Бабаш А.В., Шанкин Г.П. Криптография (распознано не всё)

371

Из утверждения 1 следует, что величина ц(3,3') определена периоди-' ческими частями Зк, З 'к последовательностей 3, 3' при к>тах(Ь,Ь')+1.

Мощность множества всех чисто-периодических последовательностей периода XV элементов алфавита I конечна. Поэтому т1ц(3,3')= ттр(3,3') по всем 3' из множества чисто периодических последовательностей фиксирован­ ного периода.

1,1) обозначим через ^(1) - частоту встречаемости символа 1 слове ф^+0,

...,^+то , Т=(— - 1 ) 0 , а через 1(|) - множество всех 1е1, для которых У|(1)=

шах у}(1). Отметим, что 11(])|>1. 16/

Через 9КЗ.Р1 обозначим множество всех последовательностей 3"=1,"л2".... вида:

1г'ц+0, )еИ,__

1к€1(к), ке 1,0 .

Последние соотношения определяют 3" однозначно лишь в случае

|1(к)|=1, ке 1,0 . Очевидно, что СОО(3")сСХЮ(3) для любой последователь­

ности 3" из 91(3,0), а период каждой последовательности из 91(3,0) является делителем числа О.

372

Лемма 1. Для 3 е 1” ш, 3' е 1™т-, О=(со,со) величина ц(3,3") не зави­

сит от выбора 3" из 9?(3,Б) и

1)р(3,3")< р(3,3'),

2)ц(3,3")<|д(3,со').

.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из утверждения 1 следует, что для доказательст­ ва леммы 1 достаточно доказать ее для чисто-периодических последовательно­ стей 3, 3'. Пусть 3,3' - чисто-периодические последовательности.

При (со,со')=<в утверждение леммы очевидно, так как множество 5Я(ЗД) состоит из последовательности 3"=3.

Пусть (со,со')=0*о>, 3=1],12,... , З'И '1,1'2, .. . . По утверждению 1 имеем

[а>,(о'] {

СО' со'

друга перестановкой символов, в связи с чем справедливо равенство

Поэтому

со' О

о б о

ц(3,3")=

Из этого равенства, во-первых, вытекает независимость значения

ц(3,3") от выбора 3 ” из 91(3,0) и, во-вторых, то, что при любых 1 ,0 ,

те 0,------1 справедливо неравенство

Следовательно, р(3,3")<р(3,3'). Откуда получаем неравенство ц(3,3")<ц(3,со'). Лемма 1 доказана.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть З е 1п)(0, со' еЫ. Наилучшая мера приближе­ ния т т ц(3,<Г) приближенных периодов из множества {сГ:сГ|со'} последовате^Йс&ти 3 равна величине р(3,3"), где 3" €91(3,0) при Б=(со,со').

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть т |п р(3,сГ)=ц(3,сГ0), а 3' =

НПП(3,/“(/ ) ) - наилучшая приближенная последовательность из множества

к последовательности 3. Тогда р(3,3')=р(3,сГ0). По лемме 1 заключаем,

что найдется 3"е91(3,00), периода б", сГ'|00, 0 0=(сГ0,со), для которой

374

ц(3,3")<|д(3,3'). Так как Р0|со\ то сГ'|со'. Из определения р(3,сГ0) и предыду­ щего неравенства получаем

ц(3,3")=ц(3,<Г0) =р(3,3').

Очевидно, что р(3,сГ0) является наилучшей мерой приближения при­ ближенных периодов и из множества {<Г:<ГрЭ} последовательности 3. Откуда вытекает, что 3" € 91(3Д)).

2. Нижние оценки мер приближенных периодов последова стей состояний автомата, отвечающих его начальным состояниям и вход­ ным смешанно-периодическим последовательностям.

Пусть 3 =11,12, - входная смешанно-периодическая последователь­ ность автомата А=(1,8,0, (5^;е1, (Р);61 ), а а - бинарное отношение эквивалент­ ности на СОД(З) удовлетворяющее условию: произвольные элементы 1, Г из

разных классов эквивалентности таковы, что частичные функции переходов 6» 8;- автомата А не имеют общих переходов, т.е. 5;8Ф5,-8 при любом 8€8. Класс эквивалентности отношения а, содержащий элемент 1, обозначим через а(1).

