Бабаш А.В., Шанкин Г.П. Криптография (распознано не всё)

404

Применяя к обеим частям этого отношения отображение я ^ 1|/ получим:

я [1\1/(а,с,Ь)е{(а,Ь),(а,с),(с,Ь)}.

Но такое отношение невозможно, так как никокое слово длины 3 не может иметь своим содержанием множество {(Ь,а),(а,с),(с,Ъ)} . Таким образом, случай 1 невозможен. •

Такие же рассуждения относительно второго отображения, примененные к слову (с,а,Ъ), приводят к заключению о его невозможности.

Действительно,

(с, а, Ь)б{(с,а), (а, Ь), (с, Ь)}

приводит к отношению

я [ 1\|/(с, а, ь)е{(а, с), (Ь, а), (с, Ь)},

переставляет буквы ни в каких словах, либо переставляет их во всех словах. Применяя рассуждения, аналогичные предыдущему, с использованием

леммы 1 получим, что проекция я ^ 1|/ на П ^ (а ],а 2 ,а з) совпадает либо с 3 ,

либо с тождественным отображением Е.

Из приведенных утверждений следует справедливость теоремы для алфавитов О мощности 2 и 3. Теперь мы можем доказать ее справедливость

для слов любого алфавита П, |0 | ^ 4 .

Разобьем множество букв алфавита П на,подмножества оц,...,а^,

обладающие следующими свойствами:

405

таки на О (°Ч+1/ одновременно либо совпадает с 0 , либо с Е. Так как это

имеет место для всех ^ = 1,Х—1, то это верно и для о!2\ Применяя лемму 3 и

метод индукции, отсюда получаем, что на совпадает либо с

отображением 0 , либо является тождественным отображением Е. Теорема доказана.

Содержание теоремы другими словами можно сформулировать следующим образом: всякий шифр, не размножающий искажений типа пропадания букв в шифрованном тексте, есть либо шифр простой замены, либо произведение шифра простой замены и частного вида шифра перестановки, заключающегося в инверсной записи текста (справа налево).

Заметим, что результат не изменится, если искажения будут выражаться в появлении лишних знаков в шифрованном тексте. Таким образом, сложные шифры (отличные от указанных выше простых шифров) распространяют искажения типа пропуска-вставки знаков в канале связи. Это означает, что в данном случае борьба с такими искажениями криптографическими методами невозможна и, следовательно, необходимо применять иные способы повышения помехоустойчивости (например, введением избыточности).

Параграф 7.4 Помехоустойчивые шифрующие автоматы

Пусть А=(Х,3,0, (8;)|еь (РОиО - конечный автомат с входным алфави­ том I, множеством состояний 8, выходным алфавитом О, частичными функ­ циями переходов (50^1 и выходов (РО^. Предположим дополнительно, что ав­ томат А является шифрующим автоматом (по второму определению, см пара­ граф 1.3), то есть его автоматные отображения фд,$ I*—Ю* , кеЗ являются инъективными отображениями.

Напомним (см. параграф 1.3) условия, при которых автомат А является шифрующим автоматом. Обозначим через Р5 отображение I в О: р5(1)=Р((8). Че­

рез 35 обозначим множество состояний автомата А, содержащее 8 и все состоя­ ния 8' еЗ, достижимые из 8 в графе переходов автомата А, то есть для которых есть пути из 8 в 8'. На множестве 35 определен подавтомат А5=(1,85,О,(5|)и1,(Р0!е0 автомата А (здесь ограничения отображений (8,)(е|, (РОы обозначены теми же буквами). Состоянию зеЗ автомата А соответствует ото­

406

браЖение фА>5:1*—>0*, именно, для Зе1*: фа,5(3)=А(8,3), где А(з,3) - выходное олово автомата А, отвечающее входному слову 3 и начальному состоянию 8

автомата А.

