УДК 51

Операционное исчисление и некоторые его приложения.

Математика-13: Учеб. пособ. / М.А. Евдокимов, Л.Г. Волкова; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2007. 108 с.

Продолжает серию учебников по высшей математике, издаваемых на кафедре высшей математики и прикладной информатики. Предназначено для студентов, которые изучают раздел математики, посвященный операционному исчислению, и преподавателей, ведущих занятия по данной теме.

ISBN

Ил. 33. Библиогр.: 8 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Самарского государственного технического университета

Рецензент д-р техн. наук Э.Я. Раппопорт

ISBN

Введение

В веке многие математики (в том числе у нас в России, например, М.Е.Ващенко - Захарченко и А.В.Летников) занимались так называемым символическим исчислением. В основе этого исчисления лежало построение математического анализа как системы формальных операций над символом (-независимая переменная).

Например, - ная производная функции представляется как результат действия на символа , левая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

- как результат действия на символа.

.

Символическое исчисление оказалось довольно удобным для решения различных задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями. Его популяризации в веке в сильной мере способствовал английский инженер-электрик О.Хевисайд, который успешно использовал символическое исчисление в электротехнических расчетах.

Обоснование символичного или, как стали называть, операционного метода было дано лишь в двадцатых годах двадцатого столетия Бромвичем и Карсоном, связавшими этот метод с известным из теории функций комплексного переменного методом интегральных преобразований, которым с успехом пользовались Коши, Лаплас и другие математики. При этом символ (оператор) получил новое толкование, как комплексная переменная , а вместе с ним новую трактовку получил и сам операционный метод.

Операционный метод получил также иное строгое обоснование с помощью общей теории операторов, развитый в функциональном анализе, представленной в работах В.А.Диткина и А.П.Прудникова. В последнее время весьма оригинальную и простую трактовку операционного метода дал польский математик Ян Микусинский.

В данной работе излагаются основные положения операционного метода и особое внимание уделяется применению его для решения различных задач.

1. Понятие оригинала

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция действительного аргумента , которая удовлетворяет следующим условиям:

1. должна быть кусочно-непрерывной при (то есть должна быть непрерывной или иметь конечное число точек разрыва рода).

2. при . (Это означает, что нас не интересует предыстория процесса).

3. При возрастании модуль может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции: т.е. существуют такие постоянные ,, что для всехвыполняется неравенство:

.

Число называется показателем роста , для ограниченных оригиналов можно, очевидно, принять .

С точки зрения физических приложений условий 1) и 3) не нуждаются в пояснениях – они, очевидно, выполняются для большинства функций , описывающих физические процессы (интерпретируется как время). Условие 2), на первый взгляд, кажется искусственным, однако, следует иметь в виду, что операторный метод приспособлен к задачам, приводящим к решению дифференциальных уравнений с данными начальными условиями. В таких задачах вся информация о ходе процесса до момента начала наблюдения, за которой, конечно, можно принять момент, содержится в начальных условиях. Таким образом, и условие 2) физически, вполне, естественно.

П

ростейшей функцией – оригиналом является, так называемая, единичная функция Хевисайда (рис.1.1):

T

Очевидно, умножение нагасит эту функцию для и оставляет без изменения для; если функция удовлетворяет условиям 1) и 3) и не удовлетворяет 2), то произведение

будет удовлетворять условию 2), т.е. будет оригиналом (например, (рис.1.2)).

f(t)=sin(t)

Для простоты записи будем, как правило, опускать множитель , условившись, раз и навсегда, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных (например, вместо будем писать 1, вместо- простои т.д.).

Пример: Проверить, являются ли функции ,,оригиналами.

Решение: Функция является оригиналом, так как все условия выполнены:М = 3, ; функцияне является оригиналом, так как в точкеt = 3 имеет разрыв функции второго рода; функция не является оригиналом, так как

для любых M, s и t > 0.