Алфёров А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии

11ример

Буквы алфавита

Рис, 1, Диаграмма встречаемости букв криптограммы

Построенная диаграмма очень близка по характеру к диа­ грамме открытого текста (см. рис. 1 Приложения 1). Кроме того, матрица биграмм является достаточно рельефной. Это свидетельствует о том, что скорее всего использован шифр простой замены. Нам ничто не мешает проверить эту гипоте­

зу.

В матрице биграмм имеется ярко выраженный лидер: би­ грамма ЗИ встретилась 11 раз. Естественно предположить, что она заменяет биграмму СТ открытого текста (наиболее часто встречающуюся в русском литературном тексте). Яв­ ным лидером по частоте встречаемости является буква Г. Предположим, что она заменяет букву О.

Проверим эти гипотезы, сделав соответствующие замены букв криптограммы. В результате получим картину, отражен­ ную в табл. 3 (см. стр. 456).

451

/1риложение г

Обратим внимание на некоторые получившиеся фрагмен­ ты открытого текста: 0?0?0Т Т и СТ? (15-я строка), ?СТО (6-я строка), СОС? (26-я строка), на основании которых мож­ но выдвинуть гипотезы о том, что вторая по частоте буква шифр-текста Н — гласная (причем совпадающая с одной из букв И, Е, А), а пятая по частоте буква шифртекста В — со­ гласная (и поэтому она, скорее всего Н, так как С и Т уже за­ действованы).

Обратим также внимание на два частых удвоения: ЕЕ (4 раза) и ВВ (6 раз). Самыми частыми в открытом тексте явля­ ются удвоения ИИ, НН, ОО, СС. Это дает основание пола­ гать, что В заменяет букву Н открытого текста.

Буква Е — третья по частоте в криптограмме, поэтому вполне вероятно, что она заменяет одну из букв И, Е или А открытою текста. Учитывая сделанное замечание об удвое­ ниях, сделаем предположение о том, что Е заменяет букву И.

Дополним последнюю таблицу новыми предположения­ ми о заменах (см. табл. 4 на стр. 457).

Обратим внимание на то, что биграмма ВБ встречается в криптограмме 9 раз. По нашему предположению В заменяет в криптограмме букву открытого текста Н. Согласно таблице биграмм открытого текста (см. табл. 11 Приложения 1), са­ мыми частыми биграммами с первой буквой Н являются НО, НА, НИ. Буквы О и И уже задействованы, поэтому оправдана гипотеза о том, что ВБ заменяет биграмму открытого текста НА.

Мы уже замечали, что Н заменяет одну из букв А, Е, И открытого текста. С учетом предыдущего остается лишь одна возможность: Н заменяет букву Е.

Внесем полученные результаты в табл. 5 (см. стр. 458). Здесь лавинообразно определяются многие другие буквы.

Так, из второй строки легко заметить, что Ш заменяет букву Д открытого текста, Т — букву Л. Из рассмотрения четвертой строки следует, что Ь заменяет М, из восьмой строки — что Р

452

Пример

заменяет В, а С — букву К, из восемнадцатой — что Ж заме­ няет Р и т. д.

Теперь легко закончить работу, убедившись в том, что наши гипотезы оправдались (см. табл. 6 на стр. 459).

В рассмотренном примере достаточно точно сработала статистика. Это объясняется большой длиной сообщения, со­ держащего в нашем случае 611 знаков. Нам не понадобились многие стандартные приемы, применяющиеся при решении подобных задач для текстов меньшей длины, о которых было упомянуто в комментариях к алгоритму 1 .

Ключом использованного в примере шифра является сле­ дующий подстановочный алфавит:

А Б В Г д Е ж 3 и К Л м н О п Б А Р ы ш н я к Е С Т ь в г д

р с т У ф X ц ч ш щ ы ь э ю я

ж3 и л м о п У ф X ц ч щ э ю

составленный на основе ключевой фразы БАРЫШНЯ КРЕСТЬЯНКА, совпадающей с названием одноименной по­ вести А.С. Пушкина. Заметим, что особенности таких (систе­ матически перемешанных) алфавитов существенно помогают в восстановлении текстов. Соответствующая технология под­ робно изложена в [КаЬ67]. Там же содержится пример вскры­ тия простой замены, использующий значительно более тон­ кие рассуждения, чем приведенные в нашем примере.

453

/ 1риложение 2

Таблица 1

10 11 Б Л н О Б т р 3 Р г Э Ш Н Ж Н р В Э Е 3 И Н О д Г 12

17 Ю л ь Н Ж т Б Р Ж г Ш Б О р и г Р ж Н ь Ю С Б с Г 18

454

/1ример

Табли ц а 2

455

/1риложение 2.