В параграфе 1.3 нами приведено

УТВЕРЖДЕНИЕ: автоматное отображение фА>5I*—>0* , з е 8 является инъективным тогда и только тогда, если при каждом состоянии 8'из §5отобра­ жение $ 5- йнъективно.

Наша задача состоит в описании помехоустойчивых шифрующих автома­ тов, Предварительно введем необходимые понятия и докажем вспомогатЗДЫгыеутверждения.

Определение. Автоматное отображение фА,8: I*—>0* называется не

размножающим искажений типа замены букв, если для любых слов 3,3' е1* одинаковой длйны выполнятся условие: р(3,3')>р(фА>5(3),фА>8(3')).

Определение. Автомат А5=(1,85,0 ,(8,)1еь(Р:)1е1) называется внутренне ав­

тономным, еСли

8;8'=6г8'

прн любых $'€ 85и щ 'е1.

Ниже используется понятие приведенного автомата, определение кото­ рого,дано в заключение параграфа 1.3.

Теорема. Пусть А - приведенный автомат и фА 5- инъективное отобра­ жение. Отображение фА>5не размножает искажения типа замейы букв тогда и только тогда, если автомат А5внутренне автономен.

До№аточность условий теоремы очевидна.

бом з”е $ 5. По определению множества 85, для любого 8” из 85найдется

Г

р(3”3,3”3')>р(А(з,3”3),А(8,3”3')),

откуда следует

р(3,3')>р(А(8”,3),А(8”,3'))

для любых слов 3 ,3 ' одинаковой длины. То есть Фа,8” не размножает искажения

типа замены букв. По доказанному выше заключаем, что

5 (8” = 5 г з ”

при любых 1,Г €1. Следовательно, автомат А8 внутренне автономен.

Для формулировки приводимого ниже следствия доказанной теоремы нам потребуются некоторые понятия теории автоматов. Напомним их форму­ лировки. Автоматы А, А' с множествами состояний 3, 3', соответственно, с одинаковыми входным и выходным алфавитами I, О называются неотличимы­ ми, если для любого состояния зеЗ найдется неотличимое от него состояние 8' €8' автомата А' и наоборот, для любого з' еЗ' найдется неотличимое от него состояние 8€8. Состояния 8, 8' считаются неотличимывми, если А(8,3)=А(8',3) при любом Зе1*. В приводимом ниже следствии под приведенной формой ав­ томата А понимается любой неотличимый от него приведенный автомат.

Следствие. Отображение фА,5 автомата А инъективно и не размножает искажения типа замены букв тогда и только тогда, если приведенная форма А5/=(1,8/,0,8/,р/) автомата А8 является внутренне автономным автоматом и при любом з/еЗ/ отображение инъективно.

Вернемся к исходной цели данного параграфа - описанию помехо­ устойчивых шифрующих автоматов.

Пусть А =(1,8,0,(3;)!еь(Р4)|е1) - шифрующий автомат (отображения р8 зеЗ - инъективны). Будем предполагать, что 1=0 (ниже для различения эле­ ментов входного и выходного алфавитов мы сохраним различные их обозначе­ ния).

Определим для автомата А так называемый обратный автомат: А'1= =(0,3,1, (8у)у<=о,(Ру)1<=о) положив: О - входной алфавит, I - выходной алфавит,

частичную функцию переходов 5Уопределим так: для зеЗ 6у(8)=б|(8),

где 1=Р8"|(у), а частичную функцию выходов РУопределим положив

Ру(8)= РзЧу)-

Приведенные выше математические утверждения можно трактовать теперь следующим образом. Отображения входных слов в выходные слова обратного автомата А 1, получаемые при его начальных состояниях (ключах) осуществ­ ляют расшифрование выходных слов шифрующего автомата А, полученных на тех же состояниях. Требование помехоустойчивости к автомату А*1по отноше­

408

нию к помехам типа замены букв в канале связи (не размножения искажений типа замены букв его всеми отображениями) состоит в том, что приведенная форма автомата А должна быть внутренне автономным автоматом.

