10С) Интегрирование изображений.

Если сходится, то

.

Интегрирование изображения в пределах от р до соответствует делению оригинала наt.

Доказательство:

Этот интеграл – есть изображение по Лапласу функции .

Пример. Найти изображение функции .

Решение:

, тогда

11С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)

Рассмотрим некоторые понятия:

сверткой двух функций f(t) и g(t) называется интеграл

.

Этот интеграл является функцией переменной t.

Свертка коммутативна f*g=g*f.

Если f и g – оригиналы, то и f*g тоже оригинал.

Операции свертки оригиналов соответствует произведение изображений.

.

Это и есть теорема умножения изображений Бореля.

Доказательство:

.

Рассмотрим это выражение как двойной интеграл по бесконечной областиD (рис.4.6).

Пределы интегрирования:

по от до ;

по t от 0 до .

Изменим порядок интегрирования

ч.т.д.

Рассмотрим специальный случай теоремы умножения. Найдем оригинал изображения pF(p)G(p)

, тогда по теореме Бореля

Эта формула носит название интеграл Дюамеля.

12С) Умножение оригиналов.

Подобно тому, как произведению изображений соответствует свертка оригиналов, так и умножению оригиналов соответствует свертка изображений в комплексной плоскости.

Выражение справа - свертка изображений.

П

уть интегрирования () показан на рис.4.7.

Полученные результаты занесем в таблицу 2., которой удобно пользоваться при решении примеров и задач.

Таблица2.

1.линейность:
2.Теорема подобия
3.Теорема смещения
4.Теорема запаздывания
5.Теорема опережения
6.Предельные соотношения для изображения
7.Диффенцирование оригинала …	…
8.Дифференцирование изображения …	…
9.Интегрирование оригинала …	…
10.Интегрирование изображения
11.Умножение изображений (теорема Бореля)
12.Интеграл Дюамеля

5.Примеры нахождения изображений с помощью таблиц 1 и 2

1).Найти изображение для оригинала .

Решение. .

2).Найти изображение для оригинала .

Решение.

3).Найти изображение для оригинала

Решение.

4).Найти изображение для оригинала .

Решение.

Так как (теорема смещения), то

и

.

5).Найти изображение для оригинала .

Решение.

Так как , то

6).Найти изображение для оригинала .

Решение.

Учитывая, что получаем:

.

7).Найти изображение для оригинала .

Решение.

Так как , то

;

но если бы , то по теореме запаздывания:

, получили бы

.

8).Найти изображение для оригинала .

Решение.

Так как по умолчанию , то преобразуем

, тогда.

.

9).Найти изображение для оригинала .

Решение.

По теореме запаздывания будем иметь:

10) Найти изображение для оригинала .

Решение.

Применяя теоремы запаздывания и смещения, получим

11) Найти изображение для оригинала .

Решение.

Применяя теорему дифференцирования изображения:

имеем в данном случае:

потому

12)Найти изображение для оригинала .

Решение.

Применяя теорему смещения:и используя результат примера 11, получим

13)Найти изображение для оригинала .

Решение.

Применяя теорему интегрирования изображения:

, имеем в данном случае:

тогда

14)Найти изображение для оригинала .

Решение.

На основе свойства интегрирования оригинала:

имеем в данном случае:

. Для нахождения применим теорему интегрирования изображения:

в данном примере

поэтому

Тогда