Т абли ц а 3

3 А н ж в Е Е В Б о г ш Е Т Г 3 ч Е Ь Н В Е Н Е Р Б

4 о О С

5 В Б д н И ж Г Р Е У Б А Н ж н 3 И Г Р Б Р Ь Г т Г 6 1 О с Т О О О

7 Ш Г 3 и Е 3 Р Г Н Е 3 Т Л я Е т Г в Р Ы Р Б Ж ш Е 8 О с 1 с О С о

9 Е Р ц Ф Н т Р Г И 3 и Б р с Л р в Б У Б Т Н Ы г Ш 10 О т с т о

11 Б Л н О Б т Р 3 р г э Ш н ж Н р в Э Е 3 И Н О д Г 12 с о С т О

15 В Б и в Б А н ш В г Е Ш р г Ж ю В с и с Г И Г ж Б 16 т о о О т О

17 Ю Л ь н Ж т Б р Ж г Ш Б О р и г Р Ж н ь ю с Б с Г 18 о т о О 19 В в Б О Г ш Е т 3 ю Р Г и ч н к Я н ь д г т Н О г

31 н Е ф Е ь У н т Г р н с г Ь р Г р 3 н ь Г с Г т г

39 А Б с Б ь Е р А Л ш В Е Г В О Г ш Е т Р д Т Е 3 г

456

Пример

1 Р Г ш В 1 Е Е К Г И Ш Б Т Н В в ц о В Б Ф Е о Ы л 2 о я О я Я О т Я я Я Я 3 А н ж в Е р В Б О г Ш Е Т Г 3 ч ь ь н В Р н Е Р Б

4 я Я я я о Я О с Я Я Я Я

5 В Б л н И ж г Р Е У Б А Н ж н 3 и г р Б Р ь г Т Г 6 я т О Я с т о я О 7 ш Г 3 и Е 3 р Г н Е 3 Т Л я ь т г в р Ы Р Б ж Ш Е 8 0 с 7 Я с О Я С я О я Я 9 Е р ц Ф н т р г и 3 и Б р с л р в Б У Б т Н ы Г ш 10 И О т с г я О

11 Б л н 0 Б т р 3 р г э Ш н ж н р в э Е 3 и Н о д г 12 с О я Я С г я

13 Ж г в г И и л ш Б в н Р ц н к я Б т г В А Ц т я н 14 о я о Г г я о я

15 В Б и в Б А н ш В г Е Ш р г ж ю В с н с Г И г ж Б 16 я т я Я о Я о я о Г о

17 ю Л ь н Ж т Б р ж г ш Б о р и г р ж н ь ю с Б с Г 18 О т о О

19 в в Б о Г ш Е т 3 ю р Г и ч н к я н ь д г т Н о г

41 р Г Е С л ж и с н д г д ж Б к ш в Е с Б ь в Б ш н

457

I1риложение 2

Т абли ц а 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 Р Г ш В Г Е Е К Г и Ш Б Т Н В В Ц О В Б Ф Е О Ы Л

5 В Б д н И ж г Р Е У Б А Н ж н 3 И Г Р Б Р Ь Е т Г 6 я А Е т я Я А Е Е с г Я Л Я я 7 ш Г 3 И Е 3 р Г н Е 3 Т Л я Е т Е в Р ы Р Б Ж ш Е 8 Я с т И с Я Е Я С Я Я я Л Я

19 в В Б 0 Г ш Е т 3 ю р Е и ч н к я н Ь д Е т н О Е 20 я я А Я Я с Я т Е Е Я Е Я

458

/1ример

Табли ц а 6

50 X в Е д я д/ я с т а Я

459

Приложение 3

Элементы алгебры и теории чисел

Модулярная арифметика

Пусть а и п — натуральные числа. “Разделить число а на число п с остатком” — это значит найти целые числа а и г, удовлетворяющие условию

а = # • я + /% где 0 <г <п.

При этом число ^ называют неполным частным, а г - остат­ ком от деления числа а на число п.

Если остаток г равен нулю, то говорят, что число п делит число а, или, по-другому, п является делителем числа а,

Целые числа а и Ь называют сравнимыми по модулю п,

если их остатки при делении на п совпадают. Обычно для обозначения этого факта используется запись

а = Ь (той п) .

Отсюда, в частности, следует, что число п делит разность чи­ сел а и Ь. Для обозначения остатка часто используют бесско­ бочную запись

Ъ = а той п .

Операцию нахождения числа Ъ= а той п называют приведе­

нием числа а по модулю п.

Множество целых чисел а 09...,ай_19 таких, что для любо­

го целого числа Ь найдется к е {0,...,#-1} со свойством

ак = Ь(той п), называется полной системой вычетов по мо­

460