Теорема 1. Пусть 3 =11,12,... - входная смешанно-периодическая после­ довательность автомата А, а(3)=а(1|),0.(12),...- соответствующая ей последова­

тельность периода е>(а) классов эквивалентности отношения а на СОД(З); Ам(з,3) - последовательность состояний автомата А, отвечающая его началь­ ному состоянию зе8 и входной последовательности 3; т' - приближенный пе­ риод последовательности Ам(8,3) с мерой приближения ц(Ам(з,3),т'), причем (т',со(а))=1^ ю(а). Тогда

ц(Ам(з,3),т')>^ пип ц(а(3),с1).

2 <Ы|1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть НПП (Ам(з,3), / “г.)=8',',8'2,... -наилуч­

шая приближенная последовательность периода т' из множества /* г. к после­

довательности Ам(з,3)= 81,82,... периодах, 8=81. Определим вспомогательные

последовательности

(НПП (Ам(8,3), / " г.))2=8'18'2,5'28'з,...,8»1,... .

Очевидно, периоды этих последовательностей равны т, т', соответст­ венно. Непосредственно проверяется, что

р((Ам(з,3))2,т') < ц((Ам(з,3))2,(НПП(Ам(8,3), I® т- ))2) <

375

<2ц(Ам(8,3),НПП(Ам(5,3 ) ,/ ;г. ))=2 ц( А м(з,3),т).

По утверждению 2 найдется последовательность Р" периода^" из 9?(Ам(8,3)2,В), 0 =(т,т'), д л я которой ё0" | 0 и выполняются соотношения

ц(( Ам(8,3)2Л ")= ц (( А м(8,3)2,Р") < р(( А м(8,3)2,т'), Отметим, что СОД(Р")сСОД(( А м(8,3)2)).

На множестве СОД((Ам(8,3)2)) определим функцию Г. Для зз' из С0Д(Ам(8,3)2) п о л о ж и м Дзз')=а(1), если 8 ,3=8'. Рассмотрим последовательно­ сти

Р(( А м(8,3.)2))=Д8182)Д(8283),. . .Д з^ +,),... , Р(Р")= а(1Г'),а(12"

Очевидно, что Р((Ам(8,3)2))=а(3). Напомним, что период последова­ тельности а (3) равен со(а). Обозначим через а>"(а) период последовательности Р(Р"). Ясно, что со"(а)|б0" . Так как (ю(а),т')=1*а>(а), то (а>(а),со"(а))=с1, где ф .

Очевидно, что

ц (а (З Щ Р ") < ц(( А м(8,3))2),Р” ). Используя утверждение 2, получаем

т ш р(а(3)Д )< ц(а(3),Р(Р” ).

<Ы|1

Следовательно,

т ш ц(а(3)Д )<р(( Ам(8,3))2),т')< 2ц( А м(8,3),т'),

<Ы|1

Что и требовалось доказать.

Эффективность теоремы 1 (рамки ее применения) определены условием ю(а)>1. Таким образом, для нахождения нижней оценки меры приближенного периода последовательности Ам(з,3) состояний автомата А с помощью теоре­ мы 1 необходимо предварительно построить какое либо бинарное отношение типа а . В ряде случаев удобно сначала пытаться строить бинарное отношение эквивалентности ст* на СОД(З) следующим образом. Определяем бинарное отношение а на СОД(З): 1 находится в отношении о с Г тогда и только тогда, если найдется з е 8 , при котором 8 (5= 8 ; 3 . В качестве ст* берем транзитивное за­ мыкание отношения а. Для повышения эффективности теоремы 1 удобно предварительно определить компоненту связности А 5 автомата А, содержащую начальное состояние з, а затем проверять выполнение условий теоремы для автомата А 5.

Следствие 1. Пусть 3 =11,Ь,--- - входная смешанно-периодическая оследовательность автомата А, а(3 )=а(11),а(12),...- соответствующая ей после­ довательность периода <о(а) классов эквивалентности отношения а на СОД(З).

