гидрогазодинамика / Эйлер статика

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Представим в жидком теле (рис.6) прямоугольный параллелепи­пед abсd с бесконечно малыми ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат X, Y, Z/

Напишем условия равновесия этого параллелепипеда, рассматри­вая, прежде всего проекции на ось X всех действующих на него сил.

1. Поверхностные силы. Пусть на пересечении диаго­налей параллелепипеда в точке s давление равно P. Проведем через s линию, параллельную оси х. Эта линия пересечет грани ab и cd в точках m и n.

Рис.6

.

Давление в точке m будет равно , а в точке n - . Сила давления на грань ab будет равна , а на грань cd соответственно .

2. Массовые силы. Равнодействующая массовых сил дает на ось проекцию , где ρ - плотность жидкости, а X - про­екция на ось x силы, действующей на единицу массы рассматриваемой жидкости.

При отсутствии других сил для равновесия нужно выполнить условие

-+= (7)

Разделив последнее выражение на , получим

Аналогично, для проекций на оси y и z получим:

Последние уравнения можно преобразовать следующим образом:

(8)

Это и есть дифференциальные уравнения равновесия жидкости, выведенные Л. П. Эйлером в 1755 г.

Из (8) после преобразований можно получить:

(9)

Левая часть уравнения (9) представляет собой полный дифферен­циал, следовательно,

(10)

Для поверхности равного давления, т. е. для такой поверхности, все точки которой имеют постоянное давление (dP=0). Тогда и правая часть уравнения (10) тоже должна равняться нулю. Таким образом, поверхность равного давления определяется уравнением:

(11)

Левая часть уравнения (10) представляет полный дифференциал, следовательно, и правая часть должна быть также полным дифферен­циалом. При постоянной плотности это условие будет выполнено, если в правой части уравнения (10) множитель в скобках будет полным дифферен­циалом; для этого необходимо и достаточно, чтобы существовала такая функция

U (х, у, z), частные производные которой по x, y и z соответственно были равны X, Y, Z, т. е.

(12)

Воспользовавшись уравнениями (10), вместо (8) можно написать

Проинтегрировав, получим

, (13)

где С - постоянная интегрирования. Для определения ее должны быть известны в какой-либо точке жидкости давление Р₀ и функция U_o. Для этой точки по формуле (13) имеем

откуда .

Подставив это значение С в уравнение (13), получим

(14)

Пользуясь выражением (14), можно найти величину давления в разных точках жидкости. В частном случае, когда на жидкость из массовых сил действует только сила тяжести,

X = 0; Y =0; Z = -g.

Следовательно,

.

Тогда (U-U₀)= -g (z - z₀) и уравнение (12) принимает вид

Учитывая, что (z₀ - z)=h , получим