7. Плавноизменяющееся движение

Плавноизменяющимся называется такое движение жид­кости, при котором кривизна струек и угол расхождения между ними весьма малы.

Рис.23

С достаточной точ­ностью для практики можно считать, что при плавноизменяющемся движении для всех точек данного живого сечения, например сечения М-М (рис. 23), давление изменяется по гидростатическому закону , a удельная потенциаль­ная энергия одина­кова, т. е.

Таким образом, безразлично, в какой точке живого сечения брать сумму , важно указать лишь то сечение, к которому относится эта сумма.

ГЛАВА ПЯТАЯ

Основные законы гидродинамики

1. Уравнение неразрывности

Рассмотрим установившийся поток жидкости между живыми сечениями 1 и 2 (рис.24). За единицу времени через живое сечение 1 втекает в рассматриваемую часть 1-2 объем жидкости

Рис.24

где ω₁ - площадь живого сече­ния 1;

v₁ - средняя скорость в том же сечении.

Через живое сечение 2 за то же время вытекает объем жидкости

где ω₂ - площадь живого сечения 2;

v₂ - средняя скорость в том же сечении.

Поскольку форма части 1-2 с течением времени не меняется, жидкость несжимаема и в ней невозможно обра­зование пустот, объем втекающей жидкости Q₁ должен равняться объему вытекающей жидкости Q₂. Поэтому можно написать

(35)

Это уравнение называется уравнением нераз­рывности. Из уравнения (35) легко находим

(36)

т. е. средние скорости обратно пропорциональны площа­дям соответствующих живых сечений.

2. Уравнение Даниила Бернулли для частицы жидкости

Пусть частица жидкости (рис. 25) движется от точки 1 в сечении А-А до точки 2 в сечении В-В. Подсчитаем удельную энергию, которой обладает частица в точках 1 и 2. Обозначим u₁, p₁ скорость частицы и давление в точке 1 с координатой z_l а u₂, р₂ — скорость частицы и давление в точке 2 с координатой z₂. При этих обозначениях для частицы в сечении А-А: z₁ - удельная энергия положения; ()- удельная энергия давления; () - удельная кинетическая энергия.

Рис.25.

Для частицы в сечении В-В:

z₂ - удельная энергия положения; - удельная энергия давления; -удельная кинетическая энергия.

Полная удельная энергия частицы в сечении А-А, очевидно, равна

(37)

а в сечении В-В

(38)

Для частицы идеальной жидкости полная удельная энергия остаётся постоянной величиной. Для частицы реальной жидкости трехчлен (37) больше трехчлена (38), так как на пути 1-2 часть энергии израсходуется на преодоление различных сопротивлений. Эта часть удельной энергии называется потерей напора и обозначается буквой h_1-2. Тогда на основании закона о сохранении энергии можно написать

(39)

Уравнение (39) называется уравнением Да­ниила Бернулли для частицы жид­кости. Все члены этого уравнения имеют размерность длины, и поэтому его можно изобразить графически (рис 25). Откладывая в каждой точке отрезка 1^o-2^o оси А последовательно координаты частицы жидкости z, высо­ты p/ρg и скоростные высоты u²/2g, получим линии 1-2, 1'-2' и 1''-2''. Линия 1-2 - это траектория движения частицы жидкости, линия 1'-2', называемая пьезо­метрической линией, показывает изменение удельной потенциальной энергии z + p/ρg, а линия 1''-2'' - изменение полной удельной энергии частицы и носит название линии энергии. Все эти линии в общем случае будут кривыми, причем линия энергии может только опускаться так как энергия в направлении движения уменьшается.

Проведя горизонтальную прямую 1''-2''', получим для сечения В-В отрезок 2"-2'",который равен потере напора h_1-2 на пути 1-2, а вертикальные отрезки между прямой 1"-2'" и линией энергии 1''-2'' представляют со­бой потери напора на участке от сечения А-А до рас­сматриваемого сечения.

В заключение отметим, что величины z + p/ρg и u²/2g можно измерить, поставив пьезометр П и изогнутую труб­ку П' (рис.26). В пьезометре П жидкость поднимается до пьезомет­рической линии, а в трубке П' - до линии энергии. Разность уровней в П и П' даст величину u²/2g.