376

Тогда период т последовательности А м(8,3) состояний автомата А, отвечаю­ щей его'начальному состоянию зеЗ и входной последовательности 3 кратен (о(а).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что (т,а>(а))=Ь*а>(а). В качестве приближенного периода т' последовательности А м(з,3) рассмотрим период т последовательности А м(8,3). Тогда по теореме 1

1

р( А м(8,3),т)> - Ш 1 П )ь1(а(3),(1)

Так как 1*со(а), то очевидно, что правая часть неравенста больше нуля. Поэтому ц(Ам(8,3),т)>0, что противоречит тому, что т - период последователь­ ности А м(8,3). Таким образом, т кратен со(а).

Утверждение следствия 1 позволяет строить автоматы и с гарантиро­ ванными периодоми последовательностей состояний, отвечающих их началь­ ным состояниям и входным смешанно-периодическим последовательностям.

Так, в частности, выбор частичных функций переходов автомата так, чтобы они попарно не имели общих переходов, гарантирует кратность периода последо­ вательности его состояний величине периода входной последовательности при любом его начальном состоянии.

Следующие две леммы, представляющие и самостоятельный интерес, являются вспомогательным инструметом для доказательства иной (чем в тео­ реме 1) нижней оценки меры приближенного периода последовательности со­ стояний автомата, отвечающей его начальному состоянию и входной смешан­ но-периодической последовательности.

Лемма 2. Пусть 3 е 1„ >со, З 'е I ® ^ , (ш,со')=<1; Ь, I/ - предпериоды

последовательностей 3 , 3 ', соответственно; М =тах (Ь,Ь ). Тогда

|д(3,3')=ц(3м+-’, 3'м+-’)= ц(Зм+'+са, 3'м+0,

где ^е'N, сеЫ0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как (со,со')=<1, то найдутся кь к2, при которых к2со'—к(С0=с1. По утверждению 1 имеем

ц(3,3')=- —— (3М+1,3'М+1).

[со, со ]

Очевидно, что при л ю б о м и се1^0 справедливы равенства

377

Р[со,со-](3М+\ 3 ' М+0=

■г^М+]+ск а>+сс1 г^'М+)'

1

Несложно доказывается следующая Лемма 3. Для любых 3, 3',3" е / “ справедливо неравенство

ц(3,3')+ц(3',3")>ц(3,3").

На множестве чисто-периодических последовательностей функция ц является метрикой.

Теорема 2. Пусть Пусть 3=1|Д2,... - входная смешанно-периодическая последовательность автомата А, а(3)=а0,),а(12),.. соответствующая ей по­ следовательность периода со(а) классов эквивалентности отношения а на 1 СОД(З); Ам0 ,3 ) - последовательность периода т состояний автомата А, отве­ чающая его начальному состоянию ве8 и входной последовательности 3; т' - приближенный период последовательности Ам(з,3) с мерой приближения д(Ам(з,3),т'), причем (т', х))=йФ со(а). Тогда при любом

~ Ц(а(ЗУ, а(ЗУ+с<1) < ц(Ам(з,3),т').

4 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть НПП(Ам(з,3), 1“ т')=з1\з 2\... - наилучшая

приближенная последовательность из множества последовательностей периода т’ к последовательности Ам(з,3)= 8Ь82,... . Обозначим через Р - максимальную

длину из длин подходов последовательностей НПП(Ам(з,3), 1п,т') и Ам(з,3). Тогда последовательности (НПП(Ам(з,3),1“ т ))р+1, (Ам(з,3))р+1

- чисто-периодические и первая последовательность является наилучшей при­ ближенной последовательностью из множества последовательностей периода т' ко второй последовательности. Пользуясь сначала утверждением 1, а затем леммой 2 для ^ е И, се Н, получаем

ц(Ам(з,3),т;)= р((Ам(з,3),т')р+|,т')=р( (Ам(з,3))р+1,

(НПП(Ам(8,3)Л п,т ))Р+1)=

ц( (Ам(8,3))р+^ , (НПП(Ам(8,3), 1„>т.)Г0-

379

Х(1(п)Дп-1 ),...,1(1 ))=1(к)

для некоторого ке {1 ,... ,п}.