Перейдем к изучению помехоустойчивости шифрующих автоматов к помехам типа пропуска букв в канале связи.

Пусть 6 - бинарное отношение на множестве слов некоторого конечно­

го алфавита П. Для слов Р и О из О* отношение Ре() ,будет означать, что слово О получено из Р удалением некоторой его буквы; е1- 1-ая степень бинарного

отношения е.

Определение. Автоматное отображение фа,$ I*—>0* , ее 8 называется не размножающим искажения типа пропуска букв, если для любых слов 3, 3' е 1*

одинаковой длины 5(3) =5(3') и любого к€ {1,..., 5(3)} найдется число т е {1 ,...,к}, такое, что выполняется импликация:

ЗекЗ'=><рА,5(3)етфА,8(3').

Теорема. Инъективное отображение фа,8автомата А=(Х,8,0 ,(51)|еь(Р1)|е1), |1|=|0 | не размножает искажений типа пропуска букв то­

гда и только тогда, если для автомата А5=(1,85,0 ,(81)|€1,(Р1);е1) при любом §' е 85

отображение р5не зависит от выбора з'из 35.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть инъективное отображение фд,5не размно­ жает искажения типа пропуска букв. В силу инъективности фА,5и равенства |1|=|0|, для любого уеУ существует слово вида 3 =11,12, при котором А(з,3)=уу. Для слов З и 12 имеем 381г. Следовательно, А(з,3)еА(з, 12). Поэтому А(8, 1г)=у, в частности, РвО^Р^г),1откуда следует: 11=12. Таким образом, при 1*1' имеем

А(з,н)=уу',

где у*у'.

Покажем, что при любом 1€1 и 8”=8;з отображение фА,$” не размножает искажения типа пропуска букв. Действительно, при любых 1е 1, Зе1* (3 - не

пустое слово) и 3', для которого ЗеЗ', справедливы отношения 13813', А(8,13)еА(8,13').

Учитывая, что первые символы в словах А(з,13), А(здЗ') равны, получаем А(8;8,3)еА(6,8,3').

Из сказанного выше следует, что любое отображение фА,5-, §' е 85не размножает

искажения типа пропуска букв.

Для Ы' из I имеем: Н'еГ, А(з,и')=уу', где у^у', уу'еА(з,1'), откуда выте­

кает, ЧТО Р5(Г)=у'. ПОЭТОМУ П ри 8Л=6(8

Р8Ч1')=У'=Р50 ')

для всех 1 из I, не равных 1. Следовательно, для всех з(1)= 818, 1е!

409

Ре Р$(о- Атак как каждое отображение фА,5-, з' е 85не размножает искажения типа про-, пуска букв, получаем: р5=р5при любом 8'е 85.

Достаточность условий теоремы очевидна.

Следствие. Если |1|=|0|, А5=(1,35,0 ,(8|)|61,(Р|)|е1) - приведенный автомат и инъективное отображение фА,5не размножает искажения типа пропуска букв, то | 85|=1 .

С точки зрения шифров, последние математические утверждения гово-- рят о том, что обратный к автомату А автомат А 1, в случае его приведенности, будет не распространять искажения типа пропуска букв’ лишь в случае, когда он имеет одно состояние, то есть шифрующий автомат А должен реализовы­ вать шифр простой замены.

ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждение теоремы об инъективном отображении фА>5 автомата А=(Х,8,0, (81)151, (РОиО, |1|=|0|, не размножающим искажений типа пропуска букв, остается верным и при отказе от условия: |1|=|0 |.

/

Параграф 7.5 Общие математические задачи, связанные с пробле­

мой построения помехоустойчивых шифров

Основные положения данного параграфа опубликованы в журнале Дис­ кретная математика. Т. 9, вып. 3, 1977, в статье Бабаша А.В., Глухова М.М., Шанкина Г.П. «О преобразованиях множества слов в конечном алфавите, не размножающих искажений».

