8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла.
Например,
(8.10)
-это линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Здесь y(x) – неизвестная функция,
f(x) и r(x,t) – заданные функции.
Функцию r(x,t) называют ядром уравнения (8.10),
a и b=const.
Изменим (8.10) следующим образом.
(8.11)
Получим линейное интегральное уравнение Вольтерра 2го рода.
Если
в (8.10) и (8.11)
,
то уравнения будут называться однородными.
Если искомая функция y(x) входит только под знак интеграла, то (8.10) и (8.11) преобразуются в уравнения Фредгольма и Вольтерра 1го рода.
или
.
Совершенно очевидно, что большую роль в решении будет играть ядро уравнения, т.е. функция r(x,t). Важный класс уравнений Вольтерра получается, если ядро r(x,t) зависит только от разности
r(x,t)=r(x-t).
Уравнение в этом случае имеет вид.
(8.12)
Его еще называют уравнением типа свертки.
Пусть входящие в уравнение (8.12) функции удовлетворяют условиям оригинала, тогда может быть найдено изображение функций по Лапласу
Пользуясь формулой свертки, получим операторное уравнение
.
Откуда
.
Для
Ф(р)
находим
- решение интегрального уравнения
(8.12).
Пример. Решить интегральное уравнение
.
Решение:
Так же решаются и системы интегральных уравнений.
Пример. Решить систему интегральных уравнений
в
области изображений получим:
преобразовав,
будем иметь:
или,
решим
методом Крамера:
8.7 Линейные интегро-дифференциальные уравнения.
Линейными интегро-дифференциальным уравнением называется уравнение вида:
,
где
- известные функции,
-
неизвестная функция.
При решении таких уравнений ставятся начальные условия:
Если
все
,
то не нарушая общности можно получить
,
кроме того, будем рассматривать ядра
типа
и тогда
.
Если,
все входящие в последнее уравнение
известные функции являются оригиналами,
то и искомая функция
является оригиналом и можно применить
операторный метод решения.
Пример: Решить уравнение
,
при
начальных условиях:
.
Решение:
9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики
Методы операционного исчисления, основанные на идее использования преобразования Лапласа являются наиболее эффективным при решении основных задач для дифференциальных уравнений в частных производных.
Неизвестная
функция
,
удовлетворяющая дифференциальному
уравнению в частных производных и
заданным условиям, может быть определена
с помощью однократного
либо
двукратного
преобразования
Лапласа.
В первом случае преобразование Лапласа применяют к дифференциальному уравнению в частных производных по одной из двух независимых переменных в предположении, что другая остается неизменной. Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно изображения искомой функции интегрируется не операционным методом, а классическим. Возвращаясь от полученного изображения к оригиналу, находим решение поставленной задачи.
Во
втором случае к обыкновенному
дифференциальному уравнению относительно
изображения искомой функции опять
применяют преобразование Лапласа, но
по другой независимой переменной. В
результате получают алгебраическое
уравнение, из которого находят «двукратное»
изображение искомой функции. С помощью
двух обратных преобразований Лапласа
восстанавливается искомая функция
Решение дифференциального уравнения, найденное с помощью двукратного преобразования Лапласа, не зависит от того, в какой последовательности применялись прямые и обратные преобразования.
Удачно выбранный порядок в двукратном преобразовании может значительно облегчить решение задачи.
Операционный метод удобнее применять при решении задач математической физики, если:
начальные условия нулевые;
существуют изображения для всех функций, входящих в уравнение;
изображение искомого решения удовлетворяет следующим условиям:
Пример 1
Найти
решение уравнения
,
если
Применим
преобразование Лапласа по переменной
,
тогда
Заданное уравнение примет вид:
и решим методом Бернулли.
Согласно этому методу,
Осуществляя данную подстановку в уравнение, получим
или
Решая первое уравнение системы, получим
или
Подставим найденную функцию W во второе уравнение, будем иметь:
Откуда
Тогда
Так как
-
изображение
по Лапласу, то
и тогда принимаемС=0,
то есть
Возвращаясь к оригиналу, получим
Пример 2.
Найти
решение уравнения
,
удовлетворяющее условиям
,
Сначала
применим преобразование Лапласа по
переменной
,
получим
Условие
примет вид
Применим
преобразование Лапласа еще раз, но уже
по переменной
,
получим
Это
алгебраическое уравнение относительно
«двукратного» изображения -
Решим его:
Возвращаясь к оригиналу по p, получаем:
Возвращаясь к оригиналу по q, получаем:
Пример 3.
Найти
формулу колеблющейся струны, закрепленной
на концах, если начальные скорости ее
точек равны нулю, а начальные отклонения
заданы соотношением
Подстановка
задачи: найти решение уравнения
,
,
неравное тождественно нулю, удовлетворяющее
граничным условиям:
Будем решать эту задачу методом Лапласа. Применим преобразование Лапласа по переменной t, предварительно переписав уравнение в виде
Будем иметь
Граничные условия при этом примут вид:
Относительно
изображения искомого решения – функции
получим обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка, неоднородное,
с правой частью специального вида. Его
решение
где
- общее решение однородного уравнения
Составим и решим характеристическое уравнение
Тогда общее решение однородного уравнения примет вид
-
частное решение неоднородного уравнения.
Его вид с точностью до неопределенных
коэффициентов будет
Для нахождения B и C вычислим:
и подставим в уравнение:
Отсюда
имеем:
Тогда
Для нахождения С1 и С2 удовлетворим граничным условиям:
Очевидно, что С1= С2=0.
Таким
образом, имеем
Возвращаясь к оригиналу, получим:
Пример 4.
Найти
решение уравнения теплопроводности
, удовлетворяющие начальному условию
,
где
и граничным условиям
и
.
Применяя к уравнению теплопроводности преобразование Лапласа по переменной t, получим:
Граничные условия при этом примут вид:
Перепишем полученное обыкновенное дифференциальное уравнение в виде:
Его
общее решение:
где
-
общее решение однородного уравнения
Составим и решим характеристическое уравнение:
Тогда
Второе
слагаемое
есть частное решение неоднородного
уравнения.
Оно
имеет вид
.
Тогда
Подставляя в уравнение, находим:
Отсюда
Тогда
Удовлетворим граничным условиям:
При этом
Возвращаясь к оригиналу, получим:
или
