Сила давления жидкости на поверхности

1. Сила давления жидкости на плоскую фигуру

Пусть жидкость действует на наклоненную под углом α к горизонту стенку АВ (рис. 10). Определим величину силы давления p на фигуру mn, расположенную на этой стенке Для удобства рассмотрения стенку АВ повернем вокруг оси Y до совмещения с плоскостью чертежа. Тогда на плоскости чер­тежа XOY увидим фигуру mn в натуральную вели­чину (фигура mn на чер­теже заштрихована).

Обоз­начим площадь фигуры mn буквой ω. Для вычисле­ния величины силы Р опре­делим сначала силу давле­ния dР на элементарную площадку dω, находящую­ся на глубине h и имеющую координату у. Тогда

Рис.10

Но на основании формулы (16) р = ρgh, а поэтому dР = ρghdω, а так как h= у sinα (рис. 10), то

(20)

Для определения силы давления на всю фигуру mn проинтегрируем выражение dР по площади ω:

(21)

при этом ρ, g и sinα как постоянные величины вынесены за знак интеграла; представляет собой статический момент площади относительно оси X. Как известно, этот момент равен площади фигуры ω, умноженной на коорди­нату у_с центра тяжести С относительно той же оси:

Подставляя это значение в (24), получим

(22)

Согласно рисунку 10

где h_c - глубина погружения центра тяжести С, а поэтому

(23)

На основании же формулы (16) величина ρgh_c представ­ляет собой манометрическое давление р_с в центре тяжести фигуры тп, поэтому окончательно имеем

(24)

т. е. сила давления на плоскую фигуру равна давлению в центре тяжести этой фигуры, умноженному на площадь фигуры.

2. Центр давления

Точка D приложения силы давления называется цент­ром давления. Определим его координату у_о (рис, 10). Силы давления dР на элементарные площадки плоской фигуры представляют собой параллельные силы, равно­действующей которых является сила давления Р. Известно, что сумма моментов составляющих сил относительно какой-либо оси равна моменту равнодействующей относи­тельно той же оси (теорема Вариньона).

Момент равнодействующей силы Р относительно оси X ра­вен Рy_D, момент элементарной силы dР относительно той же оси равен ydР, и, следовательно, сумма моментов будет

Выразив из последнего выражения y_D и подставив значение dР из уравнения (20), а значение Р из (22), после преобразований получим

(25)

как известно, есть момент инерции I_Х площади ω фигуры относительно оси X. Применяя для него формулу перехода к оси Х_с, проходящей через центр тяжести С, получим

Подставляя это значение в формулу (25), будем иметь

(26)

Отсюда видно, что центр давления не совпадает с центром тяжести фигуры, а лежит ниже его на величину .

1. Сила давления на дно сосуда

Применим формулу (24) для вычисления силы давления на горизонтальное дно сосуда (рис. 11). Пусть площадь дна сосуда равна ω, тогда Р = р_сω, а так как в данном слу­чае давление постоянно для всех точек дна, то по формуле (14) р_с = ρgH. Следовательно, окончательно имеем

(27)

Из последней формулы видно, что сосуды различной

Рис.11.

формы (рис. 11), но с одинаковой площадью дна, наполненные жидкостью на одну и ту же высоту Н имеют одинаковую силу давления на дно. Таким образом, си­ла тяжести жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления, оказываемой ею на дно сосуда (так называемый гидростати­ческий парадокс).

Так, в расширяющемся кверху сосуде сила давления на дно меньше силы тяжести жидкости, а в суживающемся - больше. В цилиндрическом сосуде обе силы одинаковы.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