гидрогазодинамика / Лекция. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГИДРОДИНАМИКИ

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГИДРОДИНАМИКИ

1. Уравнение неразрывности

Рассмотрим установившийся поток жидкости между живыми сечениями 1 и 2 (рис.1). За единицу времени через живое сечение 1 втекает в рассматриваемую часть 1-2 объем жидкости

Рис.1

Q₁ = v₁ω₁

где ω₁ - площадь живого сече­ния 1;

v₁ - средняя скорость в том же сечении.

Через живое сечение 2 за то же время вытекает объем жидкости

Q₂ = v₂ω₂

где ω₂ - площадь живого сечения 2;

v₂ - средняя скорость в том же сечении.

Поскольку форма части 1-2 с течением времени не меняется, жидкость несжимаема и в ней невозможно обра­зование пустот, объем втекающей жидкости Q₁ должен равняться объему вытекающей жидкости Q₂. Поэтому можно написать

v₁ω₁= v₂ω₂ (1)

Это уравнение называется уравнением нераз­рывности. Из уравнения (1) легко находим

v₁ / v₂= ω₂ /ω₁ (2)

т. е. средние скорости обратно пропорциональны площа­дям соответствующих живых сечений.

2. Уравнение Даниила Бернулли для частицы жидкости

Пусть частица жидкости (рис. 2) движется от точки 1 в сечении А-А до точки 2 в сечении В-В. Подсчитаем удельную энергию, которой обладает частица в точках 1 и 2. Обозначим u₁, p₁ скорость частицы и давление в точке

1 с координатой z_l а u₂, р₂ — скорость частицы и давление в точке 2 с координатой z₂. При этих обозначениях для частицы в сечении А-А:

z₁ - удельная энергия положения; p₁/ρg - удельная энергия давления;

u²₁ /2g - удельная кинетическая энергия.

Рис.2.

Для частицы в сечении В-В:

z₂ - удельная энергия положения; p₂/ρg - удельная энергия давления;

u²₂ /2g -удельная кинетическая энергия.

Полная удельная энергия частицы в сечении А-А, очевидно, равна

z₁+ p₁/ρg + u²₁ /2g (3)

а в сечении В-В

z₂+ p₂/ρg + u²₂ /2g (4)

Для частицы идеальной жидкости полная удельная энергия остаётся постоянной величиной. Для частицы реальной жидкости трехчлен (3) больше трехчлена (4), так как на пути 1-2 часть энергии израсходуется на преодоление различных сопротивлений. Эта часть удельной энергии называется потерей напора и обозначается буквой h_1-2. Тогда на основании закона о сохранении энергии можно написать

z₁+ p₁/ρg + u²₁ /2g= z₂+ p₂/ρg + u²₂ /2g+ h_1-2 (5)

Уравнение (5) называется уравнением Да­ниила Бернулли для частицы жид­кости. Все члены этого уравнения имеют размерность длины, и поэтому его можно изобразить графически (рис 2). Откладывая в каждой точке отрезка 1^o-2^o оси А последовательно координаты частицы жидкости z, высо­ты p/ρg и скоростные высоты u²/2g, получим линии 1-2, 1'-2' и 1''-2''. Линия 1-2 - это траектория движения частицы жидкости, линия 1'-2', называемая пьезо­метрической линией, показывает изменение удельной потенциальной энергии z + p/ρg, а линия 1''-2'' - изменение полной удельной энергии частицы и носит название линии энергии. Все эти линии в общем случае будут кривыми, причем линия энергии может только опускаться, так как энергия в направлении движения уменьшается.

Проведя горизонтальную прямую 1''-2''', получим для сечения В-В отрезок 2"-2'",который равен потере напора h_1-2 на пути 1-2, а вертикальные отрезки между прямой 1"-2'" и линией энергии 1''-2'' представляют со­бой потери напора на участке от сечения А-А до рас­сматриваемого сечения.

В заключение отметим, что величины z + p/ρg и u²/2g можно измерить, поставив пьезометр П и изогнутую труб­ку П' (рис.2). В пьезометре П жидкость поднимается до пьезомет­рической линии, а в трубке П' - до линии энергии. Разность уровней в П и П' даст величину u²/2g.

3. Уравнение Даниила Бернулли для потока

Уравнение Даниила Бернулли легко распространить и на поток жидкости (рис. 3) при условии, что в живых сечениях, для которых применено это уравнение, движение плавноизменяющееся.