Введение. Пусть (Аш,Ар,ф) - алгебраическая обобщенная модель шиф­

ра (см. параграф 1.7); АШ=(Х,КШ,У,1) - шифр шифрования (Г ХхКш—>У- сюрьективное отображение, причем для каждого хеК ш отображение Гх:Х—>У, Гх(х)=Дх,х) инъективно), а Ар=(У',Кр,Х',Р) - шифр расшифрования (УсУ', ХеХ', Р:У'хКр->Х' - сюрьективное отображение); ср: Кш—>КР - биекция, для

которой при любых хеХ, хеК ш из условия Г(х,х)=у вытекает Р(у,ср(х))=х. Будем предполагать, что открытый текст х шифруется на некотором

ключе х, а шифртекст у= Гх(х)еУ передается по каналу связи с помехами. По­ лучатель шифртекста принимает «искаженный» текст у' еУ'. При расшифрова­ нии шифртекста у получается открытый текст Р(у,<р(х))=х, а при расшифрова­ нии текста у' получается текст Р(у',ф(х))=х\ При наличии канала связи с по­ мехами возникает естественное желание использовать «помехоустойчивые

410

\

шифры» - шифры, для которых при малом искажении шифртекста у в резуль­ тате расшифрования принимаемого текста у' получают малое искажение от­ крытого текста х.

Пусть «мера искажения» шифртекста уеУ определяется с помощью значения Фу(у,у') некоторой функции Фу, определенной на множестве УхУ'со значениями в области действительных чисел (чем меньше значение функции, тем менее искажено у), а «мера искажения» открытого текста хеХ определяет­ ся с помощью значения Фх(х,х'), (х,х')€ ХхХ' некоторой функции Фх, опреде­ ленной на множестве ХхХ'со значениями в области действительных чисел.

1. Шифр (Аш,Ар,ф) называется не распространяющим искажения более чем в к раз (относительно «функций искажения» Фх, Фу), если при любых хеХ, у' еУ' и любом ключе х е Кшвыполняется неравенство

кФу(Гх(х),у')> Фх(х, Р(у',ф(х)).

При выполнении этого условия для к=1 шифр называют не распростра­ няющим искажений (относительно функций Фх, Фу).

Обычно понятие помехоустойчивости шифров вводят в следующем усиленном варианте. Предполагают, что функции искажений Фх, Фу определе­ ны на множествах Х'хХ', У'хУ', соответственно.

2. Шифр (АШ,АР, х) называется нераспространяющим искажения бо­ лее чем в краз (относитёлъно «функций искажения» Фх, Фу), если при любых у", у'еУ' и любом ключе х бКшвыполняется неравенство

кФу(у",у')> Фх(Р(у",ф(х), Р(у >ф(х))- При выполнении этого условия для к=1 шифр называют не распростра­

няющим искажений (относительно функций Фх, Фу).

Общая математическая задача описания шифров, не распростра­ няющих искажения (относительно «функций искажений» Фх, Фу), форму­ лируется следующим образом. Описать отображения ф:У'-»Х', для кото­ рых при любых у", у'еУ ' выполняется неравенство

Фу(у'\у')^Фх(ф(у"),ф(У'))-

Описаниие таких отображений позволяет строить шифры расшифрова­ ния, не размножающие искажений, а затем строить и соответствующие им шифры зашифрования. ' ,

Обычно уточняют структуру абстрактных множеств У', X', а также уточняют определение искажений в канале связи, то есть конкретизируют «функции искажений» Фх, Фу.

Ниже приводится такие конкретизации и уточнения для описания помехоустойчивых шифров расшифрования в случае Х= Х'=У'=У= О*, где О - конечный алфавит. При этом (в условиях эндоморфных шифров) ма­

тематическая задача описания помехоустойчивых шифров сводится к задаче