Бабаш А.В., Шанкин Г.П. Криптография (распознано не всё)
.pdf281
конкретной реализации со —( /, а ) случайной системы (4.1); О(у) -
множество реализаций заведомо совместной системы (4.1) с истинным
решением х = х(у}, ?}(]) - число решений заведомо совместной системы с
истинным решением х(у).
Очевидно, что
П - 0 П , . |
О ( П . п П , ) . 0 , |
1= |
У=1 |
/=0 |
/=1 |
Определение 4.1. Назовем случайную систему уравнений с независимыми частями и заведомо совместную случайную систему уравнений
вида(5) согласованными, если для любого 1 = 1,...,Я
1)а , = П ( / ) ;
2)р ( / \ = р{со)1 ), со = ( / , /(* (/))) е О ,;
3)распределение Т]{г) не зависит от номера г.
Лемма 4.1. Если правая часть случайной системы уравнений с независимыми частями (5) имеет равномерное распределение на множестве допустимых правых частей, то первое и второе условия согласованности выполняются.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В элементарное событие со включаются
конкретная левая часть системы / = |
и конкретная правая часть |
системы а = {ах,...,а, ). Поэтому для случайной системы с независимыми
частями
р(со) = р (/)р (а )
а для заведомо совместной системы с истинным решением х(у) и а = /(^ (у))
вероятность этого события*равна вероятности появления левой части р (у )9так
как правая часть однозначно определяется левой частью.
Первое условие согласованности выполняется, поскольку в случайной системе правые части могут принимать все возможные значения. Для второго
282
условия находим, учитывая, что Г2, содержит ровно одно элементарное
событие® = ( /,а ) при каждой левой части / :
/Ф ,) =2^(/МЛ*М))= <Г'\
/
р (со )/р (а 1) = р ( / )р (а )/ |
=р ( / ) |
Лемма доказана.
Замечание. Лемма 4.1 верна и при более слабом ограничении на распределение правых частей. Действительно, для выполнения первого условия согласованности С1. =П(/) достаточно потребовать выполнения неравенства
р ( /( * Ш > ° |
при р ( / ) > 0 > |
а второе условие согласованности
М /(* 0 )))= р (п Д р { 7 )> 0 ,
указывает на одинаковые значения вероятности появления правых частей для систем уравнений из
Приведем несколько простейших примеров согласованности случайной
системы и заведомо совместной системы. |
|
|
а) |
Линейная система уравнений над полем СГ(#) с независимыми и |
|
равномерно распределенными в СР(^) коэффициентами и правыми частями: |
||
|
а д + - +а,„х„ =Ъп 1 =1,...,* |
(6) |
Покажем, что случайная система (6) согласована с заведомо совместной |
||
системой |
|
|
|
аахх+--- + а д , =Ъ, = а пх° +--- + аых°п, 1 = 1,...,/, |
(7) |
коэффициенты которой имеют такое же распределение, как и в случайной системе (6).
Действительно, в силу равновероятности правых частей линейных уравнений системы (6) по лемме 4.1 выполнены первое и второе условия согласованности. Далее, число решений заведомо совместной системы (7) равно числу решений соответствующей однородной системы уравнений
283
апУ\ + Л + атУп = 0, 1 =
у( = *,. +Х,°, 1= 1,..., и,
или, что то же самое, числу решений заведомо совместной системы (7) с истинным решением х° = (0,0,...,0)
Следовательно, распределение числа решений системы (7) не зависит от вида истинного решения, и системы (6) и (7) согласованны.
б) Рассмотрим систему уравнений (5) с целочисленными неизвестными
' хх,...,х„ еАГ,|лг| = ^г: |
|
|
<р1(хх,...,хп) = с1, |
/ = \,..Х. |
(8) |
Пусть функции (рх,...,(Р[ - независимые случайные величины, имеющие
равномерное распределение на множестве всех возможных.функций, отображающих множество И" в множество М , |М| = т . Всего таких функций
тч . Правая часть с не зависит от левой части Тр . |
|
Соответствующая заведомо совместная система имеет вид |
|
^/(х1,...,хя) = ^,.(х1,...,хи0)1 / = 1,..7. |
' (9) |
Так как случайные функции имеют равномерное распределение, то число решений одного уравнения из системы (9) не зависит от истинного решения
х°. В силу независимости выбора уравнений этот факт имеет место и для всей системы уравнений.
Следовательно, если в случайной системе (8) с,,...,с, - независимые
случайные величины, имеющие равномерное распределение на множестве М, то системы уравнений (8) и (9) согласованны.
