10. Применение операторных методов для анализа линейных систем

При анализе и синтезе систем автоматического управления и регулирования устройств связи широкое распространение получили следующие основные методы математического исследования: операторный метод, метод интеграла свертки (временный метод) и частотный метод. Эти методы, как и классический, основанный на теории дифференциальных уравнений, играют важнейшую роль в теории линейных систем. Все они связаны друг с другом, но каждый из них имеет свои особенности, которые оказываются более приспособленными для решения специфических задач, встречающихся в технике.

1). Передаточная функция системы.

Линейными системами в теории электрических цепей, автоматического регулирования и управления называют системы, функционирование которых во времени описывается линейными дифференциальными уравнениями (рис.10.1).

Обозначим:

f(t) – входное воздействие на систему (входной сигнал);

x(t) – реакция (отклик) системы на входное воздействие (выходной сигнал);

t – время.

А – оператор линейной системы:

x(t)= А[ f(t)],

А: А[ λ₁ f₁(t)+ λ₂ f₂(t)] = λ₁ А[ f₁(t)] + λ₂ А[ f₂(t)].

Выход и вход линейной системы связаны линейным дифференциальным уравнением:

, (10.1)

где – символический многочлен:

, (10.2)

().

Многочлен называют оператором линейного дифференциального уравнения.

Перейдем к решению задачи о связи выходного и входного сигналов системы в плоскости комплексной переменной . Такой переход осуществляется путем преобразования Лапласа

,

где - функция-оригинал,

- изображение ,

- оператор преобразования Лапласа.

Обратный переход во временную область действительной переменной t осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа

,

- оператор обратного преобразования Лапласа (на месте записывается преобразуемая функция).

Как известно, операторы иявляются линейными операторами.

Перейдем к изображениям членов дифференциального уравнения (10.1) при нулевых начальных условиях:

.

Получим

, (10.3)

Где (10.4)

-характеристический многочлен, соответствующий символическому многочлену (10.2) в плоскости изображений.

Обозначим:

, где (10.5)

- изображение входного воздействия на систему;

- изображение реакции системы на входное воздействие.

Функция называется передаточной функцией системы. Эта функция отражает внутреннюю структуру исследуемой системы. Она играет роль оператораА в плоскости изображений.

Положим , где- импульсная функция Дирака.

Учитывая, что , получим

. (10.6)

Таким образом, для нахождения передаточной функции системы достаточно получить откликсистемы на импульсное воздействиеи найти его изображение. Знаниепозволяет определить, используя известную в операционном исчислении теорему умножения, реакцию системы на любое входное воздействие. Найдем оригинал для:

.

Из уравнения (10.5) оригинал найдется по теореме умножения изображений:

(10.7)

(- свертка функцийи).

При практическом применении операторных методов исследования линейных систем передаточная функция находится из анализа физических принципов функционирования входящих в устройство элементов, описания их с помощью дифференциальных и интегральных операторов и последующего перехода к изображениям.

Формула (10.6) позволяет исследовать анализируемую реальную систему на адекватность выбранной математической модели. Для этого нужно определить из эксперимента реакцию системы на импульсное воздействие и сравнить с , полученной из математической модели.

2).Характеристики элементов электрических цепей в операторной форме.

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую активное сопротивление, катушку индуктивности и конденсатор (реактивные элементы) (рис.10.2).

Рис. 16.

Рис.10.22

Найдем передаточные функции этих элементов.

2.1. Активное сопротивление.

По закону Ома

.

Переходя к изображениям, получим

, .

2.2. Индуктивное сопротивление.

Обозначим L – индуктивность катушки. Из электротехники известно:

- напряжение на катушке индуктивности.

Переходя к изображениям (при ), получим:

.

Можно интерпретировать (в математическом отношении) как индуктивное сопротивление элементаL в операторной форме в плоскости изображений.

2.3. Емкостное сопротивление.

Из электротехники известно:

- напряжение на конденсаторе емкостью С.

Полагая и.

Как и в предыдущем случае, можно говорить о сопротивлении конденсатора в операторной форме

.

Преобразование Лапласа является линейным. Поэтому известные в электротехнике законы Кирхгофа имеют свои аналоги в плоскости изображений:

1) - 1-ый закон Кирхгофа (сумма изображений токов в узле равна нулю);

2)- 2-ой закон Кирхгофа (сумма изображений падений напряжения на элементах электрической цепи в замкнутом контуре, не содержащем источников э.д.с. (электродвижущей силы) равна нулю).

