Бабаш А.В., Шанкин Г.П. Криптография (распознано не всё)

502

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (а)=>(б). Так как Т(и) = ят -1, то все последовательности и, х и , х т_1и, гдет = яш-1,

различны и принадлежат Ьр(Р)\{(0)}. Поскольку Щ(Р)\{(0)}| = ^ш-1= т, то указанная система последовательностей исчерпывает все множество Ьр(Р)\{(0)}, Следовательно, ей принадлежит и последовательность V.

(б ) => (в). Так как ненулевая ЛРП V е Ьр (Р) имеет вид у=хки и по условию (Ми (х), х) =е, то по теореме 5 (б) Му (х)= Ми (х). Таким образом, минимальный многочлен любой ЛРП V еЬр (Р)\{(0)} равен Р(х), и по следствию теоремы 5 Р(х) неприводим над Р. Тогда по утверждению 14 Т(Р)=0(Р)=огс/а; и из равенств Т(Р)=Т(и)= цш-1 сле­ дует, что а — примитивный элемент поля С>.

(в) => (г). При условии (в) по утверждению 14 Т(Р)=огс/а= яш-1. Импли­

кация (г) => (а) очевидна.

Замечание 9. Если и - ЛРП максимального периода яш-1 над полем Р=ОР((}) и Р < Р’ = ОР(я*), то при 1 > 1 последовательность и уже не является ЛРП максимального периода над Р’, поскольку Т(и) < ^Ш1-1.

2. Следующее важное для практических приложений свойство ЛРП и макси льного периода т= ят -1 над Р=ОР((1) показывает, что она в некотором смысле хорошо

"имитирует" случайную последовательность элементов поля Р, в которой все элементы

1 :

из Р встречаются с одинаковой вероятностью — .

Я

Зафиксируем числа 1Ь ..., 1Ге 0, X —1 и элементы аь ..., аг е Р

,К , Иг

системы уравнении

11(1+10=8! и(1+12)=а2, ..., и(1+1г)=аг.

Отметим, что если бы последовательность и была описанной выше случайной последовательностью, то при достаточно большом т должно было бы выполняться приблизительное равенство

1 1 „ К Д Г ^

Я

а,,К ,аг

Оказывается, это равенство (при некоторых ограничениях) выполняется и для

ЛРП и.

Теорема 16. Пусть и - ЛРП максимального периода т=цт -1 над полем Р=ОР(я) и 0 < 11 < 12 < ... < 1г < т -1. Тогда для любых аь еР справедливы ра­

503

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как и - ЛРП ранга т и периода х, то система векто-

ров

и (о,т-1),и (1,т)к ,и(т-1,т + т - 2 )

системы уравнений и(1-Ы1)==а| и(1+12)=а2, ..., и(П-1г)=аг. равно числу ненулевых векторов

из Р (т), у которых координаты с номерами 11 ,... Дгравны, соответственно, аь ...,

аг. Это число, очевидно, описывается равенствами указанными в формулировке те­ оремы 16.

3. Согласно теореме 15, задача построения ЛРП максимального периода Яш-1 над полем Р=ОР(я) сводится к построению регулярного многочлена Р(х)еР[х], удовлетворяющего условиям пункта (г) этой теоремы.

Определение 17. Регулярный *многочлен Р(х) над полем Р=ОР(я), имеющий степень т и период я"1- 1 , называется многочленом максимального периода (или

примитивным многочленом) над полем Р.

Заметим, что ввиду эквивалентности утверждения (в) и (г) теоремы 15, любой многочлен, удовлетворяющий условиям определения 17, имеет в поле (3=ОР(яш) т ко­ рней, каждый из которых есть примитивный элемент ф, и число многочленов максима­

льного периода я™-1 над (3 равно — ф(Чт “ 1) (где ф —функция Эйлера).

т

Построение многочлена максимального периода над полем Р осуществляется, как правило, путем построения неприводимого многочлена Р(х) степени т над Р с про-* веркой условия Т(Р)= я”1-1 по следующему критерию.

Утверждение 15. Неприводимый многочлен Р(х) е Р[х] степени т > 1 являет­ ся многочленом максимального периода над полем Р тогда и только тогда, когда Р(х) ф х и для каждого собственного простого делителя р числа ^ т- ^ выполняется условие:

Р(х) не делит X р -е.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Т(Р)=1. Так как Р (х) неприводим над Р=ОР(я), то 1 | Яш - 1 и условие 1 < я"1- 1 равносильно тому, что для некоторого собственного просто­

дт-1

условие: Р(х) не делит X р -е.

Следствие. Если 2Ш-1 - простое число, то любой неприводимый над СР (2) многочлен степени т есть многочлен максимального периода.

Пример 14. Рассмотрим многочлен Р (х)'=х3-х-2 над Р=ОР(3). Так как Р(х) не имеет корней в Р, то он неприводим. Число ят -Л^З3-1=26 имеет простые делители 2 и

13. Очевидно, что____________ ,

504

Далее, из сравнений по модулю Р(х)

х3 = х + 2, х 4 г х 2 + 2х, х8 = (х 2 + 2х)2 = 2х2 + 2

тельно, все неприводимые многочлены степеней 2, 3, 5 над СР (2) являются многочле­

ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ КРИПТОГРАФИЧЕ­ СКИХ СРЕДСТВ И МЕТОДОВ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

ГЛАВА 4. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СТОЙКОСТЬ ШИФРОВ. ТЕОРЕТИКО­ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ШИФРОВ