в) Псевдобулева система уравнений
/.(х ) = а,., I =
с линейным псевдобулевым ограничением на неизвестные
х{ +л;2 +Л + х я =п,
285
е (Г '7 * = 1 )= Е 7 * ''
Отсюда следует основное соотношение для моментов случайных величин % и г/
Е^к =Е%Ег|к-1, |
к > 1. |
|
|
|||
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
к>0 |
|
|
к>О |
|
|
Но в силу формулы Е^к = Е^Ег^”1, |
к > 1 находим |
|
||||
ЕЕ^-1+вф;в**^]А. |
|
|||||
*>о |
К- |
|
|
|
К- у |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
2 р {<Г = Ф * = 1 + Е # } |
Е |
Р!7 = Ф кг йг. |
|
|||
*>0 |
|
|
о \ |
|
|
|
В это равенство введем новые переменные х = е \ у - е 1. Получим |
||||||
соотношение между производящими функциями |
|
|
||||
2 р { # = *}** = 1+ щ |
\ [ Х р Ь |
= *Ь>“ |
V |
- 1 + Е ^ у р{7 = к } ^ 2 . |
||
к>0 |
1 V * 2 1 |
|
|
) |
Ш |
К |
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим к |
||||||
формулам (10). Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
Сл е д с т в и е 4.1. Для вероятности |
совместности случайной |
системы |
||||
уравнений с независимыми частями имеет место оценка
РЙ>0} = Е ^ М ( Е 7 -1)1
где 0 < в < 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из формул (10) следует:
Р{^ > 0} = Е ^ Т - ^ =-^ < Е$
тк
(
288
Следовательно, по числу решений можно статистически различать заве домо совместную систему и случайную систему, имеющую решения.
В заключение отметим, что связь (10) имеет место и в том тривиальном
случае, когда все индикаторы |
, независимы и одинаково распределены: |
Р{&=1 } = Л |
Р { ё = 0 } = 1 - р , .’ = |
и случайная величина т} имеет такое же распределение, как и |
|
6 + Л + ^ _ 1+ 1. |
|
Действительно, для к > 1 в этом случае |
|
?{4 = к } = с \ . р к( \- р У '- к = я " р \ с ™ . у - ' ( \ - Р у - ‘ = е ^ ^ . |
|
5. Системы уравнений с искаженной правой частью.
Рассмотрим систему булевых уравнений (1)
/ ( х) = Ь , |
(11) |
в которой Ь = а Ф с ,а = /(х°)> ^ = |
есть вектор ошибок, не |
зависящий от левой и правой частей исходной системы уравнений. Такие системы уравнений (5.1) называются системами уравнений с искаженной
правой частью. Обычно координаты вектора ошибок |
, - независимые |
||
случайные величины и |
|
|
|
р к |
= 1) = Рг < |
* = Ъ -» * - |
(12) |
Система (11) при р { = |
I = 1,...,/, является случайной системой |
||
уравнений с независимыми частями, а при р ( = 0 |
(/ = 1,...,?) - заведомо |
||
совместной системой. |
|
|
|
Ставится задача статистической оценки вектора х° по реализации системы (11).
Каждому вектору х соответствует вектор ошибок
290
где ех,...,е( - биномиально распределенные случайные величины с Р{^( =1} = /7 = 1 - Р{^( = О}, / = 1,...,/, а для ложного решения х Фх°
8 (х) = Е |
е, (х) = Е [ / (х) 0 Л (*°)0 1 |
/= 1 |
1=1 |
Таким образом, если левая часть системы (11) фиксированна, то
Р Ь ( * ) = 1 } - { ' |
ПРИ |
[ 1 - / ? |
при / , [ х ) * / , [ х ) |
Во втором случае при случайном выборе функций в системе уравнений
р{г,(г )= 1 } = р { /;(г )ф /;(г “) ® е, = 1 } = |+ ( 1 - 2 ^ р ( /; ( г ) * / ,( ж ', ) ) - 2
В силу того, что
5'(х*)= тт5'(х),
вероятность ошибки при решении задачи ММП можно оценить следующим образом:
р{х* ^х°}<У^р|б(х°)=/, ш|П)5(х)</|<тц р{5(х0)>с)+ ^Р{5’(х)<с} (13)
Теорема 5.1. Пусть р. = р < 1/2, / = 1,...,? , и выполняются следующие условия:
1) функции |
независимо выбираются из некоторого мцожества |
функций Ф ; |
|
2)р[/].(х)^ / . (х°)}> р для любого х ^ х ° , 0 < / ? < 1 ;
3)если 77 —» со, |х| —» со, и
, р* = р + р ( \- 2 р ) ,
У