Пусть 3 - входная смешанно-периодическая последовательность авто­ мата А=К.(ф,1). Период выходной последовательности А(з,3) автомата К.(ф,1) совпадает с периодом его последовательности состояний Ам(§,3), в связи с чем, следствие 1 , теорема 2 дают нижние оценки периода выходной последователь­ ности А(з,3) автомата К(ф,1).

Рассмотрим вопрос о связях мер приближенных периодов последова­

ПЦ (А(8,3), Т')>|Д (Ам(5,3), т')

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Без ограничения общности доказательства будем предполагать, что входная последовательность 3 и выходная последователь­ ность регистра сдвига А(8,3 )=1(к)Д(к+1),...Д(к+^,.... чисто-периодические по­

следовательности (см. утверждение 1). Последовательность Ам(з,3) можно записать в виде

Ам(8,3)=(1(п)Д(п-1),...Д(1)), 0(п+1)Д(п),...Д(2)),..., 0(п+з),...Д0+1)),... .

Несовпадение состояний - слов (1(11+3),...ДО+1)), 0'(П+3)5- -Д 0+1))>

обуславливается несовпадением их компонент. Для последовательности А(8,3)=1(к)Д(к+1),... Д(к+)),... и чисто-периодической последовательности 3'=Г(к),Г(к+1),...,Г(к+з),... периода т' неравенство 1(к+])9ь 1-(к+)) для )>к- 1

влечет п неравенств (*(к+3)д(к+)-1),...д(к+)-п+1))Ф (Г(к+з),Г(к+з-1),...,Г(к+з-п+1))

(1(к+з+1),1(к+з),...Д(к+)-п+2))Ф (Г(к+з+1),Г(к+з),.,.,Г(к+з-п+2))

(1(к+)+п-1 ),1(к+з+п-2 ),...Дк+ДФ (Г(к+з+п-1),Г(к+)+п-2),...,1'(к+^)).

Поэтому для последовательностей А(8,3) периода т и 3' перио­

= ц ( А м ( 8 ,3 ) Д ( 3 ) ) ,

где К.(3')=(Г(к),Г(к+1),...,1'(к+п-1)), (1'(к+1 ),1'(к+2 ),...,1Хк+п)),...

Имеем

ц ( А м( 8 ,3 ) Д ( 3 ) ) > ц ( А м(8 ,3 ) ,т '))

Следовательно, взяв в качестве 3' наилучшую приближенную последовательность периода т' к А(з,3), получаем требуемое неравенство

пр (А(з,3), т')= пр(А(8,3),3') >р( Ам(з,3)Д(3))>р( Ам(8,3),т').

380

Из теорем 1, 2 и утверждения 3 вытекает Следствие 2. Пусть 3 - входная последовательность регистра сдвига

И(ф,1), а(3) - соответствующая ей последовательность периода а(со) классов эквивалентности бинарного отношения а на СОД(З); XV' - приближенный пе­ риод выходной последовательности А($,3) периода XV регистра сдвига К.(<р,1).

последовательности а(3) среди приближенных периодов из множества {б': <1|Ч}, то

~ ~ Ц(а (3),ё) < ц(А(з,3),\У'). 2п

ГЛАВА 7. ИМИТОСТОЙКОСТЬ ШИФРОВ. ПО­ МЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ШИФРОВ. СЕТИ ЗАСЕКРЕ­ ЧЕННОЙ СВЯЗИ

Параграф 7.1 Имитостойкость шифров в модели К. Шеннона

Классическая триада основных требований к шифрам состоит из соста­ вляющих:

-криптографическая стойкость;

-имитостойкость;

-помехоустойчивость.

Имитостойкость шифров (в модели Шеинона).

Предположим, что имеется связь между абонентами А и В, Абонент А может в определенный момент времени отправить абоненту В сообщение «у» - криптограмму, зашифрованную шифром (Х,К,У,0 на ключе х^К (здесь в рас­ суждениях мы используем модель шифра Шеннона, где под X понимается множество открытых (содержательных) текстов). До момента передачи уеУ канал связи «пуст», но в шифратор абонента В введен ключ %в ожидании по­ лучения сообщения от абонента А.