Использование этих законов позволяет находить общее сопротивление электрической цепи при последовательном и параллельном соединении активных и реактивных элементов по правилам, принятым для расчетов сопротивлений соответствующих соединений активных сопротивлений.

3) Примеры нахождения передаточных функций электрических цепей.

3.1. Дифференцирующее звено (рис. 10.3).

Рис.10.3

;

.

Произведение имеет размерность времени (сек). Величину называют постоянной времени -цепи. Поэтому передаточная функция рассматриваемой -цепи

. (10.8)

Если (физически это означает, что, где наибольшая частота в спектре входного воздействия), то

; .

Переходя к оригиналам, получим

.

Поэтому рассматриваемую цепь называют дифференцирующим звеном.

Для оценки качества (по различным критериям) электрических, электромеханических систем, систем автоматического управления и регулирования переходя к изображениям, получим

проводят исследование (как теоретическое, так и экспериментальное) реакции системы на единичное входное воздействие («скачок»).

, .

при единичном входном воздействии называют переходной функцией и обозначают через . Знание переходной функциипозволяет определить выходной сигналсистемы при любом входном воздействии. Действительно, если, то

Поэтому из (10.5)

,

где . При произвольном входном воздействииформулу (10.5) запишем в виде

По формуле Дюамеля

.

Для исследуемой цепи

.

Переходя к оригиналу (используя таблицу изображений), получим

.

График переходной функции изображен на рис.10.4.

3.2. Интегрирующее звено (рис 10.5).

Рис.10.5

В операторной форме

,

,

. (10.9)

Звено с такой передаточной функцией называют апериодическим звеном первого порядка.

Если (физически это означает, что, где наименьшая частота в спектре входного воздействия), то

.

Переходя к оригиналам, получим

.

Поэтому такое звено называют интегрирующим.

Для определения переходной функции воспользуемся формулой (10.7)

,

,

.

График переходной функции изображен на рис.10.6.

3.3. Колебательное звено (рис.10.7).

Рис.10.7

В операторной форме

,

,

.

Величина LC имеет размерность (сек²).

Обозначив ,, приведем передаточную функцию колебательного звена к стандартному виду:

. (10.10)

Найдем переходную функцию колебательного звена:

,

. (10.11)

Для нахождения выполним следующие элементарные преобразования:

1) - выделение полного квадрата в знаменателе; рассмотрим случай (при этом квадратному трехчлену в знаменателе соответствует пара комплексно-сопряженных корней);

2) разложение правильной дроби на простейшие:

;

Коэффициенты А, В, С найдем методом неопределенных коэффициентов:

, ,.

3)

Подставив полученное выражение в (10.11) и переходя к оригиналам (используем таблицу изображений по Лапласу), получим

График переходной функцииколебательного звена приведен на рис.10.8.

Замечание.

При корни знаменателя вдействительные отрицательные, поэтомубудет содержать слагаемые видаилии колебательность вотсутствует.

Если , то

, и

Используя таблицу изображений, найдем оригинал:

.

График переходной функции приведен на рис.10.9

Обозначив , передаточную функцию можно представить в виде

.

Звено с такой передаточной функцией называют апериодическим звеном второго порядка. Это звено эквивалентно двум последовательно соединенным апериодическим звеньям с одинаковыми постоянными времени.

При оба корня знаменателя передаточной функции будут вещественными и отрицательными. Поэтому,может быть представлена в виде

,

где ,.

При единичном входном возмущении

Переходя к оригиналу, получим

,

где .

Рассматриваемое звено, как и в предыдущем случае, называют апериодическим звеном второго порядка, которое эквивалентно двум последовательно соединенным апериодическим звеньям первого порядка с различными постоянными времени и.

График переходной функции апериодического звена второго порядка представлен на рис. 10.10

4). Частотные характеристики линейных систем.

Общее решение уравнения (10.1) имеет вид:

Где - общее решение соответствующего однородного уравнения;

- частное решение данного уравнения.

Оператору уравнения (10.1) соответствует характеристическое уравнение

.

Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части (), то. Это обусловлено тем, чтосодержит слагаемые вида(для простого корня) или(дляk – кратного корня), модули которых стремятся к 0 при (, т.к.). Функцияотражает собственные колебания системы, которые с течением времени затухают. Поэтому при- установившийся режим (колебания системы обусловлены входным воздействием).

