гидрогазодинамика / Лулция.ПОТЕРИ НАПОРА ПО ДЛИНЕ

ПОТЕРИ НАПОРА ПО ДЛИНЕ

1. Основное уравнение равномерного движения

Рассмотрим прямолинейное равномерное движение жидкости. Живые сечения в этом случае могут быть про­извольной формы, но не должны изменяться по всей длине рассматриваемого участка. В таком потоке потеря напора определяется лишь потерей по длине.

Выделим из потока участок жидкости (рис. 29) длиной L и напишем уравнение Бернулли для сечений 1 и 2.

(46)

где z₁ , z₂ - ординаты центра тяжести сечений 1 и 2; p₁ и р₂ - давления в центрах тяжести этих сечений; v₁ и v₂ - средние скорости в этих сечениях;

h_1-2 - потеря напора по длине.

Рис.29

Так как движение равномерное, то v₁ = v₂ и уравне­ние (46) можно переписать так:

(47)

т.е. в случае равномерного движения разность удельных потенциальных энергий равна потере напора по длине. Для вычисления этой разности напишем сумму проек­ций на ось потока А-А всех сил, действующих на участке 1-2. Эта сумма должна равняться нулю, так как при равномерном движении все силы уравновешиваются. Эти силы следующие:

1. сила тяжести жидкости , где ω=ω₁= ω₂ - площади живых сечений;

2. силы давления на плоские сечения ω₁ и ω₂, равные Р₁= р₁ω₁ и Р₂ = р₂ω₂;

1. силы давления на боковую поверхность;

3. сила трения ; где τ – сила трения на единицу площади боковой поверхности цилиндра, а χ - смоченный периметр.

Спроектируем все эти силы на ось А-А:

(48)

Из рисунка 29 видно . Подставив значения сил в (48), получим

Разделим обе части этого равенства на ρωLg:

(49)

Откуда

(50)

Имея в виду, что (ω/χ)= R, a ( h_1-2/L)= i, из уравне­ния (50) получим

(51)

Уравнение (51) называется основным уравнением рав­номерного движения.

Величина gRi имеет размерность квадрата скорости. Величина называется динамической ско­ростью и для краткости обозначается , т. е.

(52)

2. Два режима течения жидкости

В основное уравнение равномерного движения (51) входит величина τ. Эта величина зависит от режима те­чения жидкости. Опытами установлено, что при течении жидкости возможны два режима: ламинарный, при котором жидкость движет­ся слоями, не перемеши­ваясь, и турбулент­ный, при котором части­цы жидкости перемеши­ваются.

Ламинарное и турбу­лентное течение можно наблюдать в стеклянной трубе В (рис. 30). Питание трубы В производится из бака А, а скорость течения регулируется краном С. Для наблюдения за харак­тером движения жидкости из бачка Е по тонкой трубке F в трубу подводится подкрашенная струйка такой же плотности, как и движущаяся жидкость. При малых скоростях в трубе В струйка продолжает двигаться, не перемешиваясь с ос­тальной жидкостью, что указывает на наличие ламинар­ного течения. При больших скоростях в трубе В струйка очень скоро перемешивается со всей жидкостью, что указывает на наличие турбулентного течения.

Рис.30

3. Критерий режима течения жидкости

В 1883 г. английским ученым Осборном Рейнольдсом (1842-1912 гг.) было установлено, что критерием режима течения жидкости является безразмерная величина, пред­ставляющая собой отношение произведения средней ско­рости потока v и линейного размера l, характерного для рассматриваемого случая, к кинематическому коэф­фициенту вязкости жидкости ν, т. е. величина

Этот критерий режима течения жидкости в честь Рейнольдса называется числом Рейнольдса и часто обозна­чается двумя буквами Re.

При напорном движении жидкости в круглых трубах за характерный размер l обычно принимается внутренний диаметр трубы D, а в остальных случаях гидравлический радиус R.

Опытами установлено, что ламинарный режим устой­чив в том случае, когда Re≤2320.

Переход из ламинарного в турбулентный режим зави­сит (помимо скорости движения, вязкости жидкости и раз­меров живого сечения потока) от ряда факторов, а именно: от возмущений, создаваемых у источника питания потока, от шероховатости стенок русла, от сотрясений русла по­тока и т. д. В лабораторных условиях удавалось сохранять ламинарный режим при числах Рейнольдса, превышающих 2320. Однако ламинарный режим при этом неустойчив и легко переходит в турбулентный.

На практике ламинарный режим встречается:

а) при движении очень вязкой жидкости;

б) при движении жидкости в капиллярных трубках;

в) при движении воды в грунтах.

Турбулентный режим наблюдается значительно чаще, а именно: при движении воды в реках и каналах, при дви­жении жидкости в трубах и в других случаях.

