­разования силы сопротивления.

При определенных условиях обтекания (в основном при увеличении угла атаки) на спинке профиля в районе выходной кромки может начаться отрыв пограничного слоя от поверхности профиля. Отрыв обусловлен сово­купным действием положительного градиента давления, зависящего от ха­рактера течения, и вязкости пристенного слоя. Оторвавшиеся вихри уносятся потоком, образуя в аэродинамическом следе вихревую дорожку (дорожка Кармана). При больших значениях числа Рейнольдса вихревая дорожка ин­тенсивно размывается и становится незаметной. Рост толщины пограничного слоя, отрыв потока от поверхности и интенсивное вихреобразование ведут к увеличению силы сопротивления и потерям энергии при обтекании.

Силу сопротивления определяют экспериментально, представляя ее в виде,

P_х= с_х(ρ_∞ v²_∞/2)F_pх

где с_х — безразмерный аэродинамический коэффициент лобового сопротив­ления, найденный по результатам эксперимента; F_Pх - поверхность, по которой действует сила сопротивления.

Результирующая сила взаимодействия потока и находящегося в нем лопаточного (крылового) профиля представляет собой векторную сумму подъемной силы и силы лобового сопротивления. При этом последняя, от­клоняя направление действия результирующей силы от направления подъем­ной силы, снижает работоспособность системы "поток-профиль". Общую эффективность такой системы оценивают отношением с_у/с_х которое называ­ют коэффициентом аэродинамического качества.