6.1.2.4. Определение перемещений при изгибе способом Верещагина

Если брус состоит из прямолинейных участков с постоянной в пределах каждого из них жесткостью, то интегралы Мора можно вычислять по способу Верещагина.

Определение способом Верещагина перемещений (прогиба или угла поворота) некоторого сечения балки (или рамы) ведут в следующей последовательности:

1. строят независимо друг от друга эпюру изгибающих моментов () для «грузового» состояния и эпюру изгибающих моментов () для «единичного» состояния, соответствующего искомому перемещению;

2. обе эти эпюры разбивают на одинаковые участки, в пределах каждого из которых эпюра изгибающих моментов «единичного» состояния изменяется по монотонному линейному закону, а изгибная жесткость сечения балки (или рамы) постоянна;

3. эпюру изгибающих моментов «грузового» состояния разбивают на простейшие фигуры (прямоугольники, треугольники и т.п.), для каждой из которых определяют площадь , положение ее центра тяжести. Значения площадей и положения их центров тяжести для некоторых простейших фигур приведены в табл.6.1.

Таблица 6.1

Эпюра	Площадь	Координата центра тяжести
	= bh	=
	=	=

Окончание табл. 6.1

=

=

4. под центром тяжести каждой площади определяют ординатуна эпюре изгибающих моментов «единичного» состояния;

5. искомое перемещение определяется как алгебраическая сумма

(6.17)

где k – номер площади; m – число простейших фигур, на которые разбита эпюра изгибающих моментов «грузового» состояния. Произведение считается положительным, если часть эпюры изгибающих моментов «грузового» состояния, имеющая площадь, и соответствующая ей ординатарасположены по одну сторону от нулевой линии.

Положительное значение перемещения получается в случае, если его направление совпадает с направлением единичного силового фактора (единичной силы или момента).

6.2. Расчет статически определимых балок

Задача 1. Для заданной схемы балки (рис 6.4) написать выражения идля каждого участка в общем виде, построить эпюрыи, найтии подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при [] = 1600 кг/см= 160 МПа;q = 1 т/м = 1 10Н/м; Р = 210Н; а = 2 м;b = 4 м.

Решение

Под действием приложенных нагрузок балка работает на изгиб. По условию задачи требуется провести проектный расчет. Из условия прочности по нормальным напряжениям (6.4)расчет ведется по соотношению

.

Для определения расчетного изгибающего момента max (в опасном сечении) необходимо построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента .

1. Определение реакций опор.

Определив типы опор и мысленно заменив их соответствующими реакциями (см. рис. 6.4а), установим их величины.

Так как горизонтальные и наклонные силы отсутствуют, то . Для определения реакцийизаписываем два уравнения равновесия.

Рис. 6.4

Уравнение моментов всех сил относительно точки А

, отсюда

.

Уравнение моментов всех сил относительно точки В

отсюда

Обе реакции получились положительными. Это означает, что их действительное направление совпадает с выбранным. Для проверки правильности определения реакций опор спроектируем все внешние силы, приложенные к балке, на вертикальную ось Y:

Уравнение удовлетворяется тождественно, значит, реакции опор определены верно.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Разбиваем балку на 4 участка. Границами участков являются точки A, B, C, D, E. Положение произвольного поперечного сечения на участках характеризуется соответствующими координатами ,,,. Записываем выражение для поперечных сил и изгибающих моментов по участкам, используя выражения (6.1), (6.2) и правила знаков (см. рис. 6.2).

Участок 1: 0b. Рассматриваем часть балки, расположенную по левую сторону от сечения с координатой :

; .

Координата входит в выражение дляв первой степени (- линейная функция). Для построения эпюрыдостаточно определить значения ее ординат на границах участков:

= 0, == 30 кН;

= b, = qb= 30  104 =  10 кН.

Изгибающий момент является квадратичной функцией. Для построения квадратичной параболы необходимо определить как минимум три значения изгибающего момента, два из которых определяем на границах участков:

= 0, = 0;

= b, =кНм.

Так как поперечная сила , меняя знак в одном из сечений (обозначим его через), обращается в нуль, то в соответствии с дифференциальными зависимостями (6.3) изгибающий момент в этом сечении будет иметь экстремум. Приравнивая выражениенулю, определяем координату сечения:

; =м.

Подставляя значение = 3 м в выражение, определим экстремальное (максимальное) значение изгибающего момента на этом участке

кНм.

Найденное значение изгибающего момента будет третьим значением ординаты эпюры для построения параболы.

Участок 2: 0а. Рассматриваем равновесие части балки, расположенной слева от сечения с координатой :

кН;

(- линейная функция);

= 0, кНм;

=а, кНм.