Рассмотрим напорный поток 1-2 (рис. 3). Пусть жидкость движется от живого сечения 1 до живого сече­ния 2, а площади этих живых сечений равны ω₁ и ω₂. Подсчитаем полную удельную энергию потока для сечения 1.

Рис.3

Удельная потенциальная энергия жидкости во всех точках сечения 1-2 величина постоянная и равна верти­кальному расстоянию от плоскости сравнения X (рис. 3) до свободной поверхности (до уровня) жидкости в пьезо­метре. Удельную потенциальную энергию жидкости для сечения 1 обозначим z₁+ p₁/ρg .

Удельная кинетическая энергия жидкости, протекаю­щей через живое сечение, может быть выражена через среднюю скорость при условии введения некоторого коэф­фициента. Этот коэффициент в гидравлике обозначается а и называется коэффициентом Кориолиса. Следовательно, удельная кинетическая энергия для сечения равна α₁v²₁/2g.

Таким образом, полная удельная энергия для сече­ния 1 составляет

z₁+ p₁/ρg+ α₁v²₁/2g (6)

Совершенно аналогично для сечения 2 полная удельная энергия равна

z₂+ p₂/ρg+ α₂v²₂/2g (7)

Для потока идеальной жидкости полная удельная энергия потока остаётся неизменной. Для реальной жидкости трехчлен (6) больше трехчлена (7), так как на пути от сечения 1 до сечения 2 часть энергии израсходуется на преодоление различных сопротивлений. Обозначая поте­рянную удельную энергию (потерю напора) буквой h_1-2 можем написать

z₁+ p₁/ρg+ α₁v²₁/2g= z₂+ p₂/ρg+ α₂v²₂/2g+ h_1-2 (8)

Уравнение (8) называется уравнением Да­ниила Бернулли для потока. Коэффициент Кориолиса α, представляющий собой отношение действительной кинетической энергии к кинетической энергии, вы­численной при условии движения всех частиц в сечении с одной и той же скоростью. Опыты показывают, что α обычно изменяется в пределах от 1,03 до 1,1.

Поскольку коэффициент α близок к единице, то очень часто полагают α = 1, и тогда уравнение Бернулли для потока принимает вид

z₁+ p₁/ρg+ v²₁/2g= z₂+ p₂/ρg+ v²₂/2g+ h_1-2 (9)

Следует отметить, что удельная потенциальная энергия z + p/ρg равна расстоянию от плоскости сравнения X до уровня жидкости в пьезометре только в том случае, когда давление в сечении изменяется по гидростатическому закону. Если же давление в сечении изменяется не по гидростатическому закону, то удельная потенциальная энергия не равна расстоянию от плоскости сравнения до уровня жидкости в пьезометре. Так, например, если давле­ние по всему живому сечению равно барометрическому (для всех точек живого сечения манометрическое давле­ние р = 0), то в этом случае удельная потенциальная энергия равна удельной энергии положения, т. е. расстоя­нию от плоскости сравнения до центра тяжести потока. Для потока (рис. 3), так же как и для частицы, линия, показывающая изменение удельной потенциальной энер­гии z + p/ρg называется пьезометрической линией, а ли­ния, показывающая изменение полной удельной энер­гии, - линией энергии.

4. Уклоны гидравлический и пьезометрический

Падение линии энергии на единицу длины потока на­зывается гидравлическим уклоном и обо­значается i. Падение пьезометрической линии на единицу длины потока называется пьезометрическим укло­ном. Обозначим пьезометрический уклон i_п.В частном случае, при равномерном движении (рис.4), каждый участок потока находится в одинаковых условиях, и поэтому линия энергии и пьезометрическая линия прямые. Кроме того, при равномерном движении скорость потока во всех живых сечениях постоянна, поэтому линия энергии будет параллельна пьезометрической линии и пойдет выше ее на v²/2g.

Рис.4

По определению гидравлический уклон при длине по­тока L выразится формулой

i= h_1-2/L=[ (z₁+ p₁/ρg+ v²₁/2g)- (z₂+ p₂/ρg+ v²₂/2g)]/L (10)

По определению пьезометрический уклон:

i_п=[ (z₁+ p₁/ρg)- (z₂+ p₂/ρg)]/L

Кроме того, так как при равномерном движении пьезо­метрическая линия и линия энергии параллельны, то

i = i_n