4. Законы ламинарного течения жидкости в круглой трубе

Пользуясь основным уравнением равномерного дви­жения, можно получить законы ламинарного течения лю­бой жидкости в круглой трубе; т. е. распределение ско­ростей по живому сечению, формулу для расхода и фор­мулу для средней скорости.

Распределение скоростей по живому сечению

Возьмем круглую трубу радиусом r (рис. 31). Опреде­лим скорость и в произвольно взятой точке М, отстоящей от оси трубы на расстоянии у. Проведем через точку М радиусом, равным y концентрическую поверхность. Основ­ное уравнение равномерного движения (51) для жидкости, движущейся внутри проведенной концентрической по­верхности, дает

Рис.31

(53)

(так как гидравлический радиус R = у/2)

Сила трения на единицу площади

(54)

где знак минус взят из-за того, что скорость, как пока­зывает опыт, убывает от оси трубы к стенкам, и, следова­тельно, градиент отрицателен. Подставив значение τ в формулу (53), получим

После интегрирования

(55)

Постоянную С определим из условия, что при у= r скорость и= 0, так как частицы жидкости, смачивая стенку, прилипают к ней, т. е. имеют нулевую скорость.

Подставив в формулу (53) эти значения, будем иметь

Подставив это значение С в уравнение (55), получим

(56)

Из формулы (54) следует, что скорости при лами­нарном режиме распределяются по параболиче­скому закону.

Максимальная скорость, очевидно, получится при зна­чении у = 0, т. е. на оси

Определение расхода

Как видно из изложенного, эпюра скоростей представ­ляет собой параболоид вращения с площадью основания π r² и высотой .

Расход Q равен объему этого параболоида; объем па­раболоида вращения равен половине произведения пло­щади основания на высоту, следовательно

(57)

Определение средней скорости

Средняя скорость v равна Q/ω, т. е.

или, имея в виду, что r = D/2, получим

(58)

где D - внутренний диаметр трубы.

Из выражения (58) видно, что средняя скорость v прямо пропорциональна гидравлическому уклону i в пер­вой степени.

5. Понятие о местной скорости

При турбулентном течении в любой точке пространства, занятого жидкостью, мгновенная скорость движения ча­стиц жидкости, проходящих через эту точку, с течением времени изменяется как по величине, так и по направлению. Явление быстрых изменений мгновенной скорости во времени называется пульсацией скорости.

Рассмотрим изменение и_п - проекции мгновенной скорости на ось потока. Ее изменение во времени можно изобразить графически, откладывая и_п по оси ординат, а время t по оси абсцисс (рис. 32).

Вместо переменных во времени мгновенных продоль­ных скоростей и_п в уравнения движения турбулентных потоков вводится сред­нее значение и этих скоростей (рис.32) за достаточно длительный промежуток времени (t₂ – t₁) т. е.

Рис.32

Скорость и называет­ся местной ско­ростью.

Определенный интеграл, входящий в формулу, выра­жает площадь, заключенную между пульсационной кри­вой, осью абсцисс и двумя ординатами, соответствующими начальному t₁ и конечному t₂ моментам наблюдения. Сле­довательно, местная скорость и представляет собой вы­соту прямоугольника, равновеликого этой площади.

Время (t₂ – t₁) должно быть достаточно продолжитель­ным с тем, чтобы получающаяся скорость и мало отли­чалась от скорости, найденной при очень длительном на­блюдении. Необходимую продолжительность наблюдения можно установить лишь опытным путем. Так, при опре­делении скоростей в реках и каналах на измерение ско­рости вблизи дна вследствие значительной пульсации за­трачивается около 5 минут, а у поверхности воды, где пульсация меньше, - около 2 минут.

6. Распределение скоростей по сечению турбулентного потока

На рис. 33 показана эпюра распределения местных скоростей в круглой трубе при турбулентном режиме. Из рисунка видно, что скорости весьма быстро возра­стают в прилегающем к стенке слое, а затем дальнейшее их

Рис.33

увеличение до максимального значения и_max происходит очень медленно.

Ламинарного поток характеризуется большой неравномерностью параболической эпюры скоростей (рис. 32) с отношением v/u_max = 0,5. В турбу­лентном потоке, как показывают измерения, это отношение не менее 0,75.

Согласно теории, разра­ботанной немецким ученым Людвигом Прандтлем (1875-1953 гг.), местная скорость и в какой-либо точке турбу­лентного потока (рис.33) определяется по формуле

(59)

где - динамическая скорость;

β - некоторый постоянный коэффициент;

у - расстояние от стенки до рассматриваемой точки.

Последняя формула представляет собой логарифми­ческий закон распределения скоростей в турбу­лентных потоках. Он хорошо подтверждается экспериментами. Только в прилегающем к стенке весьма тонком слое, в котором жидкость движется по ламинарному закону, логарифмический закон не применим. Толщина δ_л этого слоя ничтожно мала, примерно δ_л = 0,8v/ν.