Пусть ,,(множество комплексных чисел).

Будем искать частное решение в виде ,- неизвестное число, подлежащее определению.

; и вообще,

.

Подставив в уравнение (10.1), получим

.

Функция характеризует частотные свойства линейной системы. Нетрудно видеть, что .Представим в виде:

,

- частотная характеристика системы;

- амплитудно-частотная характеристика системы (коэффициент усиления системы на частоте );

- фазочастотная характеристика системы (она выражает сдвиг по фазе выходного сигнала системы по отношению к входному сигналу на частоте ).

Найдем частотные характеристики электрических цепей, рассмотренных в 3.1, 3.2, 3.3.

4.1. Дифференцирующее звено.

; ;;

; .

График амплитудно-частотной характеристики приведен на рис.10.11.

Низкие частоты подавляются (коэффициент усиления уменьшается при уменьшении ). Устройство называют фильтром верхних частот.

4.2. Интегрирующее звено.

; .

; ;.

График приведен на рис 10.12.

Устройство называют фильтром низких частот (высокие частоты подавляются).

.

4.3. Колебательное звено.

,

,

,

,

.

Нетрудно показать, что на этой частоте имеет экстремум (max). Частота называется резонансной частотой колебательного контура.

.

На рис. 10.13 приведена амплитудно-частотная характеристика колебательного звена.

Рис. 10.13

При малых потерях в колебательном контуре (R – малая величина) величина мала и при частотах входного воздействия близких кнаблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний выходного напряжения (происходит «раскачка» системы). Это явление носит название резонанса.

Для исследования процессов в колебательном звене при резонансе частотный метод использовать нельзя, т.к. он не отражает переходных процессов и пригоден лишь для исследования установившихся режимов. Поэтому воспользуемся операторным методом исследования, положив (физически это означает отсутствие потерь в колебательном звене, что имеет место приR = 0). Подобная идеализация реальных процессов позволяет выявить существенные моменты, имеющие место при резонансе.

-

передаточная функция колебательного звена при отсутствии потерь. Частоту называют собственной частотой колебательного звена. Найдем выходной сигнал колебательного звена при(амплитуду выходного сигнала можно принять равной 1).

;

Используя таблицу изображений, найдем :

.

Слагаемое отражает как раз тот факт, который был назван «раскачкой системы»: при воздействии на систему с частотой равной резонансной, происходит увеличение амплитуды колебаний выходного сигнала.

Эффект резонанса широко используется, например, в радиотехнических устройствах при выделении полезного сигнала заданной частоты из всего спектра сигналов, поступающих в приемное устройство. В механических системах явление резонанса может быть использовано при создании вибрационных машин (амплитуда колебаний вибратора должна быть максимально большой). В качестве отрицательного результата явления резонанса можно рассматривать разрушение механических конструкций при совпадении собственной частоты их колебаний и частоты внешнего возмущающего воздействия.

4.4. Фазоопережающее звено.

Фазоопережающие звенья используются для достижения устойчивости систем автоматического регулирования и коррекции их динамических характеристик. Поэтому такие звенья называют корректирующими. Практически корректирующие звенья часто реализуются на операционных усилителях, включая необходимые активные и реактивные элементы на выходе усилителя или в обратную связь.

На рис.10.14 приведена простейшая схема фазоопережающего звена.

Рис.10.144

Передаточная функция устройства находится по формуле

, где

- операторное сопротивление цепи обратной связи операционного усилителя (ОУ),

- операторное сопротивление входной цепи ОУ.

В рассматриваемой цепи ;

- операторное сопротивление параллельно соединенных конденсатора и резистора .

, где .

Рассматриваемое корректирующее устройство имеет передаточную функцию

,

где k – коэффициент усиления звена на нулевой частоте;

- амплитудно-частотная характеристика звена (АЧХ);

- фазочастотная характеристика звена (ФЧХ).

В качестве примера рассмотрим корректирующее фазоопережающее звено с параметрами:

,

,

.

- часть ветви гиперболы с полуосями a = 1, b = 10 (ось - мнимая ось).

График АЧХ представлен на рис. 10.15.

.

График ФЧХ представлен на рис. 10.16.

Из графиков следует, что коэффициент усиления звена при больше 1 и на любой частоте выходное напряжение опережает по фазе входное напряжение (поэтому звено и называют фазоопережающим).