Участок 3: 0а. Рассматриваем равновесие части балки, расположенной справа от сечения с координатой :

кН; = 0,= 0;

= а, = - 40 кНм.

Участок 4: 0а. Рассматриваем равновесие части балки, расположенной справа от сечения с координатой :

кН;

=0, кНм;

=а, кНм.

Строим эпюру (см. рис. 6.4 б), располагая ее строго под схемой балки. Положительные значенияоткладываем выше нулевой линии (которая проводится параллельно оси балки), а отрицательные - ниже.

Строим эпюру изгибающих моментов, располагая ее строго под эпюрой (см. рис. 6.3 в). Положительные значенияоткладываем выше нулевой линии, отрицательные – ниже. Используя дифференциальные зависимости (6.3) и правила, вытекающие непосредственно из метода сечений, проводим проверку правильности построения эпюри. Устанавливаем изгибающий момент в опасном сечениикНм.

3. Подбор размеров поперечного сечения балки.

Подбор сечения балки ведем из условия прочности (6.4)

см.

Используя таблицу сортамента прокатной стали для двутавров 1, по значению осевого момента сопротивления выбираем двутавр № 24, у которого289 см.

Задача 2. Для заданной расчетной схемы (рис. 6.5 а) подобрать из условия прочности деревянную балку круглого поперечного сечения при = 80 кг/см= 8 МПа; а = 0,5 м;q = 2 т/м = 20 кн/м; М = 1 тм = 10 кНм.

Решение

Под действием нагрузок, приложенных к балке, она работает на изгиб. По условию задачи требуется провести проектный расчет. Из условия прочности по нормальным напряжениям (6.4) расчет ведем по соотношению

Учитывая, что для круглого сечения получим

Для определения расчетного изгибающего момента max M необходимо построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента M.

Рис. 6.5

1. Определение реакции опор.

Так как балка имеет опору только с одной стороны, то нет необходимости определять реакции в опоре в связи с тем, что эпюры и Mможно построить, проводя рассмотрение от свободного конца балки.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Разбиваем балку на три участка (см. рис. 6.5 а). Границами участков являются сечения A, B, C, D. Положение произвольного поперечного сечения на участках характеризуется координатами Применяя метод сечений и рассматривая равновесие части балки, не содержащей защемления, записываем выражения для поперечных сил и изгибающих моментов по участкам.

Участок 1: 0   2а.

= q;= 0, = 0; = 2а, = q2a = 2020,5 =

= 20 кН;

M= = 0,M= 0; = 2а,

M кНм.

Так как поперечная сила не меняет знак на рассматриваемом участке, то в качестве третьей точки для построения эпюры M можно взять, например, = а, тогда

M= кНм.

Участок 2: 0   а.

кН;

M = 0,M кНм;

= а, M кНм.

Участок 3: 0   а.

кН;

M

=0, кНм;

=а,

= –20 кНм.

По полученным значениям строим эпюры (см. рис. 6.5б) и M(см. рис. 6.5в).

Используя дифференциальные зависимости (6.3) и правила, вытекающие непосредственно из метода сечений, проводим проверку правильности построения эпюр и M.

Устанавливаем изгибающий момент в опасном сечении max M= 20 кНм.

3. Подбор размеров сечения балки.

Диаметр балки

мм.

Принимаем d = 295 мм.

6.2.1. Вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения

Вопросы для самопроверки

1. Какой вид деформирования называют плоским прямым изгибом?

2. Чем отличается чистый изгиб от поперечного?

3. Как определяется изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении балки?

4. Как определяется поперечная сила, возникающая в поперечном сечении балки?

5. Какое правило знаков принято для изгибающего момента и поперечной силы?

6. Какие дифференциальные зависимости установлены Д.И.Журавским для поперечного изгиба?

7. Как определяют нормальные напряжения при плоском прямом изгибе?

8. Как проводится расчет на прочность при изгибе по нормальным напряжениям?

9. Как и в каких случаях проводится расчет на прочность по касательным напряжениям?

10. Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластичных материалов?

Задачи для самостоятельного решения

1 – 5. Для заданной расчетной схемы стальной балки, приняв а = 1 м, q= 10 кН/м,  = 160 МПа, построить эпюры поперечных сил , изгибающих моментов M и подобрать поперечное сечение в форме: 1) швеллера (рис. 6.6,а), 2) квадрата (рис. 6.6,б), 3) двутавра (рис. 6.6,в), 4) круга (рис. 6.6,г), прямоугольника (рис. 6.6,д), для которого h = 2в.

Рис. 6.6

94